切片化模式重塑單元知識網絡

摘 要：單元小結課為學生梳理知識，構建網絡，形成一般方法、一般觀念提供了良好的契機．本文采用切片化模式（典型題+知識梳理，即一道題帶一部分知識）對第四章中“指數函數與對數函數小結”進行教學設計與實踐，得出單元小結課的教學啟示．

關鍵詞：指數函數與對數函數；單元小結；知識梳理；構建網絡

中圖分類號：G632

文獻標識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）24-0039-04

收稿日期：2024-05-25

作者簡介：詹增春（1984.11—），男，福安人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃“研究共同體”專項課題“基于數學建模素養的項目式學習行動研究”（立項批準號：Fjygzx23_061）.

教學中，常發現部分學生面對之前做過、講過的問題無從下手．究其原因，一方面是學生未對該問題做歸納整理，內化知識，形成解題方法；另一方面是教師在教學中忽視單元小結課，平時教學中只是碎片化講授或呈現知識，未進行單元小結復習，未引導學生重塑單元知識網絡，未引領學生形成一般方法、一般觀念．

1 高中數學單元小結教學之現狀

目前仍有許多教師不重視單元小結，完成一個單元教學后，往往只是通過習題訓練課簡略總結，甚至忽略．大部分教師主要采用“知識梳理+定向訓練”和“題型歸納訓練”教學法，但都存在缺陷．“知識梳理+定向訓練”過于強調教師梳理整合，忽視學生主體性，未能深入挖掘知識內在聯系和拓展應用，學生對知識僅停留在表面理解，且缺乏思考實踐機會．“題型歸納訓練”過于注重題型歸納和解題技巧總結，導致學生機械記憶解題步驟，限制學生思維靈活性和創新性，使學生只能零散掌握知識和解題技巧，忽視知識體系建構．

這兩種方法都會導致學生知識碎片化，對數學思想理解感悟不清晰，遇到陌生情境無從下手.為解決此問題，教師應用好教材單元小結中的“回顧與思考”，同時采取切片化模式，幫助學生構建知識網絡，形成解決問題方法．

2 高中數學單元小結“切片化”模式之實踐

選用人教A版（2019）“指數函數與對數函數小結”為授課內容．

2.1 環節一：自主研學，溫故知新

［前置作業］

第一部分：閱讀思考.閱讀材第158～159頁“小結”部分，思考并回答第159頁的問題1～9．

第二部分：自主建構本章知識網絡.

第三部分：基礎練習——后文呈現的5道習題.

師生活動：學生課前自主完成以上任務．

設計意圖 以任務的形式幫助學生自主梳理本章內容，為課堂教學活動作準備，培養學生閱讀課本的習慣，自主構建基本知識、基本技能、基本思想方法的能力．

2.2 環節二：互動探究，動態生成

本節課筆者以教科書“小結”第二部分“回顧與思考”中的問題1～9為線索，以課前作業中的基礎練習為載體，著重對本章核心知識、技能、思想方法、活動經驗進行深度解析，并通過整合梳理，重塑單元知識網絡．

習題1 （教材127頁第6題）若xlog₃4=1，求4^x+4^-x的值．

問題1 （1）求解本題用到的基本知識有哪些？對數概念是如何提出來的？

（2）概述指數概念的拓展過程，你能由此說說數學概念拓展的過程與方法嗎？

（3）指數和對數的概念都有現實背景，你能舉出一些實際例子嗎^［1］？

師生活動：展示學生多種解法，引導學生理解運算對象，抓住問題本質，將問題轉化為求4^x這一整體，更為簡便．對比發現解法的共性，都用到指對互化，進而突出本章的運算基礎．引導學生厘清指對冪三種運算之間的關系，對于a^x=N，若知a、x求N為指數冪的運算，若知a、N求x則為對數運算，若知x、N求a為開方運算，進而導出分數指數冪．以此引導學生理解“對數源自指數”，明確“對數的概念和指數冪研究的問題是一樣的，只是換一個角度來研究”．生成結構圖1.

設計意圖 通過習題1的點評及問題1的共同探究，梳理指數冪、對數運算的性質，明晰指、對、冪三種運算之間的關系，從整體性的角度理解運算的本質．

習題2 （教材140頁第7題）判斷下列各對函數是否互為反函數．若是，則求出它們的定義域和值域：

（1）y=lnx，y=e^x；

（2） y=-log_ax，y=（1/a）^x．

問題2 （1）請談談互為反函數的兩個函數圖象間的關系.

（2）你能說說指數函數和對數函數分別刻畫了怎樣的變化規律嗎？你能舉出“直線上升”“對數增長”“指數爆炸”的實際例子嗎？

師生活動：引導學生復習回顧反函數的概念及圖象間的關系；通過幾何畫板對問題2的演示，讓學生直觀感受“直線上升”“對數增長”“指數爆炸”增長的差異．再通過學生舉出實例，如C₁₄的半衰期，投資回報、銷售人員的獎勵方案等，體會他們增長的差異，內化知識．進而生成結構圖2.

設計意圖 延續指對運算的關系，從反函數關系梳理指數函數、對數函數概念以及兩者間的關系，并整體構建指、對函數及線性函數三者刻畫的現實世界變化規律的特點．

習題3 （教材160頁第2題）用“lt;”“gt;”“=”填空：

（1）a^0.2______a^0.3（0lt;alt;1）；

（2）e^0.8______0.8^e；

（3）log_a0.2______log_a0.3（agt;1）；

（4）lge______ln0.8．

問題3 （1）本題求解用到了函數的哪些性質？比較大小的常用方法有哪些？它們的依據是什么？

（2）函數圖象是研究函數性質的重要載體，信息技術是研究函數圖象與性質的有力工具，你能結合實例談談這方面的體會嗎？

（3）回憶指數函數、對數函數的研究過程，你能由此說說如何研究一類函數嗎？例如研究的內容、過程和方法．

師生活動：通過問題3的共同研討，突出圖象與性質在比較大小中的重要作用，讓學生明確信息技術對研究函數圖象與性質的重要性，明晰初等函數研究的內容、路徑及一般方法．指數函數、對數函數的研究均按“實際問題——函數概念——圖象與性質——應用”的路徑進行，研究方法有數形結合或數形轉換．通過本環節，把知識結構圖延伸至函數性質，得到結構圖3．

設計意圖 結合例題，在一般觀念指引下梳理研究函數的基本套路，并具體化，形成指對函數的核心知識結構圖3．

習題4 （教材160頁第5題）已知函數f（x）=2^x+x，g（x）=log₂x+x，h（x）=x³+x的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序為______．

問題4 （1）求函數零點的依據是什么？常用方法有哪些？在什么條件下，函數在（a，b）內一定有零點？（2）你能舉例說明函數的零點與方程解的關系嗎？（3）你能說說用二分法求方程近似解的一般步驟嗎？

師生活動：對習題4和問題4的解析與研討，回顧函數零點的定義、求零點的常用方法、零點與方程解之間的關系以及零點存在性定理．依托本例中f（x）或者g（x）零點的求解過程明晰用二分法求方程近似解的一般步驟，進一步生長構建知識結構圖4.

設計意圖 運用函數的性質圖象解決實際問題，在前面幾個問題的基礎上，進一步梳理零點、二分法等基礎知識．

習題5 （教材161頁第9題）某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間t（單位：h）間的關系為P=P₀e^-kt，其中P₀，k是正的常數，如果在前5 h消除了10%的污染物，那么：（1）10 h后還剩百分之幾的污染物？（2）污染物減少50%需要花多少時間（精確到1 h）？（計算結果參考數據：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）（3）畫出P關于t變化的函數圖象．

問題5 你能結合實例說明應用函數模型解決問題的基本過程嗎？

師生活動：展示學生的兩種解法，由學生點評，大部分學生已經能抓住兩種解法的核心差異，一種是求k，另一種解法是求e^-k ．基于作答情況，引導學生如何讀題、審題，審題時要明確每個變量的意義（如本題中的p₀），進而突破難點．最后由作圖規范性，再次回歸函數模型的解，解釋說明實際問題的解時，還應充分重視其實際意義．并在圖4的基礎上進一步發展延伸得到圖5．

設計意圖 應用函數求解實際問題，進一步理解函數模型的意義，熟練求解方法，提升應用能力．

2.3 環節三：整合梳理，有效建構

問題6 回顧本章的研究過程，反思本節課的學習，你認為前面所得到的知識結構圖還需作怎樣的完善？

師生活動：引導學生從基本思想和基本技能上對核心知識結構圖進行補充、完善．通過師生共同探討得到如圖6所示的全章核心知識結構圖．

設計意圖 在核心知識的基礎上，進一步揭示本章研究內容背后蘊含的基本思想、基本技能．

2.4 環節四：課堂小結，反思升華

問題7 本節課，筆者以課前一組訓練題為載體，對本章主要知識、思想方法進行了回顧與梳理，構建了本章知識網絡．請你談談：（1）通過對指數函數與對數函數知識的梳理，你解決了哪些疑難點？你還有什么疑難點？（2）通過對指數函數與對數函數所蘊含的思想方法的回顧，你認為本章應掌握哪些數學思想方法？（3）通過對指數函數與對數函數知識體系的建構，你能說出函數的研究路徑嗎？

師生活動：學生總結本單元的研究路徑、思想方法及解決的疑難點等．教師通過結構圖引導學生將本單元分解為運算、概念、性質、應用四個小模塊．指數冪與對數的運算模塊是本單元基礎，學生在此模塊學習中積累了邏輯推理經驗；在實際情境中抽象概括出指數函數與對數函數定義，學生在概念定義學習中積累了抽象概括經驗；研究指數函數與對數函數圖象時，學生積累了探究觀察經驗；應用函數圖象與性質解決問題時，學生積累了數學建模經驗．

設計意圖 引導學生歸納已有的學習經驗，構建本單元的學習路徑，形成先行組織者^［2］．

2.5 環節五：分層作業，應用遷移

（1）必做題：教材159～160頁，1，2，3，4，5，7；教材141頁12，13；

（2）拓展性作業：借鑒指數函數與對數函數的核心知識結構圖、表，課后用自己的方式進一步構建本章的知識結構圖．

3 教學感悟與總結

3.1 理解教材意圖，落實單元小結

在單元小結教學時，要整體通讀教學內容，從單元教學角度再次認知教材、理解教材，進行教學設計.閱讀教材時，不能只關注重點部分，還要關注章引言、節前導語、旁注等，了解教材整體結構和前后聯系.明確例題地位作用，弄清習題與例題關系，揣摩“探究”“思考”等的編排意圖，在思考中逐步了解編者意圖．這有助于理清章節知識的發生發展過程，準確把握教材背景和邏輯體系，促進學生知識結構自我構建，形成知識體系．

3.2 注重單元小結，顯化隱性知識

本課時設計以5道教材習題為抓手，課堂上通過問題串厘清知識發生發展，形成一般觀念，顯化知識結構，突出內容本質．如通過習題1及問題1，展示多種解法及學生點評，概括出指對互化是基礎，既指明“對數源自指數”，又辨析了指對冪三者運算關系，讓學生整體把握運算本質．可見，單元小結課不僅是梳理知識、構建網絡，也是教會學生研究一類問題的方法與“套路”，更是將隱性知識、思想方法、活動經驗顯性化．

參考文獻：

［1］ 李海東．突出函數本質，重視研究過程，發展數學核心素養（續）：《普通高中教科書·數學（人教A版）》函數主題教材設計與教學建議［J］．中學數學教學參考，2019（11）：15-18.

［2］ 薛紅霞.轉變數學知識觀 做好單元教學設計［J］.數學通報，2022，61（2）：12-15.［責任編輯：李 璟］