初中數學教學中學生逆向思維能力的培養路徑

【摘要】具備逆向思維能力，提升數學思維水平，提高數學解題能力，是每名學生都需要實現的數學學習目標.初中數學教學中，應特別重視學生逆向思維能力的培養，促進學生多元發展.文章在多元切入、科學指導、創新評價三個方面，解析了初中數學教學中學生逆向思維能力的培養，提出以基礎理論、基本公式、定理法則、命題分析、具體問題為載體，在自主合作、問題點撥、專項訓練中，有效培養學生逆向思維能力，提高初中數學教學質量.

【關鍵詞】初中數學；逆向思維；教學路徑

人類思維具有方向性，存在“正向”與“反向”差異，由此產生正向思維與逆向思維.為實現某一事物的創新，在難以通過常規思路解決問題時，均可應用逆向思維.初中數學教學作為培養學生思維能力的重要教學活動，應充分培養學生逆向思維能力.教師應深入挖掘培養學生逆向思維能力的教學資源，借助科學的教學指導策略和教學評價手段，實現學生逆向思維能力的有效培養.下面將參考北師大版初中數學教材，在具體課例中解析學生逆向思維能力的培養路徑.

一、多元切入，培養學生逆向思維能力

初中數學教學內容豐富，基礎理論、基本公式、定理法則等，都有助于學生逆向思維能力的培養，這要求教師在培養學生逆向思維能力時，巧妙從不同角度切入，提高層次性，確保多元性.

（一）以基礎理論為切口，啟發逆向思維能力

定義、概念等基礎理論，是數學學科的基石，也是培養學生逆向思維能力的起點.初中數學教學中的許多理論，本身具有“逆向”特點.在此基礎上滲透逆向思維能力的培養，能夠發揮良好的啟發作用，提高學生對逆向思維的適應程度和調動能力.

例如七年級上冊“絕對值”，教材給出“相反數”的概念，為深入探究有理數的絕對值奠定基礎.如果兩個數只有符號不同，那么稱其中一個數為另一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數.把握有理數的相反關系，應自覺調動逆向思維，故而可創新講解有理數的相反關系，啟發學生逆向思維能力.

首先，教師可向學生提供數軸工具，如圖1，并讓學生直接觀察原點兩側的有理數的規律.數軸原點即“0”有理數點，0的相反數是0，0左右兩端的有理數互為相反數，便于學生直觀理解相反關系.

其次，教師可以為學生設計具體任務，如“在數軸上找出與原點距離是4的點，觀察和描述它們的特點”“在數軸上表示+3、-3、+6、-6，分析它們的特點”.任務假定不同的相反數，使學生由“整體觀察數軸”到“具體分析相反的有理數”，逆向思考相反關系的主要特點.

最后，教師可以鼓勵學生總結個人思考成果，自主描述“相反數”概念及其幾何意義、代數意義.在數軸上，相反數分別表示在原點的兩側，到原點的距離相等，呈現對稱關系.在代數意義上，在一個正數的前面添加負號“-”，就表示這個數的相反數.

如此數形結合，通過直接觀察和逆向描述“相反數”，使有理數的相反關系形象化，啟發學生逆向思維能力.

（二）以基本公式為切口，提高逆向思維能力

代數公式、幾何公式、概率公式等基本公式，是解決初中數學問題的關鍵工具，也是培養學生逆向思維能力的重要載體.在正向理解公式內容的基礎上，逆向推導公式的其他變形和應用方式，能夠顯著提高學生逆向思維能力.故而除基礎概念，教師還應立足基本公式層面，打通學生的思維通道.

例如七年級下冊“平方差”公式，其基本形式為（a+b）（a-b）=a2-b2，表示“兩數和與這兩數差的乘積等于它們的平方差”.但是在其具體應用中，學生不僅應掌握（a+b）（a-b）=a2-b2的基本形式，而且需要具備a2-b2=（a+b）（a-b），（a+b）（a-b）-a2=-b2等其他變形能力，逆向思維即體現在公式變形過程中.教師首先可通過形象的數學圖形，使學生正向推導和理解（a+b）（a-b）=a2-b2，如圖2.其次，教師可設置具體問題，如“觀察（a+b）（a-b）=a2-b2，它還可以表現為哪些形式”，引導學生對基本公式的變形推導.學生可先自主觀察公式，總結其具體內涵，再運用等式的性質，逆向推導a2-b2=（a+b）（a-b），（a+b）（a-b）-a2=-b2，在深入掌握基本公式的同時，提高逆向思維能力.

（三）以定理法則為切口，強化逆向思維能力

在掌握基礎概念和基本公式的前提下，深入探究數學定理和法則，能夠使學生更加深入地把握數學學科核心知識，理解數學的本質規律.由此審視初中數學定理和法則，以此為切口培養學生逆向思維能力同樣關鍵.比如在逆向證明定理和法則的過程中，有效強化學生逆向思維能力.

例如八年級上冊“一定是直角三角形嗎”，其本質為勾股定理的逆運用.勾股定理不僅是一個基本的幾何定理，更是一個用來判斷三角形是否為直角三角形的有力工具.如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形的三邊關系一定滿足勾股定理的條件.然而反過來思考問題，已知一個三角形的三邊關系滿足勾股定理的條件，是否能夠證明這個三角形一定是直角三角形，這是一個典型的逆向思維問題.

教師可先指導學生復習勾股定理，深化直角三角形的理論認識：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2.

接下來，教師可假設不同的三角形邊長，使其三邊關系滿足勾股定理的條件，指導學生逆向證明直角三角形.比如，教師給出5cm，12cm，13cm；0.7cm，2.4cm，2.5cm等三角形邊長，讓學生先計算其三邊關系，提出“三角形是直角三角形”或“三角形不是直角三角形”的假設，再動手繪制三角形，驗證猜想.

大量計算和圖形表明，當三角形的三邊關系滿足勾股定理的條件，這個三角形一定是直角三角形.進而，學生水到渠成地驗證勾股定理的逆定理，在“如果三角形是三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形”中，強化逆向思維能力.

（四）以命題分析為切口，發展逆向思維能力

判斷一件事情的句子叫命題，每個命題都由條件和結論兩部分組成，不同的命題具有不同的正確性.北師大版八年級上冊正式教學幾何證明問題，以命題教學奠定幾何證明的重要基礎.而在命題與非命題、真命題與假命題的分析中，蘊含豐富的逆向思維.對此，教師可完善命題教學，以命題分析為切口，發展學生逆向思維能力.

例如“定義與命題”，教師可廣泛運用教材內容，指導學生分析命題、非命題，真命題、假命題.

首先，教材講解命題的定義，給出6項語句，使學生從中分析命題，如“對頂角相等”“作線段AB=CD”等.命題是判斷一件事情的句子，如“對頂角相等”；如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題，如“作線段AB=CD”.教師可順應教材編排邏輯，在講解命題定義的基礎上，使學生自主對比不同的語句，逆向分析非命題語句特點.

其次，一個句子對某一件事情的判斷，可能是正確的判斷，也可能是不正確的判斷.在此基礎上，命題既有正確的命題，即“真命題”，也有不正確的命題，即“假命題”.教材繼續講解真命題與假命題的定義，給出不同語句，鼓勵學生進行自主分析.教師可順應教材編排邏輯，為學生提供豐富的真命題與假命題，促進其對比分析.

深入分析真命題與假命題，學生不僅應說明真命題正確的原因，而且應列舉示例案例，說明假命題的不正確之處，也稱“反例”.進而，命題、非命題，真命題、假命題的全面分析中，逆向思維無處不在，使學生進一步發展逆向思維能力.

（五）以具體問題為切口，內化逆向思維能力

最終，初中數學教學中學生逆向思維能力的培養，應落實于具體問題的解決.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（簡稱《新課標》）以學生發展為本、以核心素養為導向，進一步強調發展學生“四能”，即：運用數學知識與方法，發現、提出、分析、解決問題.初中數學教學對學生逆向思維能力的培養，同樣應將發展學生“四能”設置為重要目標.對此，教師可發揮具體問題的載體作用，通過一些富有意義和挑戰性的數學問題和實際問題，驅動學生逆向思考.

運用逆向思維解決問題，可直接依據一次函數與一元一次不等式的關系，將y1=-x+3、y2=3x-4轉化為圖像.每個一次函數在平面直角坐標系中都對應一條直線，一元一次不等式如y1

教師可精心設計具體問題，使學生同時運用正向思維和逆向思維解決問題，比較兩種解題策略的優勢和劣勢.進而，通過逆向思維在具體問題中的應用，學生既內化逆向思維能力，也提高問題解決能力，實現對函數與方程思想的深度吸收.

二、科學指導，培養學生逆向思維能力

初中階段的學生雖然具有相對系統的學習經驗，但是在認知結構和學習能力的影響下，仍舊會產生一些思維瓶頸.逆向思維作為一種非常規的思考方式，為許多學生的思維活動帶來挑戰.教師應多元培養學生逆向思維能力，更應加強對學生的科學指導，促進學生對逆向思維的適應.

（一）重視學生主體，促進合作學習

逆向思維能力的本質，是學生自主形成的思維能力，因此在初中數學教學中培養學生逆向思維能力，應時刻重視學生主體.比如上述基礎理論、基本公式等教學活動，教師始終重視學生的主體地位，使其自主經歷思維活動過程，是培養其逆向思維能力的關鍵之一.但是在一些復雜學習活動中，單一的自主學習不能完全滿足學生逆向思維能力的發展需要，合作學習也不可或缺.教師應適當干預學生，使其建立學習小組，自覺展開合作學習.

例如九年級上冊“矩形的性質與判定”，教師首先可講解矩形的基本性質，其次可向學生提供一些圖形和條件，使學生結合矩形的基本性質，自主判定給定圖形是否為矩形.由于圖形的證明過程相對復雜，部分學生容易在證明過程中錯用已知條件.教師可在提出學習任務后，使學生遵照就近原則，前后4人建立學習小組，合作探究給定圖形和條件.合作學習期間，學生先輪流提出逆向證明圖形的方法和猜想，再合作驗證猜想，得出確切的結論，使逆向思維得到充分鍛煉，加強其逆向思維能力的培養.

（二）設置關鍵問題，發揮點撥作用

《新課標》要求學生“會用數學的思維思考現實世界”，強調“數學思維”在學科核心素養方面的重要地位.以此為背景在初中數學教學中培養學生逆向思維能力，不僅應重視具體問題的載體作用，而且應發揮“關鍵問題”的思維點撥作用.

具體操作中，在以任意學習內容為載體的學生逆向思維能力培養中，教師均可順應學生的思維邏輯，設計多層次的關鍵問題.關鍵問題與逆向思考的本質相一致，點撥學生多角度地展開思考，促進學生逆向思維能力的培養.

例如九年級下冊“三角函數的應用”，深入探究教材習題“有一座建筑物，在地面上A點測得其頂點C的仰角為30°，向建筑物前進50m到B點，又測得其頂點C的仰角為45°，求建筑物的高度（結果精確到0.1m）”，對培養學生的逆向思維能力具有顯著意義.具體探究問題時，教師可補充關鍵問題“如果知道建筑物的仰角和地面到建筑物的水平距離，怎樣能判斷建筑物的高度？”“兩次測量中建筑物的仰角，為確定建筑物的高度提供哪些有價值的信息？”等.關鍵問題緊扣三角函數的應用，點撥學生運用逆向思維，在多個角度深入分析建筑物仰角、高度、地面到建筑物水平距離的關系.進而，隨著問題的層層剖析，學生逆向思維能力得到有效培養.

（三）落實專項活動，密切訓練思維

專項活動即：以更加系統的數學實踐活動，密切訓練學生逆向思維能力.基于《新課標》對學生數學思維和解決問題的相關要求，單一的課堂解決問題不能全面滿足學生發展需求，突出核心目標的專項活動逐漸得到廣泛應用.教師可以基于學生思維發展水平，定期落實專項活動，密切訓練學生思維.

例如九年級上冊“用因式分解法求解一元二次方程”，當一元二次方程的一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，可以用因式分解法進行求解.由此可見，想要用因式分解法求解一元二次方程，首先應將方程的一邊轉換為0.教師可以設計“用因式分解法求解一元二次方程”的專項活動，為學生提供（2x+3）2=4（2x+3），2（x-3）2=x2-9等非標準方程，使學生先思考方程能否轉換為“一側為0”的形式、轉換后的方程能否分解為兩個一次因式的乘積，再應用因式分解法求解.

如此“先轉換方程表現形式，再應用因式分解法”的過程，即逆向思維活動過程.進而通過豐富的專項活動，學生的逆向思維能力得到更加密切的訓練，達到更高發展水平.

三、創新評價，培養學生逆向思維能力

《新課標》注重實現“教—學—評”一致性，這再次證明了評價是教學的關鍵一環.使初中數學教學形成完整閉環，必須實現“教—學—評”一致性，在此基礎上培養學生逆向思維能力，既應注重學生逆向思維能力的培養過程，也應加強學生逆向思維能力的全面評價.

例如，將逆向思維能力具體的評價項目，納入原有的初中數學教學評價體系，設計“解題策略多樣性（能否在正向推理問題的基礎上，創新融入逆向思考）”“邏輯推理能力（能否從結論出發，逆向尋找所需條件）”等評價指標.達成課堂教學任務后，客觀運用逆向思維能力評價指標，具體評估學生進步情況.如此，每一次課堂教學評價，都能為深入培養學生逆向思維能力提供重要依據，促進學生長遠發展.

結 語

總之，初中數學教學中學生逆向思維能力的培養，關乎每名學生的思維水平.在多元切入的基礎上落實科學指導，適當創新教學評價，具有一定積極作用.教師應基于初中數學教學，深入挖掘培養學生逆向思維能力的教學資源，加強對學生的有效指導和評價，促進學生逆向思維能力的長遠發展.

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