小學數學教學中引進“尺規作圖”的實踐性研究

【摘要】尺規作圖是指用圓規與無刻度直尺繪制幾何圖形，具有深化學生幾何認知，鍛煉學生幾何分析與操作能力的教學價值.在小學數學教學中引進尺規作圖，可進一步豐富教學內涵，促進學生綜合提升.論述了尺規作圖的概念及其發展史，分析了小學數學教學中引進尺規作圖的實踐價值，同時結合具體教學案例探討尺規作圖引進策略，指出教師可通過多元表征、問題引導、合作討論、應用拓展、評價反饋引進尺規作圖，以期為豐富小學數學課堂教學內容、促進學生綜合發展提供參考.

【關鍵詞】小學數學；尺規作圖；引進；策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）建議：“通過尺規作圖等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質與關系.”將尺規作圖引進小學數學教學，順應《新課標》背景下的小學數學教學改革趨勢，有利于學生對幾何知識的深入理解與靈活應用.教師應認識到尺規作圖的實踐教學價值，同時基于小學數學幾何教學要求、學生發展特征合理組織教學活動，為尺規作圖的有效引進奠定基礎.

一、尺規作圖的概念及其發展史

顧名思義，尺規作圖指的是利用圓規與無刻度直尺繪制幾何圖形.《新課標》明確尺規作圖教學內容，如用尺規作圖作一個角等于已知角；作一條線段等于已知線段等.根據《新課標》，尺規作圖可被視作一種輔助教學手段，用于訓練學生的幾何繪圖、直觀聯想、邏輯推理等能力.在教育研究領域，任意一種輔助教育手段都是在歷史的不斷發展中產生與完善的，尺規作圖也不例外.縱觀數學史，尺規作圖的誕生與發展主要經歷了以下幾個階段.

第一，興起階段.尺規作圖最初出現在希臘數學史中，以無刻度的直尺和圓規為主要工具.其中，無刻度直尺可用于繪制無限長的直線，圓規可基于定點繪制不同大小的圓或圓弧.將二者結合使用，可以繪制出許多組合圖形.

第二，發展階段.歐幾里得在《幾何原本》中提出尺規作圖的公設，如：過兩個不重疊的點可以確定一條線段；將一個點作為圓心，用一條半徑可確定一個圓.

第三，延伸階段.尺規作圖方式在不斷發展過程中得到廣泛應用，有數學家在研究尺規作圖時發現更多問題，如：是否可以應用尺規作圖在有一已知圓的基礎上做出與之面積相等的正方形；是否可以應用尺規作圖對任意一個確定的角進行三等分；是否可以應用尺規作圖在有一已知立方體的基礎上作出體積為其兩倍的另一立方體.

目前，尺規作圖已經成為義務教育數學課程教學內容的一部分，一般被用于幾何知識的教學過程.教師多將尺規作圖視作一種教學工具，通過呈現尺規作圖案例、演示尺規作圖過程逐漸引出幾何教學內容.

二、小學數學教學中引進尺規作圖的實踐價值

（一）有益于發展學生的幾何思維

通過尺規作圖，可以直接展示線段、角、圓等幾何圖形的特征，從視覺方面引發學生對幾何圖形特征、性質的直觀認識，激活學生的幾何直觀思維.在小學數學教學中引進尺規作圖，可以增多學生幾何觀察的學習機會，使其在直觀分析的過程中明確幾何概念的具象表現，拉近學生與幾何教學內容的距離，為其幾何思維的發展營造良好氛圍.除此之外，小學數學教學中指導學生應用尺規作圖按照要求繪制線段、角及其他幾何圖形，有利于學生反思圖形的外部特征及內部性質，進一步深化學生對幾何概念、原理的理解，提高學生的空間想象能力.

（二）有益于鍛煉學生操作能力

尺規作圖要求用無刻度直尺、圓規作圖.其中，無刻度直尺的應用要注意選擇明確的點作為起點和終點，要注意將起點和終點對準無刻度直尺的邊緣，保持直尺的位置不變，用鉛筆沿直尺的邊緣緩慢滑動，繪制出一條直線.圓規的應用要注意控制圓規兩腳之間的距離，將帶有針的一端固定在一個地方，作為圓心，將帶有鉛筆的一端旋轉一周，使其在紙上畫出圓.在小學數學教學中引進尺規作圖，可為學生提供更多無刻度直尺、圓規的操作機會，使學生在學習繪圖工具的使用方法、應用工具按要求繪制幾何圖形的過程中提升無刻度直尺、圓規的操作能力.

（三）有益于提升學生推理能力

義務教育階段的尺規作圖教學內容主要圍繞“作一條線段等于已知線段”“作一個角等于已知角”“作已知線段的垂直平分線”“已知三邊作三角形”“已知兩角一邊作三角形”等問題展開.在小學數學教學中引進尺規作圖，勢必要讓學生參與到相關問題的研究中.以“作一條線段等于已知線段”教學為例，作圖之前，學生必須在腦海中構思繪圖的步驟、策略及方法，在明確圖形具體位置、大小后才能真正動手繪制.這一過程中，學生需要運用類比、推理等方法解決尺規作圖問題，久而久之有益于提升學生的推理能力.

三、小學數學教學中引進尺規作圖的實踐策略

（一）多元表征，強化尺規作圖認識

1.語言描述，說明尺規作圖含義

小學數學教學中引進尺規作圖應以“是什么—為什么—怎樣做”為基本思路.其中，指導學生明確“是什么”是有效引進尺規作圖的前提.教師應整合教材內外的理論資源，梳理相應知識點并組織語言，系統說明尺規作圖的定義、工具、作圖步驟及其用途，幫助學生對尺規作圖形成大致認識，為后續的探究教學、操作教學等奠定理論基礎.

以人教版二年級上冊“角的初步認識”一課教學為例.組織學生用尺規作圖繪制角之前，教師可組織“尺規作圖”專題講解活動，在活動中對主要知識點加以概括說明：①尺規作圖指的是用無刻度直尺與圓規進行圖形繪制的一種繪圖方法，具有精確、規范、簡潔的特性.②尺規作圖以直尺、圓規為主要工具，且繪圖過程中直尺與圓規不能交叉使用.其中，直尺用于畫直線段，圓規用于畫圓或弧線，有兩個針腳，一端固定在圓心上，另一端用于放置筆芯.這樣，通過系統講授概念、定義、繪圖工具及其用法，指導學生形成大致認識，為其后續利用尺規作圖繪制角奠定基礎.

2.動畫演繹，展示尺規作圖特征

小學階段學生具備觀察現實事物并概括其幾何特征的能力，但在學習抽象的數學公式、概念方面存在困難.小學數學教學中引進尺規作圖，教師需要根據學生的認知特征調整教學內容.教學中，教師可以應用多媒體課件、微課視頻等信息化教學工具，直接展示尺規作圖的步驟、細節和成果；教師也可以用演繹教學方法，直接應用圓規、無刻度直尺在黑板上演繹尺規作圖的全過程.通過多元表征讓學生直接觀察尺規作圖的步驟、方法及細節，從根本上強化學生的作圖認識.

以人教版二年級下冊“圖形的運動（一）”一課教學為例.教師可以在講解軸對稱部分內容時引進尺規作圖，借助Flash動畫直觀演繹繪制已知圖形軸對稱圖形的過程（如圖1），強化學生認識.

這樣，運用Flash動畫直接演繹測量距離、定點、連線的過程，使學生認識到利用無刻度直尺與圓規也可完成軸對稱圖形的繪制，開闊學生幾何學習視野，引發學生對尺規作圖的直觀認識.

（二）問題引導，激發自主探究意識

《新課標》提倡借助真實問題驅動學生聯系已掌握的數學知識、現實生活經驗自主探究，使學生進一步認識真實世界，形成解決問題的能力.小學數學教學中引進尺規作圖，應以《新課標》為參考，通過提出問題引導學生探究尺規作圖的含義、方式方法等，為學生真正掌握相關內容奠定基礎.為此，教師可分析教學內容，圍繞尺規作圖教學重點、難點設置具有啟發性的教學問題，并在課上提問，由此激發學生的自主探究意識.

以人教版四年級上冊“角的度量”一課教學為例.此課教學重點在于讓學生理解角的含義，能畫制定度數的角，掌握角的畫法.此課引進尺規作圖，可將重點放在“如何繪制與已知角等大的角”這一問題上.由此，教師可以提出問題，引導學生深入探究：現有∠AOB，如何不用量角器繪制一個與∠AOB等大的角？你是怎樣思考的？這一問題與“作與已知直線相等的直線”有怎樣的關系？借助問題序列引發學生的聯想，使其回顧用尺規作圖“作與已知直線相等的直線”的全過程，并提出猜想，如：是否可以用尺規作圖繪制與已知角等大的角？在學生提出關鍵性設想時，教師可趁熱打鐵，繼續追問：那么尺規作圖時要注意哪些問題？需要定點么，怎樣定點？這樣，通過提問、追問引導學生深入探究尺規作圖的方法，為學生進一步掌握尺規作圖的方法、技巧奠定基礎.

（三）合作討論，增強尺規作圖認知

與直接應用刻度尺、三角板、量角器繪制圖形不同，尺規作圖需要學生根據作圖要求預設作圖方案，并嚴格執行方案繪制圖像，解決數學問題.缺乏猜想、推理能力，很難完成尺規作圖學習任務.為此，教師可在引進尺規作圖時組織合作討論教學活動，由推理能力強的學生帶動推理能力弱的學生去猜想、推理、繪圖，使學生在相互交流、相互討論的過程中完成知識的傳遞，使所有學生都能在合作中得到提升.

以人教版四年級上冊“平行四邊形和梯形”一課教學為例.為使學生在此課教學中充分掌握尺規作圖的基本步驟與技巧，教師可組織討論活動，要求學生以小組為單位合作完成繪圖要求，并在交流、討論的過程中總結繪圖方法.比如，教師可以設計探究任務：如何用尺規作圖繪制平行四邊形？由此任務驅動學生合作討論，如：我認為可以通過尺規作圖繪制兩組分別平行的直線，將其拼成一個平行四邊形；我認為可以先用無刻度直尺繪制一條直線，再利用圓規確定兩條直線平行的距離，確定關鍵點，再用無刻度直尺連接關鍵點，得到一組平行線.討論中，勢必有學生缺乏聯想能力，無法理解組內其他學生的想法.這時，教師可參與其中，引導思維能力強的學生幫助思維能力弱的學生，通過直觀演繹、說明原理等方式展現利用尺規作圖繪制平行四邊形的過程，強化學生認知體驗.在此基礎上，教師可幫助學生總結繪圖技巧，如：一是用無刻度直尺畫線，二是利用圓規畫圓弧定點.

（四）應用拓展，培養實踐操作能力

小學數學教學中引進尺規作圖，不僅要將教學重點放在作圖方法、技巧的講解上，還要重視練習教學，通過為學生提供更多實踐操作機會，使學生的繪圖能力得到提升.為此，教師可組織應用拓展教學活動，聚焦小學數學教材及教輔資料，提煉難度適中且能充分鍛煉學生尺規作圖能力的數學問題.之后，通過板書問題、布置任務等多種方式組織學生應用無刻度直尺、圓規進行繪圖，使學生在動手操作的過程中提升幾何直觀能力與空間想象能力.

以人教版四年級下冊“三角形”一課教學為例.為使學生在實際操作過程中提高尺規作圖的技能，根據條件作出三角形，教師可在課程教學中組織應用活動，驅動學生在解決教材內外習題的過程中積累經驗，提升技能.比如，教師可基于教材中的“作已知線段的等長線段”“作已知角的等大角”等習題組織拓展練習：已知三角形的兩邊及其夾角，要求應用尺規作圖作這個三角形.由此驅動學生應用無刻度直尺延伸已知角的兩邊，應用圓規兩腳作測量工具測定兩邊長度，并以角的頂點為圓心畫圓弧定點，得到三角形.這樣，通過練習開闊學生的畫圖視野，使學生認識到尺規作圖應用的多樣性，同時提高學生的實踐操作能力.

（五）評價反饋，幫助學生反思提高

發揮教學評價的檢驗、指導等教學功能，是指導學生認識自身不足，解決自身學習問題的關鍵.小學數學教學引進尺規作圖時，教師可靈活應用教學評價檢驗、評判學生的學習情況，并指出學生的學習不足，幫助學生認識自身問題并改正.為此，教師可提前設置教學評價標準，并以此為參考在教學中落實教師點評.完成教學評價后，教師可以幫助學生根據評價結果調整自身的尺規作圖學習方案，幫助學生查漏補缺，提高學生的理論與實踐能力.

以人教版五年級下冊“圖形的運動（三）”一課教學為例.將尺規作圖引進此課教學，重點在于指導學生利用圓規與無刻度直尺畫旋轉圖形.基于教學重點，教師可預設評價標準，用于評判學生是否在課堂學習中達到預期，如：學生是否能找到構成圖形的關鍵點；學生是否能確認有關旋轉的要素，如旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度；是否能以旋轉中心為圓心，以旋轉中心到各關鍵點的距離為半徑畫圓弧；是否能以旋轉中心為頂點，通過各個關鍵點作射線，并與圓弧相交；能否根據圖形關鍵點和大小畫出旋轉后的圖形等.明確評價標準后，教師可觀察學生的繪圖行為表現，判斷學生是否有意愿探究尺規作圖的方法，是否有能力完成尺規作圖的任務等.這樣，通過落實客觀點評幫助學生認識到自身在尺規作圖方面的不足，為學生反思并解決自身問題，持續提高尺規作圖能力提供參考.

結 語

綜上所述，指導學生應用圓規與無刻度直尺進行尺規作圖，可以加深學生對幾何知識的認識，對于發展學生的幾何直觀、邏輯推理、實踐操作能力有著積極意義.小學數學教學中，教師應明確尺規作圖的內涵，挖掘小學數學教材中的尺規作圖教學要素，并結合學生的發展特征組織相應活動，引領學生逐漸掌握尺規作圖的概念、方法及原理.在組織教學實踐活動時，教師還應靈活應用教學方法，如多元表征法、問題導向法、討論教學法等，通過靈活應用教學方法營造開放、生本的教學課堂，由此強化學生尺規作圖體驗，促進學生能力持續提高.

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