“數軸模型”在小學低段數學拓展課中的構建與應用

【摘要】數形結合是一種重要的數學思想方法，它將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，通過數與形之間的相互轉化來解決數學問題.“數軸模型”是一種數形結合方式.文章根據“數軸模型”既能幫助學生從直觀層面上理解數的含義、理清數與數之間的關系，還能幫學生理解運算意義、明晰數量關系等四個維度分別拓展了四個案例，旨在通過這四個案例的剖析，讓教師可以借鑒思路，創造更多能利用“數軸模型”解決問題的拓展課，從而將數形結合的思想有效滲透到學生的頭腦中，提高學生的核心素養.

【關鍵詞】“數軸模型”；小學數學；低段數學；拓展課；應用

現實世界中，數與形不可分割地結合在一起，數與形相結合不僅是數學自身發展的需要，也是加深對數學知識的理解、發展智力、培養能力的需要.數軸作為數形結合的一個典型代表，真正意義上實現了數與形的第一次“聯姻”，使數與直線上的點建立了對應關系，揭示了數與形的內在聯系，并由此成為數形結合的基礎.張丹教授曾在《義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀小學數學》中說過：“在小學不出現嚴格的數軸，而是替代為多種多樣學生可以理解的形式.”因此，小學階段會以數尺、數線等形式出現，不管是何種形式出現，這些形式本質是與“數軸”一樣的，筆者就稱其為“數軸模型”.

一、“數軸模型”在小學低段數學拓展課中應用的意義

數軸是一種高度抽象的數學符號，也是一種特定的幾何圖形.數軸上有點，每個點對應一個數，可以直觀地呈現數的順序以及數與數之間的大小關系；數軸上有間隔，每個間隔大小就是相應兩個數之間的相差數；數軸有方向，規定右邊為正，越往右數越大，越往左數越小.數軸不僅能夠讓學生在認識“它”時，直觀理解數的基數含義、序數含義、大小比較，還能通過數軸幫助學生理解運算的意義.因此，“數軸模型”的構建與應用對于低段學生學習數學有著深遠的意義.

順應時代、學生對教育的需求，“拓展”一詞在教育界使用頻率越來越高.新課程提倡的“用教材教”，意在讓教師創造性地使用教材來培養學生的核心素養和學習能力.因此，以“數軸模型”作為“拓展點”，對“數軸模型”在學生頭腦中的構建進行有效拓展，使學生因拓展而學有所獲，學有樂趣.

二、“數軸模型”在小學低段數學拓展課中的實施策略

借助“數軸模型”，讓學生對“數”的理解更豐富、“運算”的條理更清晰，讓學生對數形結合思想的種子深埋智慧的根基.“數軸模型”在小學低段數學拓展課中的實施應遵循以下幾方面：

（一）數線結合，感知一一對應

動手動腦的結合，會令學生的記憶更加深刻.所以筆者在設計起始課時，采用讓學生自己動手的操作過程中建立起始概念，動手操作中加深對數與形一一對應的理解.

案例1

任務一：請你在一條數軸上標出0，4，7，10這些數.

活動要求：

（1）想一想：如何在數軸上標記出上面哪些長度；

（2）標一標；

（3）說一說：你是如何進行標記的.

反饋要點：

（1）追問：為什么這兩個點分別叫4和7呢？

（2）肢體操作：比畫0到4的長度，0到7的長度.

（3）追問：7比4多，多出來的在哪里？請指一指.

任務二：請你在一條直線上標出0，2，5，10這些數.

活動要求：

（1）分一分：確定多少的1小段代表幾；

（2）標一標；

（3）說一說：你是怎樣標出來的.

設計意圖 如果在教學完10以內的數的認識之后，給學生出示數軸，讓學生填數軸上的數字，那么這條數軸的作用，只是一種擺設，與直接出示一組數“0，1，2，3，4，□，□，7，8，□，10”讓學生填空的作用是一樣的.為了更好地調動學生的思維，幫助學生把數與形對應起來，通過案例中的2個任務達到以下3個目的：

1.感知“數軸模型”上點與數一一對應的本質

數軸上的點表示一個數，這個數實際上是從序數層面上理解的，因為數在數軸上是有順序的，學生能從直觀上感受到每個數的位置，達到序數與點的對應.在教學這節課之前，學生應該對數軸已經有了初步的認識了，因為剛入學不久，數軸以數尺形式跟學生已經有了第一次接觸.學生已經能夠根據已有經驗完成任務一的填寫.

2.感知“數軸模型”上線與數一一對應的本質

這節課的任務一，承載的重要任務便是讓學生理解線與基數的對應關系.在反饋任務一時，教師指出這條數尺的開始在哪呢？把0和數軸的開始這點對應了起來.再讓孩子們指出數尺上的4在哪？7呢？為什么這兩個點分別叫4和7呢？在師生互動中，讓學生明白，是因為4這個點離0（起始點）只有4條線段，而7這個點離0（起始點）有7條線段，再從0摸到4這個點，感受一下這里的4條線段有多長，從0摸到7這個點，感受一下這里的7條線段有多長，再將自己的體會與大家交流.

3.感知“數軸模型”上等距的意義

任務二的設計，便是讓學生在操作中感悟等分線段的重要性，等距意味著單位長度的建立.任務二建立在任務一基礎上，學生只要突破均勻分段，第二個任務的難度就迎刃而解了.學生在嘗試分段中，鍛煉了動手能力，在數與形關系的感知上也會更深刻.

（二）數線結合，尋找數數關系

學生對“數”的意義的理解，不僅包括了他們對基數、序數的理解，更是對數的大小的感知，而對數的大小是否感知，則是通過此數與彼數的關系的刻畫是否精準來衡量的.接下來的這個案例，筆者對數軸進行變身，利用“數軸模型”試圖讓學生在游戲中精準感知數的大小來豐富對“數”的意義的理解.

活動要求：

（1）想一想：如何在圖片中標出上面那些數字；

（2）標一標；

（3）說一說：你是怎樣標出來的.

任務二：你能根據數線上的信息，找到打開寶箱的密碼嗎？在寶箱上填入正確的數，即可打開.

活動要求：

（1）想一想：怎樣在圖片中標出上面的數字；

（2）標一標；

（3）說一說：你是如何標記的.

設計意圖 與10以內數相比，100以內的數則是大數，想豐富大數在學生頭腦中的建構，雖然給數軸變了身變成了一條數線，但是不管是標準的數軸，還是變化后的數線所起到的作用都是一樣的，那么這個設計達到兩個目的：

1.借助一個數的位置，推測出另一個數的位置

第一個任務讓學生在緊張的尋寶游戲中明白數線上的點與數是一一對應的，可以借助一個數的位置，用不同的數格子方法，推測出另一個數的位置.比如任務一中，學生推測58的位置，教師讓學生思考從38開始數，還是從64開始數，幾個幾個數比較好？學生推測84的位置，教師要追問：為什么84在80和88的中間位置？

2.根據兩數之間數線的長短，確定另一個數的位置

第二個任務讓學生體會到即使沒有格子圖作背景，也可以根據兩個數之間數線的長短關系來確定另一個.比如在任務二中，學生推測19前面的數，可以根據19與20之間的長度，來確定19前面有幾個那樣的長度，從而判斷出來.

（三）數線結合，理清運算算理

數軸上的點往左邊移動一個單位長度，那么數就減少1個，往右移動一個單位長度，那么數就增加1個，這種特點就與加減法聯系了起來；數軸上的點如果幾個單位幾個單位地移動，這就會涉及乘除法.新課程倡導運算教學既要讓學生掌握抽象的法則，又要讓學生在直觀中理解算理，更需要讓學生充分體驗由直觀算理到抽象算法的演變過程.那么，如何“循理入法，以理馭法”并實現“法理相融”呢？在這個過程中，可以借助“形”的橋梁作用.筆者意圖通過下面兩個案例，來說明運用“數軸模型”的優勢.

案例3 任務一：說乘法口訣.

活動要求：

（1）想一想：通過觀察數軸上的數字，你能想到哪一條乘法口訣？數軸上的各個點，分別表示什么？根據數軸上其他的點所代表的數字，你能想到哪句乘法口訣？

（2）說一說：將想到的乘法口訣與同桌進行交流.

任務二：編乘法口算.

活動要求：

（1）分一分：請你在畫好的數軸上進行等分，并在每個點下面寫好對應的數字.

（2）考一考：與同桌進行互動，考考他其他點分別可以想到哪些乘法口訣？

設計意圖 這個游戲讓學生在玩中明白這種“等距離”累加，其實就是相同加數連加的乘法本質，使學生清楚地認識乘法口訣中每個乘積的來源，理解相鄰兩個積之間的等差關系.數軸不僅可將抽象的“數”直觀化，更有助于學生理解運算，將運算形象化.同時瓦解了學生腦海中“一條線段代表1”的固有思維.

（四）數線結合，明晰數量關系

“數軸”就像“水源”，教師可以通過數形結合帶給學生解決問題的思路、方法和策略，讓學生面對新問題、新挑戰時，心中有“招”.下面的案例解決“移來移去”這類拓展題，讓學生感受到用數軸解決此類問題的優越性.

案例4 任務一：多多設計了一種樂器，上面有同樣多的黑色按鍵與白色按鍵，琪琪偷偷拆下4個黑色按鍵，換成白色按鍵裝了上去，現在樂器上白色按鍵比黑色按鍵多幾個呢？

活動要求：

（1）畫一畫：請你在畫好的數軸上表示出他們現在和原來的關系；

（2）列一列：根據圖示列出算式.

反饋解析：

原來一樣，說明兩種鍵都在同一個點上，現在黑色少了4個，那就是黑色向左退了4個單位長度，白色多了4個，說明白色向右前進了4個單位長度.這時候白色領先黑色4+4=8（個），所以白色多了8個.

任務二：多多和然然拔蘿卜，多多比然然多拔了10根，然然不開心了，多多送給然然1根蘿卜，那么現在誰的蘿卜多？多幾根？

活動要求：

（1）畫一畫：請你在畫好的數軸上表示出他們現在和原來的關系；

（2）列一列：根據圖示列出算式.

反饋解析：

原來多多比然然多10根，說明原來他們兩人的距離是10，多多排右邊，然然排左邊，后來多多少1根，說明多多要先左后退1個單位長度，然然多1根，說明然然要向右前進1個單位長度，從圖中發現這時多多與然然的距離是10-1-1=8（格），多多排右邊，說明多多的蘿卜多.

設計意圖 因為數軸上的點、線、箭頭都賦予了特定的意義，問題情境中的每個數都準確地在數軸上找到位置，這個問題就變得非常直觀.如果多（加）了一個數，那么這個點往右邊移動一部分，如果少（減）了，那么這個點往左邊移動一部分.所以“移來移去”這類題與“數軸模型”進行融合，既能讓學生體會到解決問題原來是那么輕松，還能讓學生體會到數軸的大功用，體會到數變形的妙處，從而豐富了學生的解題策略.

三、“數軸模型”在小學低段數學拓展課中的實踐成效

（一）形成了以“數軸模型”為載體的小學低段數學拓展課框架

對“初識數軸”單元設置《我會等分》《我會標數》等課題，其中針對等分知識，教師需引導學生學會利用直尺畫直線，并具備一定的等分能力.對標數學習，教師應引導學生認識10以內的數字.

對“創造數軸”單元，教師可設置《我會找數》課題，并分為兩個階段，第一階段則是學習教材前面兩節拓展課；第二階段為學習100以內的各個數字.

對于“巧用數軸”單元，教師可設置《我會找加法》課題，主要目標是讓學生學習加法的意義；設置《我會找減法》課題，引導學生了解減法的意義；設置《我會找乘法》課題，促使學生熟練掌握乘法口訣及其意義；設置《我會找除法》課題，促使學生能夠明白除法的意義；設置《我會解決問題》課題，引導學生能夠自行解決量的增減等類型題目.

（二）“數軸模型”教學為學生理解數量帶來了直觀

數本身是抽象的，把抽象的“數”納入形象的“形”系統里，學生對“數”內容的理解更豐滿了；學生通過經常性地在數軸上填數、估數，理解了這些數系統相互聯系的方式，學生的數感也加強了.

（三）“數軸模型”教學為學生解決問題提供了方法

數學說到底是“畫”出來的，把語言文字轉化為一定的圖形，最后轉化成運算符號，算出所要的結果.因為學生長期數與形鏈接的訓練，學生在解決問題中潛移默化地運用了“畫”的方法，提高了解決問題的正確率.

結 語

綜上所述，數軸以其直觀的形式、貼近學生的認知、揭示數的本質等優勢成為學生認識數和理解數的有效而必要的學習材料.因此，教師要深入研究，充分挖掘數軸教學的價值，創造出更多、更好的教學資源，讓學生的核心素養得到提升.

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