正反例證：助推概念教學(xué)通往數(shù)學(xué)本質(zhì)

【摘 要】在數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)日益多元的背景下，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思維單位即概念的理解成為教學(xué)關(guān)注的焦點(diǎn)。如何在概念教學(xué)中凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)一直是熱點(diǎn)話題，文章從內(nèi)涵、作用等角度出發(fā)，論述了合理使用正反例有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，并提供了若干使用策略。

【關(guān)鍵詞】正例；反例；概念教學(xué)；數(shù)學(xué)本質(zhì)

“核心素養(yǎng)”成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育討論的高頻詞，人們越來越關(guān)注數(shù)學(xué)教育的培養(yǎng)目標(biāo)，即通過數(shù)學(xué)教育，我們應(yīng)該培養(yǎng)什么樣的人。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，要培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。［1］無論是數(shù)學(xué)的眼光，還是數(shù)學(xué)的思維，抑或是數(shù)學(xué)的語言，概念都在其中扮演重要的角色。在概念學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會接觸到很多關(guān)于概念的例子，把這些例子按性質(zhì)和特點(diǎn)進(jìn)行分類，可以歸結(jié)為正例和反例。本文將從正反例證的意義、作用和使用策略三個角度闡述其與概念教學(xué)的密切關(guān)系。

一、正反例證的內(nèi)涵

（一）正例的內(nèi)涵

許多研究者都給正例下過定義。郭建鵬等認(rèn)為正例是具備概念所有相關(guān)屬性的成員。［2］朱舒認(rèn)為正例是指概念里包括共同本質(zhì)特征的適當(dāng)例證。［3］李善良認(rèn)為正例也稱為肯定例證，主要是概念所在類別中包括概念所有本質(zhì)屬性的成員，可以分為原型和變式兩種類型。［4］他在綜合過往理論并結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際的基礎(chǔ)上，提出原型就是數(shù)學(xué)概念的所有正例中最中心的例子，能直觀地體現(xiàn)出概念的所有特征，具有典型性和標(biāo)準(zhǔn)性；而變式就是概念的正例在無關(guān)特征或者非本質(zhì)特征方面有變化，以此來突出概念的本質(zhì)屬性，尤其是那些隱藏的本質(zhì)屬性，因此變式具有變異性和變化性。

正例的上述定義意思都很相近，綜合以往研究，我們認(rèn)為正例是指具有概念的所有本質(zhì)屬性的例子，按照無關(guān)特征的變化與否可以分為原型和變式兩種。以梯形為例，梯形的本質(zhì)屬性有兩個：（1）四邊形；（2）只有一組對邊平行。而其余的屬性，比如是否上窄下寬等則是非本質(zhì)的、無關(guān)的屬性。在實(shí)際教學(xué)中，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生更容易識別圖1（a）的圖形是梯形，對于圖1（b）的圖形是否是梯形，判斷時間明顯延長，正確率也有所下降。這是因為（a）是梯形里最標(biāo)準(zhǔn)、最典型的例子，即原型，而（b）雖然也是梯形，但是它在（a）的基礎(chǔ)上對無關(guān)屬性進(jìn)行了一些變化，所以較難識別。

（二）反例的內(nèi)涵

郭建鵬等認(rèn)為反例是指至少缺少概念的一個相關(guān)屬性的例子。［2］朱舒認(rèn)為反例是一種非概念性變式，是從反面論證數(shù)學(xué)概念的例子。［3］李善良在定義反例之前，先給概念的否定例證下了定義，即不是概念的肯定例證的例子都是概念的否定例證，也就是說概念的否定例證不具有概念的本質(zhì)特征或只有部分本質(zhì)特征。如果一個概念的否定例證不具有這個概念的多數(shù)的、明顯的本質(zhì)特征，則這個否定例證稱為一般否定；如果只是不具有該概念中個別的、潛在的本質(zhì)特征且無關(guān)特征保持一致，那么這個否定例證就稱為反例。［4］黃名川認(rèn)為，數(shù)學(xué)中的反例，可以是針對具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容如數(shù)學(xué)概念、定理等進(jìn)行辨析的一般意義上的反例，也可以是用來否定命題的反例。［5］對于針對命題形式的反例，王敬庚指出，數(shù)學(xué)中反例是用來指出原命題為假命題的例子［6］，郝紅賓認(rèn)為數(shù)學(xué)反例是指符合某個命題的條件，卻不符合該命題的結(jié)論的例子［7］。黃偉星從反例在數(shù)學(xué)史和教學(xué)實(shí)際中的作用出發(fā)，認(rèn)為反例是一種特例，這種特例符合某個猜想的條件但不符合它的結(jié)論。［8］

可以看出，上述研究者和一線教師對反例的定義有的是針對具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有的是針對數(shù)學(xué)中的命題。綜合上述觀點(diǎn)，我們認(rèn)為概念教學(xué)中的反例是指至少缺乏概念的一個本質(zhì)屬性的例子。例如，平行四邊形雖然是四邊形，且也有一組對邊平行，但不是只有一組對邊平行，所以平行四邊形不是梯形。

二、正反例證的作用

（一）正例的作用

概念的原型具有標(biāo)準(zhǔn)性和典型性，它能夠迅速地向?qū)W生展示概念的所有本質(zhì)屬性，并在學(xué)生心中建立起相應(yīng)概念的表象。但是當(dāng)筆者讓學(xué)生識別圖1中的兩個梯形時，發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生并沒有根據(jù)梯形的定義去判斷，而是采用了相似性策略，即比較兩個圖形與梯形原型的相似程度，相似程度越大，越容易判斷它是梯形，反之相似程度越小，越容易判斷它不是梯形，這在概念學(xué)習(xí)中是十分“危險”的。由此可見，只使用原型或者只強(qiáng)調(diào)原型會讓學(xué)生誤以為原型的所有屬性都是概念的本質(zhì)屬性，從而對概念的屬性分化不足，對概念的本質(zhì)產(chǎn)生誤解。針對這一點(diǎn)，變式是概念的正例在無關(guān)屬性方面的變化，通過與原型的對比，能夠讓學(xué)生辨析接觸到的所有屬性中哪些是概念的本質(zhì)屬性，哪些是概念的無關(guān)屬性，可以拓展學(xué)生對概念外延的認(rèn)識，豐富理解概念的視角。例如，用圖1的兩個圖形進(jìn)行對比練習(xí)后，學(xué)生能清楚地判斷一個圖形是否是梯形的關(guān)鍵在于它是不是四邊形以及是不是只有一組對邊平行。但值得注意的是，過多使用變式同樣存在危害，因為變式具有非標(biāo)準(zhǔn)性，概念的本質(zhì)屬性往往不夠明顯，過多的接觸容易使學(xué)生的思維發(fā)生混亂，對概念表象的建立產(chǎn)生困難。

不難發(fā)現(xiàn)，概念的原型和變式的作用是相輔相成的，只使用其中任何一種都不利于概念的完整理解。總之，合理地使用概念的正例能夠為學(xué)生的概念理解提供支持，拓寬概念理解的視角，讓抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、形象化，強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識。

（二）反例的作用

通過正例的學(xué)習(xí)，學(xué)生在心理上已經(jīng)能夠建立起對概念的表征，但此時的表征是單一的，因為變式雖然能夠排除一部分無關(guān)屬性，但是學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的各種表現(xiàn)形式以及本質(zhì)屬性之間聯(lián)結(jié)方式的認(rèn)識還不夠清晰，反例的適時使用能夠改善這一情況。由于反例是變化概念的本質(zhì)屬性且往往在無關(guān)特征上與原型保持一致，所以能起到“精致”概念的作用，即不斷排除無關(guān)屬性，強(qiáng)化突出概念的本質(zhì)屬性。例如，圖2（b）是學(xué)生在畫三角形的高時容易出現(xiàn)的典型錯誤，說明這部分學(xué)生對三角形的高的本質(zhì)屬性認(rèn)識不清晰。將圖2（b）與圖2（a）進(jìn)行對比、辨析，能夠突出三角形的高的最本質(zhì)屬性——從頂點(diǎn)出發(fā)和垂直于對邊，而是否在三角形內(nèi)是它的一個無關(guān)屬性。

在概念學(xué)習(xí)后期，讓學(xué)生自主舉出反例是反例的另一使用形式。學(xué)生能舉出符合題目要求的反例是深刻理解概念的重要標(biāo)志，也是教師評價學(xué)生概念理解的一個重要手段。舉出反例往往比辨析反例更加困難，因為在構(gòu)造反例的時候?qū)W生需要檢索已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并基于已有的知識表征形式對知識進(jìn)行組合，一個組織不完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是很難構(gòu)造出相應(yīng)的反例的。例如，讓學(xué)生判斷命題“三個合數(shù)相乘的積一定是偶數(shù)”是否正確時，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中至少要有以下的組織才能做出正確判斷：（1）只有乘數(shù)都是奇數(shù)，積才是奇數(shù)。（2）合數(shù)里既有偶數(shù)也有奇數(shù)。若學(xué)生混淆合數(shù)和偶數(shù)的概念，則很難察覺這個命題的錯誤。

值得注意的是，雖然反例在突出概念本質(zhì)屬性方面具有獨(dú)特作用，但也不是使用得越多越好，由于其復(fù)雜性，大量使用容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒且容易使教學(xué)偏離重點(diǎn)。更需要關(guān)注的是，反例在概念教學(xué)的初始階段宜少用或不用，在通過正例幫助學(xué)生建立起概念的初步表征以后使用效果最佳。

三、正反例證的使用策略

基于以上分析可以看出，合理地使用正反例有利于學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，掌握概念的外延，對于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)屬性有很大幫助。那么，如何才算是合理使用呢？筆者綜合理論和實(shí)踐研究，結(jié)合具體例子提出如下三點(diǎn)策略：

（一）正例之間的差別要大

當(dāng)選用若干個正例進(jìn)行對比時，要在保證概念的本質(zhì)屬性一致的前提下，讓無關(guān)屬性盡可能不同，這樣的對比可以幫助學(xué)生及時排除概念的無關(guān)屬性。以平行四邊形為例，圖3（a）中的圖形學(xué)生接觸得最多，因而可能會認(rèn)為平行四邊形的四個內(nèi)角不是直角，鄰邊不相等，這時我們可以讓學(xué)生討論長方形（包括正方形）是不是平行四邊形，通過質(zhì)疑、爭辯，逐步明晰平行四邊形的本質(zhì)屬性（見表1），理解長方形、正方形都是特殊的平行四邊形，進(jìn)而拓寬對平行四邊形概念外延的認(rèn)識。

（二）正例和反例之間要相互匹配

所謂匹配，是指正反例之間要盡可能保持無關(guān)屬性的一致，只在某個本質(zhì)屬性上發(fā)生變化。變易理論為這種做法提供了很好的解釋。變易理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)源于系統(tǒng)的重復(fù)和變易，學(xué)習(xí)意味著發(fā)現(xiàn)一種認(rèn)識對象的方式。要認(rèn)識某個事物，就必須審辨出這個事物與其他事物在某個屬性上的不同之處，那么就必須在保持這個事物其他屬性不變的前提下讓這個屬性在某個維度上發(fā)生變化，這樣這個屬性就能被識別出來。識別的前提是變易，當(dāng)在同一時段內(nèi)出現(xiàn)不同的變易時，學(xué)習(xí)者能夠認(rèn)識到學(xué)習(xí)對象的不同方面。［9］如圖2中三角形的高的兩種畫法，所畫線段都在三角形的內(nèi)部，且都與對邊垂直，唯一的差別就是是否從三角形的一個頂點(diǎn)出發(fā)。通過對比學(xué)習(xí)，學(xué)生能感受到三角形的高的定義中“從頂點(diǎn)出發(fā)”的重要性。再比如倒數(shù)概念，分別對其本質(zhì)屬性“兩個數(shù)”“乘積是1”進(jìn)行變易，可以產(chǎn)生[27×72]=1、[13+23=1]、[712×821×92=1]等正反例，通過審辨，可以促進(jìn)學(xué)生對倒數(shù)本質(zhì)屬性的理解（見表2）。

（三）注重正反例的使用時機(jī)

一般來說，在概念教學(xué)的初始階段，宜少用或不用反例，因為這個階段的重點(diǎn)是幫助學(xué)生建立概念。正例里蘊(yùn)含了適合概括的信息，所以選取的正例應(yīng)盡量典型，方便學(xué)生進(jìn)行識別和分析，分化出所有屬性，從中抽象出共同的、本質(zhì)的屬性。比如在教學(xué)平行四邊形的概念時，可以先出示一些生活中的平行四邊形，如可拉伸的衣架、拉閘門等，它們的共同屬性有：都是四邊形，兩組對角相等，兩組對邊分別平行且長度相等。

在厘清本質(zhì)屬性的從屬關(guān)系的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生對這些本質(zhì)屬性進(jìn)行聯(lián)結(jié)、概括，嘗試用自己的語言對概念下定義，并與教科書上的定義進(jìn)行比較。在上文平行四邊形一例中，學(xué)生可能會認(rèn)為兩組對邊分別平行且對角相等的四邊形是平行四邊形，或兩組對邊分別平行且相等的四邊形是平行四邊形。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)四邊形只要有兩組對邊分別平行就能推出兩組對邊分別相等以及兩組對角相等，因此可以將平行四邊形定義為“兩組對邊分別平行的四邊形”。

至此，學(xué)生初步建立了概念的表征。但如前所述，這時候?qū)W生習(xí)得的概念是“混亂”的，里面不僅包含概念的本質(zhì)屬性，還包括大量的無關(guān)屬性，所以教師要精心選擇一些正例（變式）和反例讓學(xué)生進(jìn)行辨析并說理，在這樣的練習(xí)下逐步“凈化”概念，理解概念定義中的一些關(guān)鍵詞的含義。比如，教師可以讓學(xué)生辨析，說明長方形、正方形和箏形等是不是平行四邊形。

此外，還要對概念進(jìn)行“精致”，即選用綜合性例子或讓學(xué)生對相關(guān)命題構(gòu)造反例，幫助學(xué)生厘清相關(guān)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，逐步構(gòu)建完善的、結(jié)構(gòu)功能良好的概念網(wǎng)絡(luò)。這樣的深層次加工能夠幫助學(xué)生理解概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并在需要時能迅速地檢索網(wǎng)絡(luò)、提取信息。不得不提醒的是，有些概念的習(xí)得是相當(dāng)困難的，這一過程可能會持續(xù)很久。（見圖4）

總之，正反例證的作用體現(xiàn)在概念教學(xué)的全過程，合理地使用正反例能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，明晰數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)學(xué)教師既要積極地使用例子，也要避免濫用例子，只有讓所舉的例子符合學(xué)生的認(rèn)知心理，概念教學(xué)才能通達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)，數(shù)學(xué)課堂才會因“例”而精彩。

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（責(zé)任編輯：潘安）

【作者簡介】李子豪，二級教師，主要研究方向為數(shù)學(xué)教育。