基礎隔震結構附加變化型調諧質量慣容阻尼器的優化設計研究

摘要： 在強震作用下基礎隔震結構的隔震層將發生非常大的水平變形。已有研究表明采用在基礎隔震結構的隔震層附加變化型調諧質量阻尼器（VTMD）的混合控制策略能夠有效降低隔震層的水平變形需求，然而該混合控制策略最大的缺陷在于需要很大的調諧質量。考慮到慣容裝置具有明顯的質量放大效應，本文提出將慣容裝置（Inerter）與VTMD中的阻尼器并聯，從而形成具有較小調諧質量的變化型調諧質量慣容阻尼器（VTMDI），并將其附加在基礎隔震結構的隔震層，基于隨機振動的分析框架開展了VTMDI參數的優化設計研究。研究表明直接將基礎隔震結構的上部結構層間變形作為優化目標的傳統優化策略并不經濟有效。為此，本文提出了一種基于兩步優化法的優化策略，該優化策略首先確保附加VTMDI的基礎隔震結構相對于附加相同阻尼的基礎隔震結構具有更優的控制效果；然后確保附加VTMDI的基礎隔震結構的上部結構層間變形最小。通過動力時程分析結果表明：兩種優化策略都能有效降低隔震層的水平變形和上部結構的層間變形，同時不會導致調諧質量出現過大的運動行程，基于兩步優化法的優化策略更為經濟有效。

關鍵詞： 基礎隔震結構；"慣容；"變化型調諧質量阻尼器；"隨機振動；"優化設計；"兩步優化法

中圖分類號： TU352.1 """文獻標志碼： A """文章編號： 1004-4523（2024）08-1368-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.08.011

引""言

傳統的建筑結構采用基礎隔震技術后，整個結構的周期得到延長，且水平變形集中在隔震層，上部結構的層間變形和絕對加速度響應大幅度降低，結構的抗震性能得到明顯提升^［1］。但是在強震作用下，隔震層產生過大的水平變形，可能超過隔震裝置自身的水平變形能力，從而引發隔震裝置失效，導致整個基礎隔震結構被破壞^［2］。傳統的調諧質量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）是一種有效的被動控制裝置，被廣泛地應用于機械、土木和航天航空等行業的振動控制領域^［3］。因此，有學者提出將TMD附加在基礎隔震結構中以降低強震作用下隔震層的水平變形^［4］。然而在TMD的實際應用過程中，存在兩個制約其性能進一步提升的條件：（1）需要很大的調諧質量以實現TMD更好的振動控制性能^［5］；（2）需要有足夠的自由空間滿足調諧質量大行程的運動^［6］。

近年來，慣容（Inerter）元件因其具有顯著的表觀質量放大效應，在振動控制領域得到了眾多學者的重點關注^［7?10］。文獻［8，11?14］提出將慣容元件與TMD串聯，形成調諧質量慣容阻尼器（Tuned Mass Damper Inerter，TMDI）。De Domenico等^［15?16］基于隨機振動分析理論對附加在基礎隔震結構的TMDI開展了參數優化研究，研究表明附加優化后的TMDI不僅能夠減小隔震層的水平變形，同時還能減小上部結構的地震響應，TMDI的調諧質量也不會出現過大的運動行程。

為了有效解決傳統TMD中調諧質量運動行程過大的問題，Ren^［17］提出了一種接地式的變化型調諧質量阻尼器（Variant Tuned Mass Damper，VTMD）。VTMD與傳統TMD最大的區別在于阻尼元件的位置不同，VTMD中的阻尼元件直接與大地連接，而TMD中的阻尼元件與受控的主結構連接。同時Ren^［17］基于固定點理論推導了VTMD的最優調諧參數的解析表達式，并證明在相同調諧質量大小的情況下，VTMD相較于傳統TMD不僅具有更好的減振效果，而且調諧質量的運動行程也更小。Xiang等^［18］將VTMD稱為非傳統TMD，并將其附加在基礎隔震結構中，通過確定最大振動抑制帶寬的方式得到了VTMD最優調諧參數的數值解，數值仿真結果表明：與附加最優TMD的基礎隔震結構相比，附加最優VTMD的基礎隔震結構的減震性能更好，且調諧質量的運動行程得到顯著降低。基于以上分析可知：慣容元件與TMD串聯連接后可以降低TMD中調諧質量的大小，同時以VTMD替代傳統TMD可以減小調諧質量的運動行程。結合慣容裝置和VTMD各自的優點，將VTMD中的阻尼元件與慣容元件并聯連接，形成具有較小調諧質量的變化型調諧質量慣容阻尼器（Variant Tuned Mass Damper Inerter，VTMDI），用于基礎隔震結構的性能控制。需要指出的是，李亞峰等^［19］基于固定點理論推導了VTMDI最優調諧參數的解析表達式，通過參數研究表明：在相同調諧質量和慣容系數的條件下，VTMDI具有比TMDI更好的減振效果。

目前，對于基于慣容元件的調諧阻尼器用于基礎隔震結構性能控制的優化設計，其優化問題基本的是無約束的單參數優化問題。比如隔震層水平變形、上部結構層間位移（或絕對加速度）和調諧阻尼器的能量耗散指數等^［15］。但是對于基礎隔震結構而言，上部結構的層間位移（或絕對加速度）和隔震層水平變形都是應該關注的響應量，因此合理的優化設計應該同時考慮上述兩個反應量^［20］。此外，為了減小強震作用下基礎隔震結構的隔震層水平變形和上部結構層間變形（或絕對加速度），最簡單有效的方式是在隔震系統中附加黏滯阻尼。考慮到引入慣容元件會增加額外的成本，因此對于受控的基礎隔震結構而言，附加基于慣容裝置元件的調諧阻尼器的控制效果應該比直接附加相同阻尼時的控制效果要好，這一要求應該成為優化設計過程中的約束條件，但是在目前的相關研究中沒有得到體現。

基于上述分析，本文將基礎隔震結構簡化為經典的兩自由度模型，基于隨機振動分析框架提出基礎隔震結構附加VTMDI的優化設計方法。在優化設計研究的過程中，將隔震系統水平變形以及上部結構的層間變形作為目標函數或約束函數，同時將附加VTMDI的控制效果與直接附加相同黏滯阻尼的控制效果之間的比值作為約束條件。

1 附加VTMDI的基礎隔震結構

1.1 運動方程

VTMDI的構造如圖1所示，由質量、彈簧、阻尼和慣容四個基本力學元件構成，其中m_T，k，c和m_Z分別為相應的調諧質量大小、剛度系數、阻尼系數和慣容系數（與質量具有相同量綱）。如圖1所示，對于慣容這種具有兩端點的力學元件，所產生的的力F與兩端點之間的相對加速度成正比：

本文對兩自由度（2DOF）的基礎隔震結構（Base?Isolated Structure，"BIS）體系進行相應的計算分析。附加VTMDI后，簡化計算分析模型轉變為如圖2所示的三自由度體系，該體系在下文簡稱BIS_VTMDI體系。在BIS_VTMDI體系中，x_I，x_S和x_T分別為隔震層水平變形、上部結構層間變形和調諧質量m_T相對于地面的位移（即運動行程）；m_I和m_S分別為隔震層質量和上部結構的等效質量；k_I和k_S為隔震層的等效水平剛度和上部結構的水平側移剛度；c_I和c_S分別為隔震層的等效阻尼系數和上部結構的阻尼系數。BIS_VTMDI體系在水平地震激勵a_g下的運動方程為：

1.2 地震動模型及隨機響應

假設水平地震激勵a_g為零均值的平穩白噪聲隨機過程，其功率譜密度為常數S₀。基于狀態空間方法，方程（8）可以改寫成一階狀態向量形式：

2 BIS_VTMDI的優化設計

為了反映BIS_VTMDI體系中上部結構層間變形以及隔震層水平變形相對于沒有附加VTMDI的BIS體系（即原BIS體系）的變化程度，定義以下兩個無量綱的反應比R_1，XS和R_1，XI：

2.1 參數研究

在本節的參數研究以及后續的優化策略中，將BIS_VTMDI體系中的BIS的參數固定為：ω_I=0.8π，λ_I=0.10，ω_S=4.0π，λ_S=0.02和r_S=5.0/6.0=0.833。同時將VTMDI體系的r_T和r_Z都取值為0.02，附加剛度比α和附加阻尼比λ的取值范圍分別為10^-3～10³和10^-4～10⁰。

圖3給出了r_T="r_Z=0.02時，R_1，XS和R_2，XS隨附加剛度比α和附加阻尼比λ變化的云圖，同時在該圖中標識出R_1，XS=1和R_2，XS=1的界線。從圖3（a）可以看出：R_1，XS并沒有全局最小值，只是在實線方框區域內存在局部最小值；并且在虛線方框區域所示的洼地區域內，在給定附加剛度比α的情況下，存在最優的附加阻尼比λ使得R_1，XS最小。相反地，如圖3（b）所示，R_2，XS存在全局最小值。

圖4分別給了r_T=r_Z=0.02時，R_1，XI和R_2，XI隨附加剛度比α和附加阻尼比λ變化的云圖，同時在該圖中標識出R_1，XI=1和R_2，XI=1的界線。從圖4（a）可以看出：R_1，XI同樣沒有全局最小值，也是在實線方框區域內存在局部最小值；并且R_1，XI總體上隨著附加剛度比和附加阻尼比的增加而減小。相反地，如圖4（b）所示，R_2，XI存在全局最小值。進一步比較圖3和4可以發現：存在一個由附加剛度比α和附加阻尼比λ組成的設計參數空間，在該設計參數空間內不僅R_1，XS，R_2，XS，R_1，XS和R_1，XI均小于1，而且存在最優的附加剛度比和附加阻尼比使得R_1，XS，R_2，XS，R_1，XI和R_2，XI中的任何一個性能指標取得最小值。

2.2 優化策略

考慮到基礎隔震技術的最終目的是降低上部結構的地震響應，因此最為直接的優化目標就是使得BIS_VTMDI體系中上部結構的層間位移最小（即優化目標為R_1，XS）；相應的約束條件是確保BIS_VTMDI體系的性能應該優于相應的BIS_VD體系（即約束參數為R_2，XS和R_2，XI）。根據2.1節的參數研究，在給定的BIS體系以及已知r_T和r_Z的情況下，BIS_VTMDI體系的優化設計參數為附加剛度比α和附加阻尼比λ，相應的優化設計問題可以表示為下式：

由于執行式（17）只需要一個優化步驟，因此在論文后續部分將基于式（17）的優化策略簡稱為一步優化法。圖6和7分別給出了不同r_T（取值區間為0～0.25）的情況下基于一步設計法得到的最優設計參數r_Z，opt，α_opt和λ_opt以及相應的性能指標R_1，XS，R_1，XI，R_2，XS和R_2，XI。從圖7可以看出：在隔震層附加按照一步優化法設計的VTMDI裝置后可以有效降低基礎隔震結構中上部結構的層間變形和隔震層的水平變形；實際應用中，調諧質量比r_T一般不會超過0.10，而在這個區間內R_2，XS或R_2，XI將等于1或略微小于1（R_2，XS和R_2，XI都大于0.95），這說明BIS_VTMDI體系的性能并沒有明顯好于相應的BIS_VD體系，因此基于式（17）的優化策略并不適用。

為了保證優化結果的經濟性，應該在保證R_2，XS或R_2，XI盡可能小的情況下使得R_1，XS最小。為此本文提出了一種優化策略。該優化策略包括以下兩步：首先對任一給定的r_Z，確定最優附加剛度比α_opt和附加阻尼比λ_opt使得性能指標R_2，XS最小，并且同時滿足R_2，XS"≤ 1和R_2，XI"≤ 1這兩個約束條件，即：

因此對于不同的r_Z，可以得到不同的α_opt和λ_opt以及相應的R_1，XS，R_1，XI，R_2，XS和R_2，XI；然后基于遍歷搜尋的方式（本文建議r_Z值從零開始，間隔為0.0001，逐漸增加到預定的r_Z目標值），從得到的R_1，XS當中確定最小值，這樣與之相對應的r_Z即為最優的r_Z，opt，同時也可以確定對應的α_opt和λ_opt以及相應的R_1，XS，R_1，XI，R_2，XS和R_2，XI。從上述介紹中可以看出，該優化策略包括兩個優化步驟，因此在本論文后續部分將該優化策略簡稱為兩步優化法。

圖8和9分別給出了不同r_T（取值區間同樣為0～0.25）的情況下基于兩步優化法得到的最優設計參數r_Z，opt，α_opt和λ_opt以及相應的R_1，XS，R_1，XI，R_2，XS和R_2，XI。從圖9可以看出：在隔震層附加基于兩步優化法設計的VTMDI裝置后同樣可以有效降低基礎隔震結構中上部結構的層間變形和隔震層的水平變形；而且在調諧質量比r_T"≤ 0.10的情況下，優化設計后的BIS_VTMDI體系的性能也明顯好于相應的BIS_VD體系（R_2，XS和R_2，XI都小于0.95），這說明兩步優化法與一步優化法相比更為有效。

需要指出的是，雖然本研究將基礎隔震結構上部結構的層間變形作為優化目標，但是上部結構的絕對加速度也可以作為優化目標。考慮到基礎隔震結構上部結構的層間變形和絕對加速度這兩個性能指標變化規律一致并且緊密關聯，此外本論文的研究重點在于提出基礎隔震結構附加變化型調諧質量慣容阻尼器的優化設計方法，因此本論文只將上部結構的層間變形作為優化目標。

3 數值算例分析

本小節采用的數值算例為如圖2所示的3自由度BIS_VTMDI體系，對優化后的BIS_VTMDI體系進行時程分析，通過比較上部結構的最大層間變形（簡稱Max.XS）、上部結構層間變形的均方值（簡稱RMS.XS）、隔震層的最大水平變形（簡稱Max.XI）、隔震層水平變形的均方值（簡稱RMS.XI），評估兩步優化法的有效性。定義響應量Max.XS，RMS.XS，Max.XI和RMS.XI在一組地震動作用下的平均值為μ_Max.XS，μ_RMS.XS，μ_Max.XI和μ_RMS.XI。時程分析的地震動為滿足美國Los Angeles地區50年回歸周期超越概率10%的20條地震動（簡稱LA_10_in_50），由Somerville等^［22］建立并用于TMD的相關研究。將每條地震動的峰值加速度調整至0.3g，圖10給出了調幅后的地震動加速度反應譜。表1給出了不同r_T的情況下，一步優化法和兩步優化法得到的優化設計參數。

根據時程分析的數值結果，可以得到BIS體系中上部結構平均最大層間變形μ_Max.XS、隔震層平均最大水平變形μ_Max.XI、上部結構平均層間變形均方值μ_RMS.XS和隔震層平均水平變形均方值μ_RMS.XI分別為：9.422，224.651，2.291和44.508 mm。表2分別給出了不同r_T的情況下基于兩步優化法優和基于一步優化法化的BIS_VTMDI體系以及相對應BIS_VD體系的μ_Max.XS，μ_Max.XI，μ_RMS.XS和μ_RMS.XI。

從表2可知，基于兩步優化法的BIS_VTMDI體系隨著調諧質量比的增加，上部結構平均層間變形的最大值和均方值不斷減小，但減小幅度不大；但隔震層平均水平變形的最大值和均方值則不斷增加，說明對于BIS_VTMDI體系可以使用較小的調諧質量。從表2可以進一步發現：與基于兩步優化法優化的BIS_VTMDI體系和相對應的BIS_VD體系的地震響應相比較，基于一步優化法優化的BIS_VTMDI體系和相對應的BIS_VD體系的地震響應明顯要小。因此從地震響應值絕對大小的角度出發，一步優化法的效果要好于兩步優化法，這一點也與2.2節優化策略所得到的結論一致。為了進一步比較兩種優化方法的控制效果，定義類似于公式（14）和（15）的地震響應折減率，如下式所示：

基于表2的地震響應結果以及BIS體系的地震響應結果，可以計算不同地震響應的折減率并在表3列出。該表第2列給出的比較參數中，Max和RMS分別表示響應量的最大值和均方值；XS和XI分別表示上部結構的層間變形和隔震層的水平變形。以Max_R1_XS為例，該縮寫表示最優BIS_VTMDI體系的上部結構平均最大層間變形相對于BIS體系的上部結構平均最大層間變形的折減率。從表3可以看出，雖然基于兩步優化法優化的BIS_VTMDI體系相對于BIS體系地震響應的折減效果沒有基于一步優化法的情況理想，但是與相對應的BIS_VD體系比較，兩步優化法優化的BIS_VTMDI體系地震響應的折減效果明顯好于基于一步優化法的情況。特別是采用一步優化法優化的BIS_VTMDI體系，其地震響應大部分情況下會大于相對應的BIS_VD體系（如表中加粗數字所示）。因此，對于BIS_VTMDI體系的優化設計，兩步優化法與一步優化法相比更為有效。

以調諧質量比r_T=0.02為例，通過時程分析可以得到兩種優化策略下BIS_VTMDI體系調諧質量平均最大運動行程μ_Max.XT和平均運動行程均方值μ_RMS.XT分別為：263.325和57.608 mm（兩步優化法）；131.685和27.196 mm（一步優化法）。相對于BIS體系中隔震層平均最大水平變形值μ_Max.XI=224.651 mm和平均水平變形均方值μ_RMS.XI=44.508 mm，基于一步法優化法的調諧質量運動平均最大運動行程和平均運動行程均方值分別減小41.3%和38.9%；而基于兩步優化法的調諧質量運動平均最大運動行程和平均運動行程均方值分別增大17.2%和29.4%。根據文獻［4］的研究成果：基礎隔震結構附加最優TMD后其調諧質量運動行程最大值和均方值相對于與原基礎隔震結構的隔震層的水平變形最大值和均方值將至少放大1倍，因此基于兩步優化法優化的BIS_TMDI體系并不會導致過大的調諧質量運動行程。

4 結""論

本文提出將VTMD中的阻尼元件與慣容元件并聯，形成具有較小調諧質量的變化型調諧質量慣容阻尼器（VTMDI），并用于基礎隔震結構的性能控制，開展了BIS_VTMDI體系的優化設計研究，結論如下：

（1）基于Lyapunov方程計算BIS_VTMDI體系在白噪聲作用下的隨機響應，通過參數研究提出了兩種針對BIS_VTMDI體系的優化策略。

（2）與直接將基礎隔震結構的上部結構層間變形作為優化目標的傳統優化策略相比，所提出的兩步優化法在同時減小隔震位移和降低上部結構加速度響應方面更為有效。

（3）通過一組地震的動力時程結果證實了采用兩步優化法對BIS_VTMDI體系進行優化更為經濟實用，而且調諧質量并不會出現過大的運動行程。

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Optimum design of base-isolated structure equipped with variant tuned mass damper inerter

YE Kun YANG Qi-fan CHEN Zhen-ming

（1.School of Civil and Hydraulic Engineering，Huazhong University of Science and Technology，"Wuhan 430074，"China；"2.China Construction Steel Structure Co.，"Ltd.，"Shenzhen 518118，"China）

Abstract： Base-isolation system would undergo considerable great displacement subjected to strong earthquake. According to recent research progress，"the hybrid control strategy combining variant tuned mass damper （VTMD）"with base-isolation system has been proved to be effective in reducing such great displacement demand. However，"large tuned mass is required to achieve better control performance，"which may be difficult to realize in practical application. Employing the mass-amplification effect of the inerter device，"a variant tuned mass damper inerter （VTMDI）"is proposed in this study by inserting the inerter device in parallel with the dashpot in the VTMD and is attached to the isolation level in the base-isolated structure. Due to the stochastic nature of seismic ground motions，"investigation into the optimum design of the VTMDI are conducted based on the framework of random vibration. It is demonstrated that the traditional optimization strategy，"taking the inter-story drift of isolated superstructure as the optimization objective，"is not cost-effective. Thereby，"a novel optimization strategy consisting of two step optimization procedure is proposed. In this two-step optimization strategy，"the optimization objective in the first step is taken as the control effect of the base-isolated structure equipped with the VTMDI compared with that of the corresponding base-isolated structure with the same dashpot，"and then the optimization objective in the second step is to minimize the inter-story drift of isolated superstructure. And the dynamic time-history analyses show that both optimization strategies can effectively reduce the horizontal deformation in the isolation level and inter-story drift in the superstructure，"and the excessive strokes of the tuned mass are also avoided. However，"the two-step optimization strategy is more cost-effective than the traditional optimization strategy.

Key words： base-isolated structure；"inerter；"variant tuned mass damper；"random vibration；"optimum design；"two-stepoptimization method

作者簡介： 葉""昆（1977—），男，博士，教授。E?mail：kun.ye@hust.edu.cn。

通訊作者： 陳振明（1975—），男，教授級高級工程師。E?mail：63409396@qq.com。