三角函數(shù)值域(最值）問題求解策略

“三角函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容，其值域和最值問題是高考考查的重點(diǎn). 隨著新高考的推進(jìn)，這類問題的難度、深度和交匯度也在不斷增大.下面結(jié)合部分典型試題，解讀相關(guān)求解策略，供參考.

策略一、轉(zhuǎn)化為“asin2x+bsinx+c”或“acos2x+bcosx+c”型

例1.設(shè)a為實(shí)常數(shù)，求函數(shù)f（x）=sin2x-acosx+1的最小值g（a）.

解析：f（x）=sin2x-acosx+1=1-cos2x-acosx+1=-cosx+a22+2+a24.

令cosx=t，則f（x）=h（t）=-t+a22+2+a24，其中-1≤t≤1 由于拋物線的對(duì)稱軸是t=-a2，所以要對(duì)字母a進(jìn)行分類討論.

（1）當(dāng)-a2lt;-1，即agt;2時(shí)，在t=1時(shí)，在f（x）取最小值-1+a22+2+a24=1-a.

（2）當(dāng)-1≤-a2lt;1，即-2lt;a≤2時(shí)，

又必須分成兩類：

① 若-1≤-a2lt;0，即0lt;a≤2，

因?yàn)?1+a2lt;1+a2，所以在t=1時(shí)，

f（x）取最小值h（1）=1-a.

②若0≤-a2lt;1，即-2lt;a≤0時(shí)，因?yàn)?1+a2≥1+a2，所以在t=-1時(shí)，f（x）取最小值h（-1）=1+a.

（3）當(dāng)-a2≥1，即a≤-2時(shí)，在t=-1時(shí)，y取最小值--1+a22+2+a24=1+a.

綜上可知，g（a）=1-a，" agt;01+a." a≤0

評(píng)析：本題利用平方關(guān)系sin2x+cos2x=1，將函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為acos2x+bcosx+c的形式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)處理.注意第二類對(duì)稱軸t=-a2在區(qū)間［-1，1］內(nèi)的情況下，還要兼顧二次函數(shù)圖像的位置，又分成兩類， 是二級(jí)分類，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).

訓(xùn)練1：求函數(shù)y=-sin2x+3cosx-74（x∈R）的最小值和最大值.

解析：y=cos2x+3cosx-114=（cosx+32）2-5.當(dāng)cosx=-1時(shí)，ymin=-194.當(dāng)cosx=1時(shí)，ymax=54.

說明：注意cosx的有界性，-1≤cosx≤1.

訓(xùn)練2：設(shè)sinα+sinβ=13，求sinα-12cos2β-12的最大值和最小值.

解析：由sinα+sinβ=13，得sinα=13-sinβ.由-1≤13-sinβ≤1，得-23≤sinβ≤1；sinα-12cos2β-12=sinα-cos2β=13-sinβ-（1-sin2β）=sin2β-sinβ-23=sinβ-122-1112.當(dāng)sinβ=12 時(shí)，sinα-12cos2β-12取最小值-1112;

當(dāng)sinβ=-23時(shí)，sinα-12cos2β-12取最大值-23-122-1112=49.

說明：注意sinβ的隱含條件，-23≤sinβ≤1.

策略二、轉(zhuǎn)化為“asinx+bcosx”型

例2. 若△ABC的內(nèi)角分別為角A，B，C，則sinA+sinB·sinC的最大值是""""" .

解析：sinA+sinB·sinC=sinA-12［cos（B+C）-cos（B-C）］=sinA+12cosA+12cos（B-C）≤52sin（A+φ）+12≤5+12，當(dāng)且僅當(dāng)sin（A+φ）=1，且cos（B-C）=1時(shí)等號(hào)成立.

故當(dāng)sinA=25，且B=C=π-A2時(shí)，sinA+sinB·sinC取最大值5+12.

評(píng)析：本題主要考查積化和差公式、輔助角公式和正弦函數(shù)的有界性，要注意兩個(gè)等號(hào)成立的條件.一般地asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ1）=a2+b2cos（x-φ2），其中φ1，φ2由tanφ1=ba，tanφ2=ab確定.

訓(xùn)練3：若函數(shù)f（x）=sin（x+φ）+cosx的最大值為2，則常數(shù)f（x）的一個(gè)取值為""""" .

解析：因?yàn)閒（x）=cosφsinx+（sinφ+1）cosx=cos2φ+（sinφ+1）2sin（x+θ），

所以cos2φ+（sinφ+1）2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2或2kπ+π2，k∈Z均可.

說明：注意cosφ、sinφ+1分別看作asinx+bcosx中的a，b.

訓(xùn)練4：已知函數(shù)f（x）=|sinωx|+cosωx（ωgt;0）的最小正周期為π，則f（x）在

-π6，π6上的值域是""" .

解析：顯然ω=2，f（x）=|sin2x|+cos2x.

因?yàn)樗?x∈-π3，π3.于是

f（x）=

2cos2x+π4，" x∈-π6，0

2sin2x+π4." x∈0，π6

在x∈-π6，0上，f（x）∈（1，2］. 在x∈［0，π6］上，f（x）∈［1，2］.

故f（x）在-π6，π6上的值域是［1，2］.

說明：注意去掉絕對(duì)值必須對(duì)x∈-π6，π6分兩類討論.

策略三、轉(zhuǎn)化為“Asin（ωx+φ）+k”或“Acos（ωx+φ）+k”型

例3.求函數(shù)f（x）=sin6x+cos6x+38sin4x-14（x∈R）的最大值和最小值.

解析：∵sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+cos4x）=（sin2x+cos2x）2-3sin2xcos2x=1-3sin2xcos2x=1-34·1-cos4x2=58+38cos4x，

∴f（x）=sin6x+cos6x+38sin4x-14=58+38cos4x+38sin4x-14=382sin（4x+π4）+38.故函數(shù)f（x）的最大值為382+38，最小值為-382+38.

評(píng)析：本題通過降次，將六次三角式一次化.先將sin6x+cos6x轉(zhuǎn)化為Acos（ωx+φ）+k，再將函數(shù)f（x）整體轉(zhuǎn)化為Asin（ωx+φ）+k型，其中涉及到因式分解、同角平方關(guān)系sin2x+cos2x=1和二倍角公式sin2x=1-cos2x2、cos2x=1+cos2x2等等，對(duì)三角恒等變形要求較高.

訓(xùn)練5：函數(shù)f（x）=cosxsinx+π6-sin2x（x∈R）的最大值為""" .

解析：f（x）=cosx32sinx+12cosx-sin2x=32cosxsinx+12cos2x-sin2x

=34sin2x+1+cos2x4-1-cos2x2=34sin2x+34cos2x-14=32sin（2x+π3）-14故函數(shù)f（x）的最大值為32-14.

說明：先要展開sin（x+π6）=32sinx+12cosx.

訓(xùn)練6：求函數(shù)f（x）=sin4x+cos4x+3sin2xcos2x（0≤x≤π6）的最大值和最小值.

解析：f（x）=sin4x+cos4x+3sin2xcos2x

=（sin2x+cos2x）2+sin2xcos2x=1+14sin22x=1+14·1-cos4x2=-18cos4x+98.

因?yàn)?≤x≤π6，所以0≤4x≤2π3，-12≤cos4x≤1.

故函數(shù)f（x）的最大值為1916，最小值為1.

說明：先要將sin4x+cos4x湊配成（sin2x+cos2x）2-2sin2xcos2x.

策略四、轉(zhuǎn)化為“asinxcosx+cosxbsinx（agt;0，bgt;0）”型

例4.函數(shù)f（x）=1+cos2x+8sin2xsin2x的值域是

解析： f（x）=2cos2x+8sin2x2sinxcosx=cosxsinx+4sinxcosx.

若x是第一、第三象限角，則cosxsinxgt;0，4sinxcosxgt;0，cosxsinx+4sinxcosx≥2cosxsinx·4sinxcosx=4，當(dāng)且僅當(dāng)cosxsinx=4sinxcosx，即tanx=12時(shí)等號(hào)成立. 若x是第二、第四象限角，則

cosxsinxlt;0，

4sinxcosxlt;0，

cosxsinx-4sinxcosx≥2（-cosxsinx）·（-4sinxcosx）=4，即cosxsinx+4sinxcosx≤-4，當(dāng)且僅當(dāng)

-cosxsinx=-4sinxcosx，即tanx=-12時(shí)等號(hào)成立.

故函數(shù)f（x）值域是（-∞，-4］∪［4，-∞）.

評(píng)析：本題利用二倍角公式sin2x=2sinxcosx和cos2x=2cos2x-1，將函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為asinxcosx+cosxbsinx型，再利用基本不等式x+y≥2xy求其值域，注意對(duì)角x的分類討論和基本不等式中xgt;0，ygt;0的條件.

訓(xùn)練7：對(duì)于任意x∈（0，π2），不等式sin4x-tsin2xcos2x+4cos4xgt;0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是"""" ".

解析：由原不等式，得tsin2xcos2xlt;sin4x+4cos4x.因?yàn)閤∈（0，π2），所以tlt;sin2xcos2x+4cos2xsin2x.而sin2xcos2x+4cos2xsin2x≥2sin2xcos2x·4cos2xsin2x=4，

當(dāng)且僅當(dāng)sin2xcos2x=4cos2xsin2x，即tanx=2時(shí)等號(hào)成立.

故實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，4）.

說明：注意sin2xcos2x+4cos2xsin2x≥4中等號(hào)成立的條件，要符合x∈（0，π2）.

策略五、同時(shí)含“sinx±cosx”和“sinx·cosx”型

例5.求函數(shù)y=（sinx+2）（cosx+2）（x∈R）的值域.

解析：y=（sinx+2）（cosx+2）=sinxcosx+2（sinx+cosx）+4.令sinx+cosx=t其中t∈［-2，2］， 則sinxcosx=t2-12.

于是y=t2-12+2t+4=12（t+2）2+32.在［-2，+∞）上單增， 所以當(dāng)t=-2時(shí)，y取最小值12（-2+2）2+32=92-22;當(dāng)t=2時(shí)，y取最大值12（2+2）2+32=92+22.

故函數(shù)l值域是92-22，92-22.

評(píng)析：“sinx±cosx”和“sinx·cosx”關(guān)系緊密、互相依賴，可謂一對(duì)孿生兄弟.在此類問題中，我們常常令sinx+cosx=t，則sinxcosx=t2-12，用新元t來表示，迅速實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的轉(zhuǎn)化.要牢記換元后定新元t的取值范圍， 值域是在新元t的取值范圍內(nèi)求出的， 這是解題中易忽視的重要隱含條件.

訓(xùn)練8：關(guān)于函數(shù)f（x）=1|cosx|+1|sinx|有下述四個(gè)結(jié)論：①f（x）是偶函數(shù); ②f（x）在區(qū)間0，π2上單調(diào)遞增;③f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期為π; ④對(duì)于實(shí)數(shù)a，f（x）≥a恒成立的條件是a≤22. 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是""""" .

解析：對(duì)于①，因?yàn)閒（x）=1|cosx|+1|sinx|定義域?yàn)閤x≠π2+kπ且x≠kπ，k∈Z，且f（x）=f（-x），所以f（x）為偶函數(shù)，①正確.

對(duì)于②，當(dāng)x∈0，π2時(shí)，令sinx+cosx=t，其中t=2sinx+π4∈（1，2］.

則f（x）=g（t）=2tt2-1=2t-1t在（1，2］上單增，但t=2sinx+π4在x∈0，π2上有增有減，②錯(cuò)誤.

對(duì)于③，由f（x）=f（x+π2）知f（x）是周期函數(shù)，但最小正周期不為π，③錯(cuò)誤.

對(duì)于④，由②知f（x）在0，π2上的最小值為fπ4=22，又由③知π2是函數(shù)f（x）的周期，所以f（x）在定義域上的最小值為22，所以對(duì)于實(shí)數(shù)a，f（x）≥a恒成立的條件是a≤22，④正確. 故填①④.

說明：注意新元t=2sinx+π4的取值范圍.

策略六、轉(zhuǎn)化為“csinx+dacosx+b”型

例6.函數(shù)f（x）=sinx+2cosx+1cosx+2（x∈R）的值域是""""" .

法1：令sinx+2cosx+1cosx+2=y，則sinx+2cosx+1=ycosx+2y，即

sinx+（2-y）cosx=2y-1，1+（2-y）2sin（x+φ）=2y-1，sin（x+φ）=2y-11+（2-y）2.

因?yàn)閨sin（x+φ）|≤1，所以|2y-1|1+（2-y）2≤1，（2y-1）2≤1+（2-y）2，

解得-233≤y≤233.故函數(shù)l值域是-233，233.

法2：f（x）=2（cosx+2）+sinx-3cosx+2=2+sinx-3cosx+2.

sinx-3cosx+2表示單位圓上的點(diǎn)P（cosx，sinx）和定點(diǎn)Q（-2，3）連線的斜率，設(shè)其斜率為k，則PQ的方程是y-3=k（x+2），kx-y+2k+3=0.

由2k+3k2+1≤1，得 -2-233≤k≤-2+233，-233≤f（x）≤233.

故函數(shù)f（x）值域是-233，233.

評(píng)析：法1是將函數(shù)看成一個(gè)方程，轉(zhuǎn)化為asinx+bcosx型，利用正弦函數(shù)的有界性列出不等式求解.法2則是利用式子sinx-3cosx+2的幾何意義處理.

訓(xùn)練9：函數(shù)f（x）=2sinx+cosx+1cosx-2（x∈R）的值域是""""" .

解析：f（x）=cosx-2+2sinx+3cosx-2=1+2·sinx+32cosx-2.

sinx+32cosx-2表示單位圓上的點(diǎn)P（cosx，sinx）和定點(diǎn)Q2，-32連線的斜率，設(shè)其斜率為k，則PQ的方程是y+32=k（x-2），2kx-2y-4k-3=0.

由|4k+3|4k2+4≤1，得 -1-216≤k≤-1+216，-1-213≤f（x）≤-1+213，

故函數(shù)f（x）值域是-1-213，-1+213.

說明：注意變形2sinx+3cosx-2=2·sinx+32cosx-2.

策略七、導(dǎo)數(shù)處理型

例7.已知函數(shù)f（x）=2cosx+sin2x，則f（x）的最小值是 """"".

解析：f′（x）=-2sinx+2cos2x=-2sinx+2（1-2sin2x）=-2（sinx+1）（2sinx-1）.

當(dāng)sinxgt;12，即2kπ+π6lt;xlt;2kπ+5π6時(shí)，f′（x）lt;0；當(dāng)sinxlt;12，

即2kπ+5π6lt;xlt;2kπ+13π6時(shí)，f′（x）gt;0.所以當(dāng)x=2kπ+5π6（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最小值， 且為f（2kπ+5π6）=2cos2kπ+5π6+sin22kπ+5π6=-332.

評(píng)析：本題的原函數(shù)中有sin2x，整體無法轉(zhuǎn)化成asin2x+bsinx+c或acos2x+bcosx+c或asinx+bcosx型，必須用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求其最值.其導(dǎo)函數(shù)是形如asin2x+bsinx+c的二次形式，零點(diǎn)可求，且能夠判斷其單調(diào)性，從而順利實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).要特別注意三角函數(shù)零點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間的周期性，確定單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)的極值點(diǎn)類型（極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)），否則極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是一對(duì)孿生姐妹，將例6原函數(shù)中的cosx變?yōu)閟inx、sin2x變?yōu)閏os2x，則可以得到下列三個(gè)變式題：

變式題1. 已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是""" "".

變式題2. 已知函數(shù)f（x）=2sinx+cos2x，則f（x）的最小值是""""" .

變式題3. 已知函數(shù)f（x）=2cosx+cos2x，則f（x）的最小值是""""" .

其中變式題1的解法與例7一致，而變式題2和變式題3既可以化為二次函數(shù)處理，也可以利用導(dǎo)數(shù)處理，答案分別是-332，-3和-32，解析過程略去.

訓(xùn)練10：設(shè)a，b∈R，函數(shù)f（x）=x2-ax+b. 試討論函數(shù)f（sinx）在-π2，π2內(nèi)的單調(diào)性，并判斷有無最小值，有最小值時(shí)求出最小值.

解析：因?yàn)閒（sinx）=sin2x-asinx+b，

所以f′（sinx）=2sinxcosx-acosx=cosx（2sinx-a）=2cosxsinx-a2.

（1）當(dāng)a2≤-1，即a≤-2，b∈R時(shí)， f（sinx）在-π2，π2上是單調(diào)遞增的，有最小值.且最小值為fsin（-π2）=1+a+b.

（2）當(dāng)-1lt;a2lt;1， 即-2lt;alt;2，b∈R時(shí)， 在-π2，π2內(nèi)存在唯一x0，使sinx0=a2.函數(shù)f（sinx）在-π2，x0內(nèi)單調(diào)遞減，在x0，π2內(nèi)單調(diào)遞增， 并且函數(shù)f（sinx）在x0（sinx0=a2）處取得最小值，且最小值為-a24+b.

（3）當(dāng)a2≥1，即a≥2，b∈R 時(shí)，f（sinx）在-π2，π2內(nèi)是單調(diào)遞減的， 有最小值，且最小值為fsinπ2=1-a+b.

說明：注意在f′（sinx）=2sinxcosx-acosx=cosx（2sinx-a）中對(duì)參數(shù)a分類討論.

以上介紹了處理三角函數(shù)值域（最值）問題的七大策略.例題和訓(xùn)練題都很好體現(xiàn)了三角中數(shù)形結(jié)合、變角、降次、換元、轉(zhuǎn)化與化歸等核心知識(shí)和重要思想方法.既有基礎(chǔ)題，也有中檔題，更有較難題（變形的難度、運(yùn)算的難度和思維的難度），比較全面.一輪復(fù)習(xí)中，我們?cè)谇袑?shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的基礎(chǔ)上， 還要重視對(duì)新題型的訓(xùn)練和探究.

責(zé)任編輯" 徐國(guó)堅(jiān)