“思、辨、行”：小學計算教學新理路

【摘 要】在新理念頻出的當下，小學數學教學也不能忘記強基固本。文章指出，作為基礎內容的計算教學，在新課標和新課程背景下，應該從“算”的二元結果走向“計”的多元過程，融入“境脈”思想，針對口算、筆算、混合運算選擇有生長力的思考情境和表達方式，讓小學計算的教與學更加豐盈。

【關鍵詞】新課標；境脈課堂；計算教學；教學思考

計算是小學數學發展的起點。在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中，運算能力是小學階段核心素養中唯一以“能力”作為要求呈現的，說明計算在如今的小學數學中仍處于最基礎、最核心的地位。但由于新知識、新概念層出不窮，計算教學也被慢慢地沉向幕后，它的魅力似乎也逐漸消逝在人們的視野中。計算重視過程、方法和結果，運算關注規則、結構和思維，計算是運算的基礎。為了便于表達，本文所稱“計算”實際是“計算+運算”的融合統稱。

在新課標中，小學階段的11個核心素養之間是相輔相成的，計算能力的提升會支撐其他核心素養的表現，其他核心素養的表現也會反過來促進計算能力的提升。基于大數據、人工智能和量化評價的發展現狀，計算教學的重要性不言而喻。運算情境是以數學、科學、生活、文化等資源表征的，用以引出運算對象、建構運算關系的呈現方式。［1］可見，情境在教學中是內含關系屬性的。本文圍繞“三會”數學教學目標，在新課標高頻次提出情境教學的基礎上，進行情境脈絡化構建思考，嘗試創設“境脈課堂”，以期給教師帶來一些計算教學的新思考。

一、思：計算理念因何要“重計”

計算是什么？“計”有核算及謀劃的意思，“算”有核計和計（記）數的意思。計算可以理解為通過對已知量數目的審核和關系判斷，選擇適當的累算方法，核算出未知結果，并進行多種計數方法的表達。計算可以作為結果性名詞出現，但其過程性動詞屬性更能凸顯“計”的豐富價值。

功利主義者認為計算就是純粹的技能，他們傾向追求結果正、誤的二元價值；人文主義發展觀認為計算還需要關注計算過程，重視計算過程的多元化設計和系統架構。教學中，教師應重視以學生素養為導向，從“計”的多樣性入手，達到“算”的能力提升。

（一）四則運算教學要關注“計”的深度思考

在口算和筆算中，教師要運用多種方式，引導學生探索計算算理，融匯數學思想，反思計算學理，以發展學生的計算核心素養；引導學生學會先“算前計”，再“計后算”；要以理通法，以定性的發展性評價扭轉對與錯的二元定論。另外，由于計算流暢性、數學學習興趣和教師支持在預防和干預小學生的數學焦慮中具有重要作用［2］，因此，教師要關注學生計算學習的興趣、態度、意志等非智力因素，將四則運算過程設計得更豐富，使學生的計算能力有深度、可持續地發展。

（二）混合運算教學要重視“計”的故事結構

有學者提出，數學需要學會做兩件事情，一件事情是講故事，另一件事情是結構化。混合運算教學中，也要會講故事和結構化，也就是課堂中運算的“境脈化”。在故事背景或情境背景中，教師要讓關聯、規律、法則、定律進行情境生成，引導學生觀察運算過程，實現課堂“情境化”觀照下的學習。同時，要能夠讓運算思維在直觀形象且有結構的系列情境中可視化地生長與推進，使學生從有脈絡的情境走向對運算的深度理解，也就是“情境脈絡化”。另外，要能用數學的語言抽象出情境關系中計算的思維結構模型，闡釋運算理路，使學生實現“情境脈絡化”課堂下的有效成長。混合運算是生活現象抽象化的復現，故多元表征混合運算內容及過程是計算學習的關鍵。

二、辨：計算教材如何“設計”

在新教材即將推出之際，帶著對新課標的研讀與思考，筆者重新梳理了現行蘇教版小學數學教材關于計算內容的安排（見表1）。由表1可以發現教材對于計算內容的安排有以下幾個特點。

（一）計算的相關概念在有序中交錯

計算的基本元素是數，小學階段的數包含自然數、整數、分數、小數、正數、負數（負數傾向于綜合實踐并與初中銜接）、百分數（更重視百分數的統計價值）。

整數不能均分時可以用小數表示，小數不能表示時又可以用分數表示，整數、小數分別是十進制的累計和細分，分數具有十進制和非十進制的“兩棲”屬性，看似清晰的結構，如果再融入計算，它們的概念和計算就很難做到兼容。蘇教版小學數學教材中，分數、小數的認識和運算是交叉安排的，分數先于小數認識，但分數計算教學在小數計算教學之后。從整體適宜的角度來看，這樣的安排或許會帶來知識系統的碎片化，容易造成知識遺忘。如何將數及相關概念進行整合？筆者認為，可利用計數單位和計數單位的個數對數及運算進行解構和重構，尋找一致性。這是新課標所倡導的，也是未來結構化深度教學所追求的。

（二）計算教學整體安排和合理遷移

各版本教材和蘇教版教材在計算內容的安排上一致，即低、中年級重點學習整數有關口算、筆算和混合運算，融入計算器計算，初學運算律；高年級則在低、中年級計算學習的基礎上，借助數的對比和式的共性實現遷移，學習小數、分數、百分數的相關計算（蘊含方程、正比例、反比例的計算本文暫不介述）。另外，計算教學中的“數與運算”“數量關系”內容需融為“數與代數”的內核，基于算理理解和情境脈絡化的融入，形成學生的符號意識、推理意識、模型意識，提升學生的運算能力。

蘇教版教材中，計算教學內容整體上也是有序推進和合理遷移的，當然也有內容的交錯。例如，分數的初步認識在三年級，分數的意義和性質在五年級，學習時間間隔略遠，對分數知識的串聯和整體架構會有一定的干擾，根據遺忘曲線的規律，教師需要花比較多的時間帶領學生進行整合回憶和復習。如何突破這一困局？筆者認為，這同樣需要計數單位來統領各類計算的算理，教師需要通過合理、多樣態的過程設計，幫助學生通透運算律，內化形成各類計算的模型迭代。

（三）教材后期設計可能性猜想

上文呈現了教材內容安排順序無法兼容的困惑，圍繞新課標整體性、一致性和發展性的思想，若想讓計算內容“形散而神不散”，不能只盯著內容順序，而是要從核心概念“計數單位”入手。一是基于量綱理念，讓學生充分感受整數、小數、分數等都可以用“幾個計數單位”來一致表述。二是在基本計算中，讓學生感受加法的核心地位，即加法是所有運算的基礎。三是讓學生認識到，對于加減運算而言，只有相同計數單位上的數字才能進行運算；對于乘除運算而言（整數除法除外），計數單位與計數單位運算，計數單位上的數字與計數單位上的數字進行運算［3］，從而利用計數單位融入算理、統一算法。四是利用“境脈課堂”，通過混合運算的故事化、情境化和可視化，實現“三會”素養目標具體化的有效進階。

如果說小學階段的數是生長在數軸上的“種子”，那么小學階段的運算就是蘊含在境脈“故事”架子下萌芽的“莖葉”。

三、行：計算教學如何“施計”

前文對計算進行了動作屬性分析，強調“計”的過程的重要性，也對教材計算內容安排的困惑進行了呈現，并提出計數單位及境脈化解的思路。那么，現行計算教學實踐現狀如何？筆者對江蘇省蘇州、揚州、南京三地八所小學中、高年級1907名學生進行了無記名問卷調查，獲得數據（如圖1）。

通過數據對比發現，小學中、高年級學生覺得自己在計算題上比較薄弱的占22.92%，僅次于問題解決，位居第二。實際上，計算隱性問題的事實，從新課標對計算要求的改變中也能看出端倪；再以教師的視角來審視計算教學，在思維搶占“高地”的今天，“計算教學”成了冷詞，“雪藏”的計算教學也被教研所邊緣化了。

從二元對錯判斷到多元“計”的價值探尋，處于新舊教材過渡期的我們，計算教學的“計”從何而來呢？結合新課標、數學教材現狀和教學期望，筆者認為可按照計算類型選擇大體實施路徑，注意“計”的施行，運用“境脈化”理念，以期達到“算”的精妙。

（一）口算訓練重形式——“我口述我思”

口算是計算教學中的重要基礎，其教學和訓練在課堂中經常進行。口算訓練可以在課余或家中進行，也可以融入線上進行網絡互動、多媒體展示，通過半游戲境脈學習方式進行計算的思維語言組織和表述。

如口算訓練可以采用“述算”互動的形式。學生面對教師、同學或家長，讀出口算題，說出計算過程和結果，教師、同學或家長對計算過程和結果進行多種形式反饋。“述”不僅反映在讀題上，還呈現在計算過程、結論反饋上。學生可以通過深層次的做法、學法、模型構建、思維審辯等方式進行敘述、溝通和爭鳴。這種形式還有一個妙處，就是口算題不用寫出答案，可以橫著、豎著、斜著、逆著和跳著讀算每份口算題，每一份口算題可謂“物盡其用”。筆者經過多年“述算”實踐發現，無論是資源利用率還是訓練效果上都比傳統的寫口算要好很多。

這樣的口算訓練形式，其實就是營造不同對象之間相同的協作述算境脈。教師引導學生從觀察識記到思維運算，再到結論反饋，通過數學語言可以將思維過程全部呈現。“述算”可以培養學生計算的多元素養，特別是可以挖掘出如需要、興趣、動機、情感、意志等非智力因素。因此，“述算”的目標是學生計算素養的綜合生成，是成長的“遠方風景”。

（二）筆算教學用轉化——“物形聯理法”

遷移是重要的計算學習方法，遷移的本質是完善和架構一種更合理的思維模型，是始于境脈、用于境脈的應然。例如，圍繞計數單位所建立的“數與運算”的一致性系統，整數的計算方法可以遷移到小數和分數中，整數四則混合運算的順序及運算律也同樣可以遷移到其他數的運算中。

圍繞計數單位，計算教學有很大的一致性開發空間。以加法為基礎，圍繞計數單位個數的累加、累減、群加、群減，可以統整、形成如上文所述的四則運算一致性的算理和算法。

除了抓住核心概念“計數單位”，筆算教學算理時，進行計算可視化也很有必要。教師可以通過生活化的“物”或圖形化的“形”，聯通算理和算法，讓數與運算貼近學生，使學生能夠愉悅地接受筆算算理思維。筆算教學中，常用的“物”“形”工具有實物、計數器、算盤、小棒、紙，還有點子圖、方格圖、基本圖形、表格等，過程形式可以實物展示，也可以虛擬演示。例如，在低年級的兩、三位數的加法和減法中，對于進位和退位問題，可以通過計數器或算盤撥弄的方式呈現，使學生在直觀理解位值制、十進制的同時，認識“相同數位對齊”的內涵，即相同計數單位上的數相加減的算理。

對于筆算算理的理解，從簡約性來看，借助圖形的可視化，教師可以幫助學生多角度直觀理解算理和抽象發現規律。如蘇教版數學三年級下冊“有趣的乘法計算”中，有一個知識點是“頭同尾合十”的趣味計算，教師通常引導學生采用看算式找規律的方法。若借助方格圖將數變成圖，把數運算的量變成圖形的變化，則可以使學生的簡算算理在圖形轉化和計量中逐步明晰。

又如，用“鋪地錦”的方法計算23×15（如圖2），23和15分別列于大長方形的上面和右面，數字和數字相乘后，把乘得的結果斜向相加，結合筆算形式，發現“斜向”其實就是為了相同數位上的數相加，即相同計數單位上的數相加。在頗具傳統文化意味的圖形算理和現代筆算算理對比呈現中，學生感受了筆算豎式的抽象和簡潔。教師可以引導學生在課后繼續研究此類計算，如畫線法、算籌法、疊果法、視窗法，讓學生異中尋同，實現不同數學文化的碰撞。另外，對于23×15筆算算理的理解，也可以利用圖形面積的計算進行可視化轉化（如圖3）。

可視化整體設計實質也是數學境脈課堂的一種中間狀態，很多時候表現在數形結合的序列性具身操作上。實際上，這些屬于外在形式上的理解，要進行更深入的算法理解，則要依循其脈絡、挖掘“述”的價值，將操作設計、操作經歷、結論猜想、具身體驗、活動反思、闡述爭鳴融入互動交流中，讓“手、腦、口”在“教—學—評”一致性中互助發展。

（三）混合運算設背景——“變式巧融通”

“混”而不亂，運算符號和數字的“混亂”卻藏著規則的“序”和規律的“妙”。相對而言，對比的策略在混合運算教學中是需要重視的。教師可以設計適當的變式對比，使學生有效突破錯點、堵點和難點。如對于“25×4”和“24×5”的計算形式和結果的異同度辨別，“a×b+a×c”與“a×b÷a×c”的數字字母、運算符號、運算順序和運算律的相關度判斷，學生都可以進行對比、共享和交流。

在混合運算教學中，教師需要創設或融入一定的生活情境、問題情境、數學情境或科學情境等，形成有思維結構與張力的“境脈課堂”，讓學生在熟悉的情境中完成運算順序及規律的抽象、表述及模型化。例如，對于蘇教版數學四年級下冊“運算律”中“乘法分配律”一課，教師可創設如圖4所示生活情境，讓學生在求跳繩總數的問題中，利用“四年級領跳繩的數量+五年級領跳繩的數量=四、五年級一共要領跳繩的數量”和“四、五年級的班級數×每班領跳繩的數量=四、五年級一共要領跳繩的數量”這兩個不同的數量關系式，在情境中理解乘法分配律，在境脈化參與中抽象、推理，形成乘法分配律的模型雛形。另外，學生也可以通過求兩個小長方形的面積和來理解乘法分配律（如圖5），以半抽象的可視化方式透析乘法分配律的意義。若將購買情境繼續結構化，形成高階情境問題，以聯動任務進行驅動，則能實現“境脈課堂”推動下的運算結構思維和計算一致能力的本質提升。

蘇教版數學教材在乘法分配律學習后，還介紹了“雙倍法”（如圖6），讓學生通過數學文化回溯數學史，基于古今運算律研究的歷史和現狀，理解乘法分配律的發展過程，使筆算乘法與乘法分配律形成算理關聯。

對于混合運算中計算規律的發現，可以采用可視化解析。例如，對于式子“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=？”，學生通過數形結合的一一對應關系，發現只要用整體“1”減去最后一個空白“[164]”即可（如圖7），自然滲透微積分思想。另外，也可以通過拆分重組的形式。例如，對于式子“888×125=111×（8×125）”，這是基于8×125結果是整數的計算經驗和數感基礎上的個性選擇。

或許，有人覺得運算規律起于有意發現、用于計算簡便。其實，不止于此，運算規律的發現也能為問題解決提供新思路，為新規律的再發現提供結論和方法支撐，還能通過規律計算或結果判斷（如和與積的奇偶性）與用計算器計算作對比，讓學生感受人腦思維的創新性和計算工具的局限性，使學生愛上計算思維，提升自信心。

在混合運算的教、學、用中，需要故事化、情境化、脈絡化、可視化、拆分轉化和對比發現的設計思想，也需要學生在實踐基礎上進行設計思想落實的有序表述，在互動中互補、融通計算思想和實踐，構建生成混合運算問題解決的模型。

四、結語

前瞻而言，需要明晰的是，新課標在介紹核心素養中提出了“計算思維”一詞，指出要通過計算思維將各種信息約簡和形式化，進行問題求解與系統設計［4］，這是基于計算機、大數據、互聯網和人工智能社會情境產生的。計算思維的本質是抽象和自動化［5］。雖然這里的計算思維并非直指數值計算，而是指向利用計算機領域的思想方法去解決問題，但如今現實社會，萬物皆可“算”，“算力、算法、算據”已成為未來高速發展的引擎。因此，從實質來說，計算素養是人的根本，計算教學也必然是課改的核心。

縱觀而言，計算教學理念與實踐的發展曾經從“算”的功利性走向“計”的工具性。新一輪課改背景之下，則需要將計算的理性思考融于感性結論，實現“計算”價值的有效回歸，“以計促算”，實現計算教學的創生。

現實而言，在整體視域的基礎上，小學數學教師要以“脈”融“境”、以“計”施“算”，不僅要勤于思考、善于勾連，還要懂得結構設計、多元表征，將計算教學的價值魅力充分展現。

參考文獻：

［1］李保臻，馬登堂. 基于小學生數學運算素養培育的課例比較研究：以“三位數乘兩位數”的同課異構為例［J］.數學教育學報，2021（2）：8-13，25.

［2］吳甲旺，李紅霞，司繼偉. 小學低年級兒童的計算流暢性與數學焦慮：基于變量為中心與個體為中心的分析［J］.心理發展與教育，2022（1）：72-80.

［3］鞏子坤，史寧中，張丹. 義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性［J］. 課程·教材·教法，2022（6）：45-51，56.

［4］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［5］范留平. 計算思維教育區域性推廣的實踐研究［J］.中小學課堂教學研究，2020（6）：68-72.

（責任編輯：羅小熒）