結構視角下的單元教學設計

摘要：結構視角下的數學教學，可以幫助學生從整體上理解知識，形成認知結構。大單元教學設計則可以讓學生整體把握教材，重視教材的系統性與整體性，二者結合，旨在拓寬學生的數學視野，提升學生的學科素養。

關鍵詞：反比例函數" 圖象與性質" 單元教學" 核心素養

結構視角下的數學教學，可以幫助學生從整體上理解知識，形成認知結構。這樣的教學方式要求教師不僅關注課時的教學目標與教學內容，還要關注單元教學目標與教學內容。因此，教師要用系統、全局的眼光對教材中具有內在聯系的知識進行整合、重組，形成完整的教學設計。這樣的教學模式，既能鍛煉學生思維，又能提升學生數學素養，讓學生由點及面，舉一反三。因此，本文以“反比例函數的圖象和性質”為例。

一、教學內容及內容解析

（一）教學內容

滬科版數學九年級上冊第二十一章第五節第二課時：“反比例函數的圖象和性質”。

（二）內容解析

本節課之前，學生已有知識包括一次函數、二次函數的相關內容以及反比例函數第1課時——反比例函數的概念，都是本節課學習的知識鋪墊。本節課也是對初中函數學習的完善，也為高中學習新的函數奠定基礎，在中學知識的學習中具有承前啟后的作用。

本節課通過知識結構回顧一次函數、二次函數的研究路徑，讓知識自然地生長，引出本節“反比例函數的圖象和性質”的內容。通過從具體到抽象，從特殊到一般歸納概括得出反比例函數的性質，通過圖象直觀感受解析式的定性分析，形成知識的正遷移。教學過程中培養學生通過觀察及運用抽象思維分析問題的能力，以及運用邏輯推理解決問題的能力。

因此本節課的教學重點是：理解并掌握反比例函數的圖象和性質。

二、教學目標和解析

（一）教學目標

（1）經歷列表—描點—連線的過程畫反比例函數的圖象，描述圖象特征。

（2）能夠結合圖象總結反比例函數的性質，感受分類討論、類比等數學思想。

（3）經歷從特殊到一般的數學活動，掌握反比例函數性質的形成過程，從“數”“形”兩個角度分析圖象性質，從直觀感知到定性分析，提升學生的數學素養。

（二）目標解析

（1）學生通過列表—描點—連線的過程，作出y=6x的圖象，描述它的圖象特征，并在kgt;0前提下，針對取值不同的k，找到圖象的共同特征，歸納、概括kgt;0時反比例函數的圖象和性質。

（2）能類比kgt;0的反比例的圖象和性質的過程得到klt;0的圖象和性質，掌握反比例函數的性質。

（3）能從“數”（解析式）的運算檢驗圖形語言的描述，從“數”“形”兩個角度分析反比例函數的性質，體會感性認識到理性認識的過程，運用數學思維解決問題，提升了學生的邏輯推理素養。

三、教學問題診斷分析

學生已經在八年級上冊和九年級上冊學習了一次函數和二次函數的知識，為本節課的學習提供了知識儲備和研究方向。但是由于反比例函數的特殊性，自變量取值x≠0在畫圖時較難把握，這給學生理解反比例函數的性質帶來一定的困難。

基于以上討論，確定本節課的教學難點為：正確畫出反比例函數的圖象。

三、教法分析

教學過程中，讓學生基于已有的函數學習經驗，在探究函數圖象性質的問題時，設置的問題要環環相扣，利用學生認知的最近發展區，通過畫具體的反比例函數圖象得出圖象性質，讓學生感受類比的數學方法，進而培養學生的思考問題能力和歸納知識能力。

教法：問題導向，引發思考。

學法：類比前章，歸納新知。

四、教學過程設計

（一）整體建構，引入新知

引導語：關于函數，同學們已經學習了一次函數和二次函數的知識，也認識到生活中的實例通常蘊含著變量間的依賴關系。我們歸納概括得到函數的概念，并通過圖象研究函數的性質，最終幫助我們解決實際問題。

問題1：上節課中，我們從實際問題出發得到了反比例函數的概念，接下來我們要學習反比例函數的什么內容？你打算怎么研究？

師生活動：教師借助函數單元結構圖帶領學生梳理函數的研究路徑，引導類比歸納反比例函數的研究路徑。

設計意圖：引導學生回顧函數的學習過程，為本節課的學習做鋪墊，也為學生指明了研究的方向。理解“現實問題→概念→圖象→性質→應用”的函數研究路徑。

（二）明確方向，探索新知

問題2：怎樣畫反比例函數y=kx（k≠0）的圖象呢？

追問1：觀察式子，對于k≠0，我們應該如何研究呢？

追問2：作反比例函數y=6x圖象的幾個步驟是什么？

追問3：對y=6x列表時，需要注意什么？

師生活動：師生一問一答，追問1引導學生在畫反比例函數y=kx（k≠0）的圖象時，引出kgt;0和klt;0兩種情況分類討論；追問2目的是回顧畫函數圖象的一般步驟；追問3旨在提示學生在列表時注意自變量x的取值范圍，為了圖象美觀，通常在原點兩邊對稱取點。

實踐活動：學生動手操作，在網格紙上畫反比例函數y=6x的圖象。

師生互動：在學生實際操作的過程中，教師要巡班指導，發現學生作圖時出現問題時，拍照展示學生作品，請學生代表指出作品的錯誤或不足之處，并予以修正。教師根據學生的修正意見，用“幾何畫板”動態描點，展示反比例函數y=6x的圖象。

設計意圖：讓學生利用已有的學習經驗，自己動手畫圖，再根據學生畫圖中存在的問題，幫助學生分析原因，找到問題的根源，引導學生從做中體驗，從錯中反思，掌握正確的作圖方法。最后根據學生的結論，使用“幾何畫板”，驗證學生的想法，讓學生經歷知識的獲得過程。

追問1：請同學們仔細觀察y=6x的圖象，能否可以說出它的特征？

追問2：能不能將“在每個象限內，y隨x的增大而減小”簡單地說成“y隨x的增大而減小”？為什么？

追問3：如何理解圖象關于原點對稱？我們之前學習過關于原點對稱的圖象嗎？

設計意圖：師生一問一答的過程，能夠幫助學生梳理出分析函數圖象的一般思路；突出“每個象限”必不可少。這個過程將圖象關于原點對稱轉化為點關于原點對稱，體現化歸思想，也為后面從“數”（解析式）的角度刻畫性質埋下伏筆。

（三）同化順應，建構新知

問題3：幾何畫板呈現多組反比例函數y=kx（kgt;0）的圖象，請同學們注意觀察，數值k變化時函數圖象有什么特征？

師生活動：教師演示，學生觀察圖象變化，引導學生感受k值變化的過程中，圖象的變與不變，總結歸納反比例函數y=kx（kgt;0）的圖象特征。

追問：k值的不同，函數的圖象也不同，k的值如何影響函數圖象呢？

設計意圖：通過幾何畫板動態演示，讓學生感受圖象的“變與不變”，從而概括反比例函數y=kx在kgt;0時的性質，直觀體驗從特殊到一般的數學思想。培養學生從具體觀察到抽象概括的能力。

問題4：反比例函數y=kx（klt;0）的圖象和性質又是怎樣的？該如何研究？

學生活動：請同學們動手操作，畫出反比例函數y=-6x的圖象，觀察圖象并回答：它的圖象有哪些特征？

問題5：幾何畫板動態演示，觀察不同k值對應的函數圖象，說說y=kx（klt;0）的圖象有哪些特征？

追問：k值的變化，函數圖象也隨之變化，k的值如何影響函數圖象呢？

設計意圖：學生再次嘗試畫圖，結合剛才畫圖過程中存在的問題，將作圖的注意事項理解內化。類比反比例函數y=kx（kgt;0）的探究過程，再次感受從特殊到一般的數學思想，提高學生分析問題、解決問題的能力，培養學生類比推理的素養。

師生歸納總結，建構新知：

知識點1：反比例函數y=kx（k≠0）的圖象由兩條曲線組成，叫作雙曲線。

問題6：你能夠總結出反比例函數的性質嗎？完成以下表格。

反比例函數的圖象和性質：

反比例函數y=kx（k≠0）

k的符號k＞0k＜0

對稱性y=kx的圖象關于""" 對稱

設計意圖：用表格對比的方式，幫助學生厘清反比例函數的圖象和性質，體會比例系數k對圖象與性質的影響，取得同化新知，進一步完善知識體系的效果。

過渡語：想要掌握函數性質，一般要經歷兩個階段，從“形”的角度直觀感知，從“數”的角度定性分析。剛才我們已經從“形”的角度直觀感知形狀、位置、變化趨勢以及它的對稱性，但圖形的感知往往不夠準確，無法進行計算檢驗，因此，我們需要從“數”（解析式）的角度進一步認識反比例函數。

問題7：函數關系式揭示變量間關系，請根據y=kx（k≠0）說明：

（1）kgt;0時，圖象經過哪些象限？klt;0時，圖象經過哪些象限？并說明原因。

（2）圖象會與坐標軸相交嗎？

（3）從關系式中如何說明圖象關于原點對稱？

設計意圖：初中生獲得函數性質要經歷兩個階段：直觀感知階段和定性描述階段。利用函數關系式y=kx（k≠0）解釋說理，帶領學生從直觀感知到定性描述，從感性認識到理性認識，進一步提升學生的邏輯推理素養。

（四）學以致用，應用新知

例1：已知反比例函數的圖象經過點A（1，3）。

（1）此函數圖象分布在哪些象限？若x不斷增大，則y值如何變化？

（2）點B（2，6），C-12，-245，D（3，1）在函數圖象上嗎？為什么？

追問：你們是如何判斷B，C，D在不在函數圖象上的？請提供不同的方法。

例2：如圖是反比例函數y=m-5x圖象的一部分，結合圖象思考：

（1）圖象的另一支在哪個象限？試確定m的范圍。

（2）在函數圖象的某一支上任取點A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，試比較y1與y2的大小，并說明原因。

設計意圖：讓學生在例題的解決過程中內化反比例函數的圖象和性質，滲透數形結合的數學思想方法。通過練習，鞏固新知，夯實基礎，形成技能。

（五）總結歸納，鞏固提升

（1）通過本節課的學習，你掌握了反比例函數的哪些知識？

（2）研究函數的基本思路是什么？接下來你打算研究反比例函數的哪些內容？

（3）函數知識單元框架。

師生互動：學生總結，教師適當補充。

設計意圖：回顧知識的探究過程，總結函數學習的一般方法。回顧反比例函數圖象的研究過程，進一步引導學生通過探究過程體會數學思想，厘清函數的研究思路。

五、教學反思

（一）大單元教學

當下，大單元教學被廣泛應用和推崇，它考驗教師從“單元”出發進行教學設計，旨在構建學生的知識結構，感受知識間的內在邏輯，研究問題的一般路徑。本節課是對大單元教學的一次探索，整合了一次函數、二次函數的研究內容和研究方法，再根據函數研究的一般路徑形成反比例函數的研究過程，使學生腦海中的知識“點”形成知識“鏈路”，讓學生理解函數單元知識之間的內在聯系。

但單元結構的呈現并不唯一，也可以是基于方法的簡單呈現，如在描述反比例函數y=6x的圖象前，可以幫助學生梳理對圖象的研究路徑：線形結構、所過象限、變化趨勢、所過點（特殊點）、對稱性，通過梳理知識間的聯系，形成更加完整的知識結構。

（二）教學設計的創新與優化

教學設計的關鍵在于創新，它是引導學生建構數學知識體系的核心。本節課的教學設計邏輯連貫，符合數學發展規律和學生的認知規律。本節課遵循大單元結構設計，首尾呼應，讓初中數學函數的結構自然生長，同時促使學生的認知結構共同生長。在分析反比例函數性質時，從“形”和“數”兩方面來分析，從直觀感知到理性分析，從感性認識到理性認識，培養學生的數學思維，積累分析問題的經驗。

在描述圖象特點時，應讓學生多取幾個k的值，動手畫圖再觀察比較分析，抽象概括歸納圖象的性質，讓學生自己感悟“變中有不變”的思想，培養學生的合情推理能力和抽象思維能力。

（三）課堂教學藝術

教師的課堂教學藝術，不僅可以形成良好的課堂氛圍，更能增進師生間的情感交流，從而收獲良好的教學效果。筆者認為語言藝術是其中尤為重要的一項，在講到核心概念或知識點時，要讓自己的教學語言規范準確，不失生動活潑。課堂教學中要注意語調的變化，讓聲音有頓挫感，具有啟發性，如此才能為學生打造高質量的課堂，促使學生快速吸收和掌握知識，提高課堂教學質量。

（四）教學基本功

教學基本功是教師必備的重要素質，隨著現代技術的發展，教師也需要跟上時代步伐，提高教學基本功。板書是必備的基本功之一，好的板書不僅對課程的推進大有裨益，也可以對學生起到示范作用。因此，每堂課的板書是筆者精心設計的重點之一。如何分配黑板，黑板的每一塊寫什么都值得考究。作業設計也是一項重要基本功，好的作業設計，既能達到鞏固基礎知識的目的，又能滿足學生的個性化發展需求；既能減輕學生負擔，又能提升學科素養。

（五）信息技術與學科的有機融合

信息技術尤其是作圖工具與知識的融合可以實現內容的可視化，增強課堂的趣味性，同樣有助于學生理解知識的內在規律，促進學生自主探究、深度思考等，提高課堂教學質量，讓課堂教學“動起來”“活起來”。本節課幾何畫板的動態演示，讓圖象“動”起來，提高學生的學習興趣，讓學生積極主動地探索與研究。但本節課對于k值的變化，直接用幾何畫板動態展示，代替了學生的動手操作和獨立思考，不利于培養孩子的數學思維。因此，課堂中應用信息技術要因時制宜、因地制宜，不能本末倒置，不能讓信息技術代替孩子的真實體驗。

參考文獻：

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[3]王碧瑩.“反比例函數的圖象和性質”教學探索[J].中學數學教學參考，2022（9）：14.

責任編輯：唐丹丹