數形結合思想在初中數學解題中的應用探究

【摘要】數形結合思想是學生根據題目轉換題目信息降低解題難度的必備學習意識，能夠以直觀的形式呈現抽象的題目信息，有助于學生快速理解題意，正確分析解題思路，提高解題效率與正確率，對培養學生解題思維能力具有重要意義.文章首先分析數形結合思想在初中數學解題中的應用作用，其次簡述數形結合在解題中的應用原則，最后對具體的應用策略展開探討，結合實例，從“簡化問題”“梳理思路”“以數化形”“以形助數”四方面研究數形結合的解題應用技巧，以期為初中數學教師培養學生的數形結合思想提供參考.

【關鍵詞】數形結合思想；初中數學；解題應用

引 言

在數學知識學習和數學問題解決中，數形結合是重要的思想方法，也是提高學生數學學習能力的關鍵手段.運用數形結合思想，學生能夠以更為直觀的方式深化對于數學知識的認識，加深對于數學題目內容的理解，使其能夠從整體上全面把握題目要求，結合重點內容確定解題思路，提高解題能力.教師應認識數形結合思想在數學解題中的應用價值，注重解題教學方法的創新，指導學生運用數形結合思想，掌握靈活的解題思路和正確的解題方法，著重培養學生的解題能力，提升其數學綜合素養.

一、數形結合思想在初中數學解題中的作用

（一）加深知識理解

數學習題中往往包含一些抽象的數學概念或者定理，且為提高解題難度，也多使用較為難懂的方式描述題目信息.指導學生運用數形結合思想分析數學問題，能夠簡化問題理解，直觀呈現題目重點信息，將抽象的數學問題轉變為可視化和直觀化的形式，便于學生理清題目中數學知識之間的邏輯關系，從而調動數學思維，利用數學概念的關聯性找尋解題思路，確定解題方法，并在解題中進一步深化數學概念理解.

（二）提升解題能力

培養學生的數形結合思想，能夠使其形成科學的解題思維，通過運用數形結合思想分析題目內容，根據題目解題要求確定有效的解題思路，選擇最為高效的解題方法.這不僅能夠鍛煉學生的數學思考能力，也能夠使其在實踐訓練當中積累豐富的數學解題經驗，不斷磨煉自身的解題技能，提高解題能力.

（三）活化解題思維

將數形結合思想運用于數學解題當中，本質上是指導學生將抽象的數量關系轉變為直觀的圖形關系，從而轉變以往固化的數學解題思維，運用更為簡便的方法解答數學問題，這能夠開拓學生的解題思路.“數”與“形”的有效結合，能夠使學生以更為靈活的思維面對各種類型的數學問題，可以從不同角度分析數學問題，找尋解決問題的切入點，同時能夠使其實現舉一反三、一題多解，提高解題效率，鍛煉解題能力，這均是學生靈活運用解題思維的表現.

二、數形結合思想在初中數學解題中的應用原則

（一）等價應用

數形結合思想在數學解題中的有效應用，應以“數”與“形”的等價轉化為前提條件，這指出了學生應用數形結合思想解題應遵循等價應用原則，需要確保解題中“數”和“形”的性質和特征在任何轉化過程中都具有一致性，這是保證數學問題解決準確性和有效性的重要基礎，也是數形結合思想的數學解題應用基本要求.

（二）雙向應用

在數學解題中，數形結合思想的應用具有雙向性.所謂雙向性，即學生既要利用直觀的圖形來簡化代數問題的分析難度，又應借助代數的精確性來準確分析幾何圖形之間的對應關系.因此，學生應基于雙向應用原則的要求，利用數形結合思想深入理解數學問題存在的內在聯系，以期提高解題效率.通過合理的雙向應用，數形結合思想能夠幫助學生全面分析數學問題，并有效培養其邏輯思維和空間想象能力.

三、數形結合思想在初中數學解題中的應用策略

（一）簡化問題，降低解題難度

初中數學知識與小學數學知識相比，在難度上有明顯提升，且數學問題的設計也常常體現出知識融合性和方法綜合性，需要學生在理解學科基礎知識的基礎上，深入挖掘知識之間的內在關聯，能夠以整體性思維思考數學問題的解題方法，這體現了初中數學培養學生綜合能力的教學要求，但也給學生的數學學習帶來了一定的困難.多數數學題目往往使學生感到困惑，難以下手，可見學生缺少的是問題簡化能力，不能將抽象的題目內容轉化為簡單易懂的數學信息，應用數形結合思想可以使學生將抽象的數學問題轉化為直觀、具體的內容，從而對數學問題展開形象化思考.基于這一思路，教師應在教學中為學生演示應用數形結合思想簡化問題理解和優化解題過程的方法，以提高學生對于數形結合思想的掌握能力.

以人教版初中數學七年級上冊“有理數”為例，在教學中，學生在教師的引導下能夠通過利用數軸形象地表示有理數、解釋相反數，并解決關于絕對值相關的問題，且能夠在數軸中直觀比較有理數的大小，這體現了數軸在運用數形結合思想學習數學基礎概念方面的應用價值.如：

已知a，b為有理數，且a>0，b<0，a+b<0，將四個數a，b，-a，-b按由小到大的順序排列，順序為（ ）？

本題既可以運用賦值法進行解決，又可以通過數軸法解決，而數軸法則是應用數形結合解決數學問題的直觀體現.根據題目給出的“a>0，b<0，a+b<0”條件，結合課程中所學的相關概念，學生可以在數軸中標出“a，b，-a，-b”所對應的位置，如圖1所示：

由此，學生在分析題意的基礎上，畫出數軸，根據題目給出的四個有理數的描述內容，通過描點、寫數，分析數字對應位置是否滿足題意要求，即可解得此題，認識數形結合思想在簡化問題解題步驟方面的作用.

（二）梳理思路，培養數學思維

初中數學問題解決的關鍵步驟在于確定解題思路，正確的思路是解題成功的基礎，也是學生數學思維和解題能力水平的重要體現.解題思路的確定需要學生從數學問題中提煉關鍵信息，梳理題干內容以找尋解題切入點，由此對題目展開深入探究，把握解題要點.在運用數形結合思想解決數學問題時，教師應指導學生拆分問題，定位題目中的關鍵數學概念和知識特征，由此聯系課堂所學的知識內容和數學方法，并在運用數形結合思想將題目簡化為直觀信息的基礎上，將相關知識與技巧運用在解題過程中，以建構正確的解題思路.這在降低學生解題難度的同時，能夠有效鍛煉其解題技巧，增強解題自信心，提升數學思維能力水平.

以人教版初中數學八年級上冊“等腰三角形”為例，在課題學習：最短路徑問題中，以問題2為例，題目內容如下：

A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，問橋造在何處可以使A地到B地的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）

從題干文字中，學生并不能直觀地了解A，M，N，B四點的位置關系，因此學生可以運用數形結合思想將題目簡化為圖2，將河的兩岸視為一組平行線ab，此時N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b，且交直線a于點M.，如此，在將題目的文字信息轉化為圖形后，學生可直觀分析題意，明確本題要求，即當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最小？由此便可進一步確定解題思路.結合題意，學生已知河岸寬度固定，因此可以確定當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.而在本單元學習中，學生已經掌握了“軸對稱和平移”相關知識，其可以根據解題要求，將AM沿河岸垂直方向平移，使M與N重合，得到新的點A′，此時AA′=MN，AM+NB=A′N+NB，順利將圖2轉化為圖3.根據“兩點之間線段最短”的數學定理，學生可以連接A′B，而此時線段A′B與直線b的交點N′，作垂直交直線a于M′，此時M′N′位置則為所求，如圖4.由此，利用數形結合思想，學生可在抽象的數學問題中思考解題思路，確定解題步驟，提升數學思維運用能力.

（三）以數化形，直觀解決問題

一些數學問題的題干內容包含較多的數字或代數，導致學生難以理解問題的本質，因而在探尋解題方法的過程中遇到困難.教師需要指導學生結合題干中的數字或代數規律，運用直觀的幾何圖形，形象理解數字或代數之間的關聯或對應關系，幫助學生快速理解題意，并由此利用數形結合思想構建數學模型.通過對數學模型的觀察和分析，學生能夠結合模型特點形成清晰解題思路，把握解題關鍵.

以人教版初中數學八年級下冊“一次函數”為例，學生在本節課程中將掌握關于一次函數圖像等相關知識，而運用一次函數的圖像解決數學問題，是培養學生數形結合思想的解題教學思路.

如，習題：一個水庫的水位在最近5h內持續上漲，表1記錄了這5h內6個時間點的水位高度，其中t表示時間，y表示水位高度.

（1）水位高度y是否與時間t成函數關系，如果是，寫出符合表中數據的函數解析式.

（2）預估這種上漲規律還會持續2h，預測再過2h水位高度將達到多少米？

學生通過觀察表格數據，發現每小時水位上漲0.3m，由此可以提出猜想：如果在坐標系中畫出5h內每小時水位高度所對應的點，各點很有可能在一條直線上.為驗證猜想，學生畫出坐標系，并描出表1數據對應的點，得到圖5，發現在5h內水位是勻速上升的.根據圖5，學生發現對于時間t的每一個確定的值，水位高度y都有唯一的值與其對應，因此y是t的函數，根據圖5可得出函數解析式為y=0.3t+3（0≤t≤5）.將“再過2h后”對應的t為7的值代入其中，可得y為5.1，求出問題（2）的答案.

由此，學生通過分析題意，找出代數之間存在的數量關系，并將其轉化為圖形，觀察其是否符合函數解析式的圖像特點，利用函數圖像的規律和相關知識點，得到表示水庫水位隨時間上漲的變化規律，解得此題.這實現了將“數”化為“形”，發揮了數形結合思想在解題應用中的作用.

（四）以形助數，提高解題效率

“以形助數”思想作為解題思路指導，借助數字或代數的精準性特點，對幾何圖形建立新的理解，深入分析題目要求，實現題目形式的有效轉換，降低解題難度，高效解答數學問題.

以人教版初中數學九年級下冊“解直角三角形及其應用”為例，解直角三角形類型題以圖形居多，學生應在圖形中找出相應的數量關系，確定解題思路，靈活運用數形結合思想解決數學問題.

2012年6月18日，神舟九號載人航天飛船與天宮一號目標飛行器成功實現交會對接，神舟九號與天宮一號的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運行當組合體運行到地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與P點的距離為多少？（地球半徑按6400km計算）

結合題目所給圖形，學生可將題干抽象為：F為組合體位置，FQ為圓O的切線，Q為組合體觀察地球表面的最遠點，則PQ的弧線距離為最遠點到P點的距離（如圖6）.學生只需要求出∠POQ的度數，便可利用解直角三角形的相關知識，解得PQ的弧線距離.

根據題意解析圖形，學生可以進行如下解題步驟：

由此，學生可知，當組合體在P點正上方時，從中觀測地球表面時最遠點距離P點的約為2051km.

這種解題思路，使學生在“形”中發現“數”的作用，并利用“數”解“形”，能夠發散其運用數形結合思想的解題思維.

結 語

數學問題具有邏輯性和抽象性，應用數形結合思想解決數學問題能夠引導學生對數學問題展開多角度分析，活化思考方式，從而明確具體的解題方向，優化解題思路，提高解題效率.初中數學教學重在培養學生的學科思維，提高數學應用能力，教師應從不同角度講解數形結合思想在解題中的實際應用，使學生做到解題前預設方法、解題中活化思維、解題后反思過程，深化對于數形結合思想的理解，強化數形結合思想的解題應用能力，提高數學學習能力.

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