一道典型三角函數高考試題的多種解法探究

【摘要】新課改背景下，教師應有意識地引導學生針對一些典型高考真題加以“一題多解”，從教材基本知識入手，結合多種思維視角切入，應用多種技巧、方法解決問題，構建數學知識體系，從而提升學生數學核心素養.文章結合高考真題實例，融合并交匯數學的眾多相關知識點與思維方法，旨在深入拓展學生數學思維，提升學生數學能力，合理引領并指導數學教學與解題研究.

【關鍵詞】三角函數；定義；平面向量；解析幾何；不等式

三角函數式的化簡和求值是高考的重點題型之一.掌握化簡和求值問題的解題規律和一些常用技巧，以優化解題效果，是解決三角函數問題的前提和出發點.此類三角函數式的化簡和求值問題，既有對三角函數自身的公式應用，變化多端，形式各異，又有相應的幾何意義，數形結合，直觀想象，因而是匯集數學思想方法與技巧策略的重點知識，備受各方關注.

一、真題呈現

解后反思 根據題設條件，結合誘導公式的應用以及等式的恒等變形，代入三角函數的平方關系，借助涉及三角函數的二次方程的求解，通過解方程以及二倍角公式的應用來分析與求解.化為同角，代入消參，合理轉化為方程問題，利用二次方程的求解，是解決三角函數求值問題中的一種基本方法技巧.

解后反思 根據題設條件，結合誘導公式的應用以及等式的恒等變形，合理聯想到點到直線的距離公式，并結合單位圓x2+y2=1上的點到對應直線的距離的特征確定兩直線的位置關系，進而數形結合來解決對應的斜率問題，得以求解對應的三角函數值.化為同角，直線與圓的解析幾何圖形構建，點到直線的距離公式及兩直線垂直關系的應用，這是另一個層面的數學建模的特殊思維，聯想豐富.

（五）思維視角5：構建對偶式思維

解后反思 根據題設條件，結合誘導公式的應用化同角，借助同構對偶式，利用關系式的代數運算與變形確定對偶式的值，結合聯立方程組求解對應的三角函數值，并通過誘導公式與二倍角公式的應用來分析與求解.化為同角，構建對偶，是三角函數關系式求值與應用中經常用到的一種特殊技巧方法.

（六）思維視角6：不等式思維

解后反思 根據題設條件，結合誘導公式的應用以及等式的恒等變形，根據三角關系式聯想到柯西不等式，關注柯西不等式等號成立時的條件，得以求解對應的三角函數值.柯西不等式出自人民教育出版社2019年版高中數學教科書《數學·必修二》第37頁習題拓廣探索第16題，是課外提升與拓展知識，為學有余力或競賽的學生提供更為廣闊的學習空間.

三、教學啟示

（一）熟練掌握公式，把握常規方法

三角函數求值問題的破解關鍵，就是熟悉掌握同角三角函數基本關系式、誘導公式、三角恒等變換公式等，結合函數名、角、運算式等關系與特征來合理轉化與應用，實現三角函數值的求解.

熟練掌握基本的常規方法，特別是“通技通法”，是三角函數求值問題的基本考查要求.在此基礎上，有針對性地對一些相關的其他方法有所了解，以防不時之需.

（二）應用“一題多解”，提升數學能力

充分運用“一題多解”，可以從思維視角、策略途徑等層面尋求解決問題的不同技巧方法，實現知識的交匯與融合，方法能力的提升與應用.同時，借助“一題多解”，可以很好提升數學思維的水平與方式，總結解題規律，提高分析問題、解決問題的能力，真正達到數學思維的發散性和創新性，培養數學核心素養.

結 語

綜上所述，涉及三角函數的化簡與求值等應用問題，解題者應挖掘題目內涵，綜合三角函數的基礎知識，多角度思考，積極探究解題策略.具體解決問題過程中，解題者應抓住三角函數的本質，可以從定義、三角函數、平面向量、解析幾何、構造對偶式及不等式等思維視角切入，結合不同的技巧方法來處理與解決，實現對問題的巧思妙解.

【參考文獻】

[1]張新秀.問題驅動，觸及數學教學深處：以“任意角的三角函數”教學設計為例[J].數學教學通訊，2022（33）：26-28.

[2]丁勝鋒.單位根生成的三角函數連乘式恒等式[J].中學數學研究（華南師范大學版），2022（22）：48-49.

[3]王開俊.基于核心素養的高中數學文化滲透淺析：以蘇教版必修4“三角函數的圖象與性質”為例[J].數理天地（高中版），2024（5）：99-101.

[4]敖羚峰.在活動中培養學生的數學探究能力：以“探究楊輝三角的性質”一課為例[J].數學教學通訊，2024（6）：69-71.

[5]溫婧.剖析本質，思緒齊飛：高中數學三角函數解題技巧[J].數理天地（高中版），2024（3）：34-35.

[6]姜澤睿，馬晟，王鳳.UbD理論視角下的高中數學逆向單元教學設計：以“三角函數”為例[J].理科考試研究，2024，31（3）：2-6.

[7]易琳萱，鄭婕.中美高中數學教材中三角函數內容的比較研究[J].中學數學月刊，2024（1）：46-49.