高考命題中正態(tài)分布的考查熱點探究

【摘要】高考命題中，正態(tài)分布及其應(yīng)用一直是高考數(shù)學(xué)試卷命題考查的一類基本類型與考查熱點.文章借助實例應(yīng)用與剖析，結(jié)合正態(tài)分布及其應(yīng)用的考查基本類型與考查熱點，就正態(tài)分布及其應(yīng)用的考查重點加以剖析，借助一些常見的基本題型數(shù)值的確定、概率的求解、命題的判斷、圖像的直觀、知識的交匯等方面與應(yīng)用，旨在歸納總結(jié)正態(tài)分布及其應(yīng)用的基本類型，剖析解題技巧與策略，進(jìn)而引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

【關(guān)鍵詞】正態(tài)分布；參數(shù)；概率；統(tǒng)計；圖像

正態(tài)分布在自然界中是較為常見的一種分布，是基于生活、生產(chǎn)、科研等方面的一類隨機現(xiàn)象，是基于統(tǒng)計與概率層面上的一種特殊的“累積”效果與客觀現(xiàn)象，也是有關(guān)實際應(yīng)用問題中比較常見的一類基本數(shù)學(xué)模型與應(yīng)用.借助正態(tài)分布在理論、現(xiàn)實等問題場景中，特別是生活、生產(chǎn)、科研等方面的一些重要價值與實際應(yīng)用，成為高考數(shù)學(xué)試卷命題中的一個基本考點，要在數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考中引起高度重視.

一、數(shù)值的確定

而高一有學(xué)生980人，所以該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)大約為980×0.4=392，故選擇答案：C.

點評 抓住正態(tài)分布曲線的對稱性，是解決正態(tài)分布的基本性質(zhì)與相關(guān)應(yīng)用中比較常用的一種技巧方法，借助“數(shù)”與“形”的巧妙融合與綜合應(yīng)用，用來求解相應(yīng)的概率值、參數(shù)值等.

二、概率的求解

點評 借助正態(tài)分布求解一些對應(yīng)事件的概率問題時，關(guān)鍵在于確定參數(shù)μ與σ的值，將所求的概率事件加以合理分拆與等價轉(zhuǎn)化，為進(jìn)一步滿足3σ原則構(gòu)建對應(yīng)的線性關(guān)系式，合理加以等價變形，得以巧妙求解.

三、命題的判斷

例3 王先生每天8點上班，他通常開私家車加步行或乘坐地鐵加步行.私家車路程近一些，但路上經(jīng)常擁堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N（38，72），從停車場步行到單位要6分鐘；王先生從家到地鐵站需要步行5分鐘，乘坐地鐵暢通，但路線較長，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N（44，22），下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘，從統(tǒng)計角度出發(fā)，關(guān)于兩種上班方式，下列說法正確的個數(shù)是（ ）個.

①若7：00出門，則王先生開私家車上班不會遲到

②若7：02出門，則王先生開私家車上班不遲到的可能性更大

③若7：06出門，則王先生乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大

④若7：12出門，則王先生乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到

參考數(shù)據(jù)：若Z～N（μ，σ2），則P（|Z-μ|<σ）≈0.6826，P（|Z-μ|<2σ）≈0.9544，P（|Z-μ|<3σ）≈0.9974.

A.1B.2C.3D.4

分析 根據(jù)題設(shè)條件，分別確定對應(yīng)事件以及相應(yīng)的概率值，進(jìn)而結(jié)合各不同的命題加以分析與判斷.

綜上分析，說法正確的個數(shù)是1個，故選擇答案：A.

點評 抓住題設(shè)條件與相應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，通過正態(tài)分布及其性質(zhì)應(yīng)用，全面考查數(shù)據(jù)處理能力、邏輯推理能力以及分析問題與解決問題的能力，對于數(shù)學(xué)運算能力也有較高的要求.此類問題可以較好地考查學(xué)生基礎(chǔ)知識與基本能力.

四、圖像的直觀

分析 根據(jù)兩個不同的正態(tài)分布，分別確定對應(yīng)參數(shù)μ與σ的值，以及對應(yīng)值之間的大小關(guān)系，結(jié)合樣本均值u與樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ的幾何意義來直觀分析正態(tài)曲線所對應(yīng)的圖像的變化情況.

點評 借助正態(tài)分布及其正態(tài)曲線的圖像特征，合理結(jié)合相關(guān)參數(shù)的幾何意義，其中不同正態(tài)曲線的圖像對稱軸的值表示樣本均值u，而樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ表示正態(tài)曲線的峰值（峰值與σ成反比關(guān)系），抓住不同正態(tài)曲線的圖形數(shù)形直觀，從“形”視角去著眼來比較與分析.

五、知識的交匯

例5 某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于（49.6，50.4）的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N（50，0.16）；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N（50，0.04）.

附：若X～N（μ，σ2），取P（|X-μ|<σ）=0.6827，P（|X-μ|<2σ）=0.9545.

（1）求該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差；

（2）若該零件生產(chǎn)的控制系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是p（0

①若控制系統(tǒng)原有4個元件，計算該系統(tǒng)的可靠性，并判斷若給該系統(tǒng)增加一個元件，可靠性是否提高？

②假設(shè)該系統(tǒng)配置有n（n≥3，n∈N）個元件，若再增加一個元件，是否一定會提高系統(tǒng)的可靠性？請給出你的結(jié)論并證明.

分析 （1）直接根據(jù)題目條件及給定的正態(tài)分布數(shù)據(jù)，合理利用3σ原則加以分析與求解；（2）利用二項分布的概率性質(zhì)求解可靠性，并比較不同n的取值下可靠性的大小關(guān)系即可，當(dāng)然也可以采取其他的思路求解.

綜上，當(dāng)n為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)n為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.

點評 此類知識交匯的應(yīng)用問題中，比較常見的是正態(tài)分布與概率或統(tǒng)計等知識的交匯.此類問題往往以應(yīng)用場景加以創(chuàng)設(shè)，通過概率或統(tǒng)計中相關(guān)知識的應(yīng)用，結(jié)合概率的求解、統(tǒng)計的數(shù)據(jù)處理以及正態(tài)分布的應(yīng)用，實現(xiàn)問題的綜合與應(yīng)用，用于解決概率或統(tǒng)計等知識中的相關(guān)應(yīng)用問題.

結(jié) 語

綜上，基于正態(tài)分布在概率與統(tǒng)計問題場面中有關(guān)理論與現(xiàn)實中的廣泛應(yīng)用，特別是對于新高考數(shù)學(xué)試卷命題中涉及參數(shù)的確定、概率的求解、命題的判斷、圖像的直觀以及統(tǒng)計等相關(guān)知識的交匯，是新高考數(shù)學(xué)命題中的一個基本考點.此類正態(tài)分布及其應(yīng)用問題，大多是基于實際應(yīng)用、知識交匯以及創(chuàng)新應(yīng)用等方面來設(shè)置的，能夠為試卷命制提供更加現(xiàn)實、融合與應(yīng)用等方面的場景，對于全面考查學(xué)生的實際應(yīng)用、創(chuàng)新應(yīng)用與創(chuàng)新意識等方面非常有益.

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