數形結合思想在解題中的應用策略

摘 要：數學是研究數量關系和空間形式的科學，“數”與“形”是數學的研究對象.借助“形”可以使“數”更加直觀，借助“數”可以使“形”更加精確，數形結合是中學數學中極其重要的數學解題方法.基于此，文章從“以形助數”和“以數解形”兩個方面闡述數形結合在解題中的應用策略，并以“雞兔同籠”問題為例，給出具體的解題實例.

關鍵詞：數形結合；解題方法；雞兔同籠

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）32-0017-03

收稿日期：2024-08-15

作者簡介：倪萌（1999.12—），女，安徽省六安人，碩士，從事數學解題教學研究.

數形結合思想對數學學習至關重要.“形”可直觀呈現數量關系，“數”則精確描述形態特征，兩者相輔相成，有助于深化學生對數學知識的理解.數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過以“形”助“數”或以“數”解“形”，復雜問題可以簡單化、抽象問題可以具體化^[1].數形結合的應用大致可分為兩種情形，一是借助“形”的幾何直觀性闡明“數”之間的某種關系，即“以形助數”；二是借助于“數”的精確性闡明“形”的某些屬性，即“以數解形”^[2].筆者以雞兔同籠問題為例，說明數形結合思想在解題中的應用策略.

1 數形結合思想概述

1.1 以“形”助“數”

根據希爾伯特公理體系，“形”的基本對象為點、線、面.以“形”助“數”即利用點、線、面，以直觀的“形”幫助學生理解抽象的“數”，運用幾何方法解決代數問題.數學中許多概念，比如圖形、函數、方程等，往往與現實世界中的具體事物相對應.通過以“形”助“數”，可以更加直觀地理解這些概念及其之間的關系，從而更好地掌握數學知識.中學數學是學生初步認識幾何與代數的基礎學科，受學生認知水平的限制，數學的直觀性處于非常重要的地位.在中學階段，數學概念、定理、公式等的學習，大多會選擇借助“形”的輔助.根據從數學符號語言到圖形語言的轉化難度，其可分為直譯、轉譯和建模.

1.1.1 直譯

在中學數學中，直譯是以“形”助“數”最簡單直接的方法.其主要是利用“數”的幾何意義將抽象的數值轉化為幾何圖形的形狀，從而使“數”更具體化、可視化，同時也可以幫助學生更好地理解和應用數學概念.例如，整數可以表示為數軸上的點，點的位置代表了整數的大小和符號；分數則可以表示為圖形的比例關系或者平面圖形的面積比例；乘方和根號分別可以表示為立方體的體積比例和平方面積和邊長之間的關系，以及函數與其對應的圖象等.另外，當需要找到數值之間的關系和變化規律時，可以將這些數值以可視化的方式展示出來，如作圖、繪制表格等，通過直觀地觀察和分析，發現其變化規律.將“數”的抽象概念轉化為幾何圖形是中學數學中一種非常實用的方法，可以幫助學生更加深入地理解數學概念和公式，建立幾何代數整體認知，提升學生的數學應用能力.

1.1.2 轉譯

“數”和“形”之間的相互轉換有時不是一件輕而易舉的事情.在數學學習中，也存在不能將符號語言直接翻譯為圖形語言的情況，需要經過一定的轉化來實現由“數”及“形”，而“數”所呈現的不同形式將會影響轉化的效率.“數”具有抽象性，幾何特征不明顯或與標準式存在差異時，幾何意義會被“雜亂”的“數”所掩蓋，這時就需要進行適當調整，使幾何意義浮出水面，以實現以“形”助“數”，即轉譯.轉譯需要學生深入理解“數”的幾何意義，在數學學習中可以借助具體的圖形、形狀、尺寸等幾何元素，幫助學生更加直觀地理解“數”的抽象.同時，注重拓展學生的數學思維，培養學生的數形結合意識，合理利用“形”工具理解“數”對象.

1.1.3 建模

數學學習要從本質上認識和理解規律，學會尋找“數”與“形”之間的本質與聯系，從特殊到一般，發展抽象思維能力和數學建模能力.大膽假設，小心求證，探索“數”與“形”之間的聯系，自主嘗試建立與“數”對應的“形”，構建數學模型解決數學問題.建模是具有一定難度的，但其過程有助于培養學生數學思維的廣度和深度.

1.2 以數解形

“數”抽象而形式化，“形”具體而形象化.“形”雖具有形象直觀的優勢，但也有其粗略、煩瑣和不便于表達的劣勢.例如，求2^x=x²解的個數^[3].可將其轉化為幾何問題，求解過程就是通過繪制函數y=2^x與函數y=x²的圖象，確定兩者的交點個數.然而，在作圖中會發現，圖象的精確度會直接影響結果.若粗略作圖，易得到錯誤答案，這時就需要以“數”解“形”，更準確地把握“形”.

在中學數學學習中，利用純幾何方法解決問題相對復雜時，可將幾何的“量”數量化，幾何的“點”坐標化，幾何的“線性”方程化，幾何元素間的關系等式或不等式化，從而將所研究的幾何問題轉化成代數、向量等問題，即以“數”解“形”.因此，實現以“數”解“形”的關鍵是建立平面直角坐標系，將“形”放到平面直角坐標系中，即可以轉化為“數”，從幾何問題轉化為代數問題.

2 解題實踐

“雞兔同籠”問題是我國古代著名數學趣題.大約在1 500年前，《孫子算經》中就記載了這個問題，原文為：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？^[4]”

2.1 直譯法

在不同版本的數學教材中，“雞兔同籠”問題都安排在了小學學段，這階段學生所學的幾何方面的知識主要是認識基本的平面圖形和立體圖形，數學思維水平較低，以直觀認識為主.所以對于“雞兔同籠”問題，結合的“形”，常常較為具體，貼切于實際的事物.因此，對于“雞兔同籠”問題，可以作出對應的“形”，如圖1所示.然后就可以基于圖形進行解題，將腿與頭相匹配，即將圓形與線段相匹配，注意每一個圓形匹配兩條或四條線段.首先，需要保證每個圓形至少都有兩條線段進行匹配，所以第一步將所有圓形與兩條線段匹配.其次，將剩余線段與圓形匹配.

由此可見，直譯法相比于枚舉法或列表法，利用“數”與簡單的“形”相結合，更直觀形象，有助于幫助學生發現問題的限制條件.同時，其解題思路與假設法具有共同之處，而數形結合能幫助學生更好地理解解題思想與解題規律.

2.2 轉譯法

“雞兔同籠”是關于數量關系的數學問題，而方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效數學模型.因此，也可以通過設未知數的方式，構造方程進行求解.這類方法較為常規，學生也易于理解.

設雞的數量為x，兔子的數量為y.根據題意可得x+y=35，2x+4y=94.

初步分析：可轉化為求解方程組y=35-x，y=944-x2.

求解：如圖2所示.

兩直線的交點坐標即為方程的解，交點的橫坐標對應雞的數量，交點的縱坐標對應兔子的數量.需要注意的是，在將“雞兔同籠”問題轉化為方程求解問題后，其求解方法不止一種，此處僅列舉了一種數形結合方法，其他方法不再贅述.

2.3 建模法

在直譯法中已經介紹了用圖形語言描述“雞兔同籠”問題的一種思路，該思路是借助學生對實際物體形的認識，直接進行“數”與“形”的結合.但無論是用圓形表示頭數，還是用線段表示腳數，“數”與“形”之間的聯系并不密切，如圓形可以替換為三角形、方形等，線段的長度沒有限制，并同樣可用其他形進行直接替代等.“形”與“數”匹配的模糊性較大，“形”中并未很好地體現“數”的關系.基于此，利用建模法為“數”配“形”，最大化地利用“形”，運用數形結合解決“雞兔同籠”問題.

“雞兔同籠”問題中涉及了幾個數字，直譯法中是用幾何圖形的個數來表示“數”，相對單一，且不具備特殊性，可進一步嘗試對線段長度進行限制.用線段長度分別表示雞和兔子的腳數，用長方形面積表示總腳數，以解決雞兔同籠問題.

建模：如圖3所示，已知AG=35，AB=2，GF=4，求AD，DG的長.

以“數”解“形”：運用割補法，即利用已知的線段長度和圖形面積構建相應的等量關系，求得未知線段的長度，從而使問題得到解決.

由此可見，數形結合思想為問題解決提供了新思路.因此，學生需要進行再次審題并分析題干信息，將“數”的信息轉化為“形”的信息，為下一步求解奠定基礎.建模法中不僅利用“形”的性質對“雞兔同籠”問題進行轉化，更重要的是，通過運用數形結合的解題方法，將復雜的數量關系以直觀明了的圖形形式呈現出來，形象直觀、易于理解.且“數”與“形”之間聯系密切，由“數”構造對應的“形”，由“形”得到新的數量關系，最終解決“雞兔同籠”問題.

3 結束語

在中學數學中，數形結合的主要應用是以幾何輔助代數的學習，把“形”作為認識“數”的工具，對數形結合的認識相對單一.然而，數形結合應當既注重將抽象數學概念通過圖形具象化的過程，也要關注將具象形狀通過代數符號進行處理的過程.這需要依靠“形”來直觀理解“數”的概念和關系，也需要將“數”的精確性用于描繪“形”的特征和規律.數形結合在解題中的應用能夠有效培養學生的抽象邏輯思維和直覺形象思維，有助于發展學生的抽象能力和創新意識，進一步提高學生分析和解決問題的能力，從而提升學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1] 張衛星.數形結合讓數學學習可視化[J].教學與管理，2020（26）：34-36.

[2] 陳玉娟.數形結合思想貴在“結合”：一類問題錯解引發的思考[J].數學通報，2012（10）：38-41，50.

[3] 陶小玉.例談數形結合思想方法在數學教學中的應用與思考[J].數學教學通訊，2024（3）：72-74.

[4] 王云五.業書集成初編孫子算經及其他三種[M].北京：商務印書館，1939.

[責任編輯：李 璟]