用“問題串”引導課堂探究，實現素養目標

摘 要：數學課程以培養核心素養為導向，但常態課堂，特別是習題講評課中常有技能傳授替代能力培養的情況.本文以統計部分的習題講解為例，展示在常態講評課堂中教師通過對學生答題情況的深入分析，發現學生的真實問題和切實疑惑，設計適配學情的問題串，引導學生探究、思考，生成真實問題引領下的課堂，最終實現核心素養的培養目標.

關鍵詞：問題串；問題引領；核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調數學課程應以培養核心素養為導向，但數學常態課堂中仍然會出現用技能傳授替代能力培養的情況，特別是“問題解決”的“習題講評”課.

在此類常態性“習題講評”過程里，教師通過對解題過程的分析讓學生理解答案、掌握方法，完成問題求解，之后再配合多解討論、變式訓練，完成解題訓練閉環.這樣的講解模式以“問題求解”為主，確實有利于解題能力的訓練，但也會因為目標過于具體明確或內容過于深刻豐滿，致使教師忙于直奔主題，急于在有限的時間內完成所有內容，更容易出現“教師講解答案即為講評”“學生知道答案即為理解”的課堂場景.于是，問題的發現、提出、分析，思維的發散、深入、提升，都無暇顧及，更談不上核心素養的培養.

如何在“習題講評”中重視問題發現，體現教師引領，實現素養目標？下面筆者就某次試卷講評課中遇到的一個統計題目展開分析與思考，以供研討.

1 原題重現

為增進學生對安全知識的了解，某校開展了兩次知識問答活動，從中隨機抽取了20名學生兩次活動的成績（百分制），并對數據（成績）進行整理、描述和分析.如圖是這20名學生第一次活動和第二次活動成績情況統計圖（某一個點的橫坐標代表第一次成績，縱坐標代表第二次成績）.

（1）①學生甲第一次成績是85分，他兩次活動的平均成績是 """"分.

②學生乙第一次成績低于80分，第二次成績高于90分，請在圖中用“〇”圈出代表乙的點.

（2）為了解每位學生兩次活動平均成績的情況，A，B，C三位學生分別作出了每位學生的兩次活動平均成績的頻數分布直方圖（數據分成6組：70≤x＜75，75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95，95≤x≤100）.已知這三人中只有一人正確作出了統計圖，則作圖正確的是""" .

（3）假設有1 200名學生參加此次活動，估計兩次活動平均成績不低于90分的學生人數.

2 試題分析

本題目為統計類綜合題，涉及統計圖信息讀取，頻數計算，通過樣本數據估計總體數據等問題.試題情境中要求學生能夠理解統計圖的橫、縱坐標的實際意義，并能夠通過對平均成績的理解在統計圖中找到對應的數據，常規解答如下.

（1）①根據統計圖可直接得出該生第二次成績，即可求出平均分.

由統計圖可以看出，橫坐標為85的直線上只有一個點，其縱坐標為90.

這兩次的平均分為（85＋90）÷2＝87.5（分）.

②符合要求的范圍在直線x＝80的左側，且在直線y＝90的上方，圈出即可（如圖1）.

（2）根據統計圖可得出落在各區間的頻數，再與頻數分布直方圖對照即可得出答案.

第一次成績70≤x＜75的點有6個，75≤x＜80的點有2個，80≤x＜85的點有1個，85≤x＜90的點有2個，90≤x＜95的點有5個，95≤x≤100的點有4個.

第二次成績70≤x＜75的點有4個，75≤x＜80的點有3個，80≤x＜85的點有1個，85≤x＜90的點有1個，90≤x＜95的點有5個，95≤x≤100的點有6個.

B作圖正確.

（3）用總人數乘抽樣中兩次活動平均成績不低于90分的占比即可.

1 200名學生參加此次活動，兩次活動平均成績不低于90分的學生人數約為1 200×920＝540（人）.

3 學情分析

本題為八年級下學期期末復習練習第20題，來源于2022年北京市二模，滿分6分.全班35人滿分，4人得5分，2人得4分，2人得3分，班級滿分率約為81.45%，得分率約為94.6%.未得到滿分的8人中，有6人第（2）問答錯，4人第（3）問答錯.

單從得分率來看，此題不需要安排集體講評，但由于題目條件的呈現形式較為新穎，且本題除最后一問以外，都是填空題或選擇題，無法看到學生的解題方法，且從統計圖中獲取平均成績的方法是難點，答案并不清晰且有缺陷，因而需要安排講評.

4 教學片段

習題講評的目標不能局限于獲得特定的知識和技能，教師應該通過精心的設計，引導學生將單個知識技能的學習上升到思維習慣的自覺培養，思維品質的自覺提升層面.這樣的課堂設計通常以有引導性的“問題串”來實現，用問題的層層遞進，推動問題的深入解決，包括針對實際情況不斷追問，促進學生重復“發現—反思—總結”的過程，讓問題串的設計和應用對已獲得的結果做出推廣和拓展，從而促進認識的不斷發展與深化.［1］

問題串1.

師：第 20題第（1）問我們班的正確率是100%，看來大家都能從圖中找到甲、乙兩人的兩次活動成績.請問兩次的活動成績是從哪里獲取的？

生：圖里標注了橫軸意義是學生的第一次成績，縱軸是第二次成績.

師：那怎么看到每人的成績呢？

生：圖里的一個點就代表一位學生，就像平面直角坐標系里的點，點的橫坐標表示他第一次成績，縱坐標表示他第二次成績.

反思分析1.

此題第（1）問里的兩小問都是填空題，沒有解答過程的展示.同樣做對的學生對這個問題的認知理解是不一樣的，那么解題之后反思和總結，再把自己的方法用語言表述出來，可以讓學生明確這個問題對應的知識點，引導他們形成“回頭看”的習慣，不僅要會做，還要知道原理.

這個學生的回答已經用數學語言來描述了這個問題的解決過程，讓大家看到第（1）問的本質就是坐標問題，實現了代數與統計內容的遷徙、類比，從問題中抽象出了“坐標系模型”.對第（1）問的理解會對第（2）問的解決起到引導作用.

問題串2.

師：第（2）問中提出了確定兩次活動的平均成績，那么從哪里可以得到平均成績呢？

生：每個學生活動的平均成績就是兩次成績之和除以2，則由第（1）問可得平均成績=（點的橫坐標＋縱坐標）÷2.

師：那你算出這20個學生的平均成績了嗎？

生：圖中很多點的橫縱坐標沒有給出準確值，所以不能算出所有學生的平均成績.

師：我看你第（2）問是正確的，沒有平均成績，你是怎么做出來的呢？

生：我是采取了估算，然后排除錯誤答案的方法.我先看到圖中有四個點的橫、縱坐標都沒有超過75（如圖2），那么估算他們的平均成績一定也不會超過75，所以第一組的頻數不可能是3，所以排除A；然后再看95≤x≤100這組，也找到這樣四個點，橫、縱坐標都在這個范圍，所以最后一組的頻數應該是4，因而答案是B.

師：為什么直接判斷這兩組，不按照順序依次判斷？

生：因為我沒法確定每個平均成績的值，但是可以根據一些位置較為明顯的點的橫、縱坐標的取值范圍判斷平均成績的范圍，就是不等式的原理，70≤x＜75，70≤y＜75，則70≤x＋y2＜75，這兩組正好有這樣的點.

師：很好，你們解題中進行了方法優選，很快就能得到答案了.但是第一組的頻數你們說不會是3，那么為什么是6呢？剛才不是只找到4個坐標滿足“70≤x＜75，70≤y＜75，則70≤x＋y2＜75”的點嗎？另外兩個點在哪里？

教師組織學生課堂討論，歸納發現“70≤x＜75，70≤y＜75，則70≤x＋y2＜75”的逆命題是假命題，平均成績滿足第一組的還有可能有兩個（如圖3）.

反思分析2.

學生給出的方法“性價比”很高，雖然無法準確計算每個平均成績，但我們也可以通過合情推理得到第一組和最后一組的正確頻數，從而進行答案選擇，可以快速解決問題.

其中用不等式表示的原理，非常清晰地解釋了判斷原則，體現了靈活使用數學方法解決問題的能力.但是如果分析到此為止，那就是答案的講解，讓學生習慣于“只知道做，不知道想”的解題模式.教學應該促進學生更為積極地去進行思考，并能逐步學會想得更清晰、更全面、更深、更合理.［2］

問題串3.

師：解決剛才這個問題時，我們使用代數式x＋y2來表示平均成績，用不等式組n≤x＋y2＜m來表示每一組的范圍，這其實是用數的方式來詮釋了題中的文字條件，請問你還能用其他方法表示這些條件嗎？

生：可以用形，平均成績=x＋y2就是x，y之間的關系，也就是一次函數關系，是一條直線，那么每一組的邊界就可以用這些直線表示.畫出這些直線，就能得到每一組的形的范圍，那就可以直接看出含在范圍中的點的頻數.

師：到底是哪些直線？

生：y=140-2x，y=150-2x，y=160-2x，…，y=190-2x，y=200-2x，

就是直線y=-2x＋2m（m=分點值），應該是一組平行線.

師：很好，大家試著畫出這些直線，看看是否能更加直觀地得到答案.

教師組織學生畫圖觀察.

生：老師，我畫出的直線是這樣的（如圖4），這樣可以直觀看出夾在兩條直線之間的點的數量了.

師：確實很直觀，大家再看看這幅圖，是不是可以呼應前面的分析，驗證答案B正確？

反思分析3.

通過這組問題串，引導學生從數的角度進入到形的方法，直觀地體現分組情況，既是一題多解，更是培養多角度觀察、分析、描述問題的能力，鞏固數形結合的基本方法.

同時，驗證答案的需求，可以吸引學生再次反思、對比不同方法，引導他們發現問題，即所作直線與坐標軸交點位置與計算值不一致.

問題串4.

生：雖然我畫的直線與坐標軸交點坐標不對，但相對于點來說位置沒錯，所以不影響判斷點的分組.

師：怎么保證相對位置正確？

生：經過特殊點（70，70），（75，75），…，（90，90），（100，100）且與坐標軸夾銳角為45°就可以，因為直線斜率k的值為-1，所以這些特殊點位置是對的.

師：很好，那這些直線坐標軸交點計算與作圖矛盾產生的原因是什么？

學生討論后發現，本題圖的坐標軸單位長度設置不一致導致了矛盾.學生展示調整后的作圖，驗證確實不影響分組頻數.

生：老師，根據這個圖，我發現答案B也不對.第二組、第三組、第四組的頻數應該是1、1、3（如圖5）.

師：確實，看來B只能算是有部分正確，作為選擇題來說的唯一選擇，但不是正確答案.

反思分析4.

問題串4是得到答案之后的追問，是在真實問題情境中產生的真實問題.其實，這個問題不是設計出來的，而是由情境生成，引導學生發現的.這樣的過程，將“情境設計”和“問題提出”連接起來，促進了學生主動參與教學活動，提升學生的“發現問題”意識［3］，同時培養學生的“質疑”能力.

5 結語

核心素養的提升，應該由教學的實施者、參與者共同實現.在常態習題講評中，教師設計的問題串能夠創設讓所有學生參與思考，主動反思的氛圍，引導學生發現問題，理解問題的來由，針對問題調動學生從不同角度觀察、嘗試不同方案，發現問題本質，不局限于問題的預設和單純的問題解答，通過合作、討論解決問題串，不斷深化對問題的認知.

如此的習題講評，以問題為中心點，不忽視相關問題的發生，將發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）培養形成閉環［4］，互為引導、互為掣肘，從而真正實現習題講評的素養目標.

參考文獻

［1］鄭毓信.從“問題解決”到“問題引領的數學教學”——國際視野下的中國數學教育（1）［J］.中學數學月刊，2024（1）：1-4+9.

［2］鄭毓信.數學教育視角下的“核心素養”［J］.數學教育學報，2016（3）：1-5.

［3］鄭毓信.從“情境學習理論”到“數學教學中的情境設置”——國際視野下的中國數學教育（2）［J］.中學數學月刊，2024（2）：1-6.

［4］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.