基于角的概念分析角的表達方式的教學設計探索

摘 要：角的概念及其表達方式是構建學生空間認知與邏輯分析能力的基礎，針對初中生直觀感知強于數學邏輯的特點，教學設計應實現從直觀感知向數學思維的轉化，以角為核心，深入探討其表達方式.具體來說，首先，通過分類初步建立角的概念；其次，鼓勵學生動手實踐，直觀感知角的特征；最后，深入分析并掌握角的數學表達方式.

關鍵詞：角的概念；角的表達方式；教學設計

在幾何教學體系中，培養學生的數學思維與圖形辨識能力對于后續知識體系的建構具有至關重要的基礎性作用.鑒于角的區分與精準描述不僅是幾何學習的基礎，也是深化空間理解與邏輯分析能力的關鍵環節，因此，幫助學生有效掌握角的識別與表達策略顯得尤為重要.對于初中生群體來說，由于其在圖形認知上往往傾向于依賴直觀經驗而非嚴謹的數學邏輯，教學過程需特別注重引導學生實現從直觀感知向數學思維的轉變.因此，本教學設計以角的概念為核心，圍繞角的表達方式展開深入探討，以期從根本上提升學生的幾何認知與理解能力，為他們后續的數學學習奠定堅實的基礎.

1 角的認識

角，作為構成幾何形狀的核心元素之一，其概念貫穿于整個數學教育體系，深刻影響著學生對空間形態的理解與構建.［1］在人教版數學教材中，為了促進學生對角概念的深入理解，其設計遵循了循序漸進、逐層深入的原則，劃分為兩個關鍵階段.第一階段，針對二年級學生，在上冊教材中設置了“角的初步認識”章節.通過生活實例引導學生直觀感受角的存在，培養他們識別日常生活中角形物體的能力.同時，教師鼓勵學生運用簡潔明了的語言，如“頂點”與“兩邊”的表述，來描述角的基本構成要素，從而初步構建起對角的認知框架，并激發學生對角的學習興趣.第二階段，隨著學生認知水平的提升及數學基礎的夯實，七年級下冊教材推出了“角的知識與技能”章節，以進一步深化角的學習內容.此階段不僅要求學生掌握角的準確繪制技巧及度量方法，還系統地引入了角的分類體系（銳角、直角、鈍角等），探討角的內在性質（角的和、差、平分等性質），并深入剖析角與三角形、多邊形等幾何形態之間的內在聯系.通過這一系列系統且嚴謹的學習過程，學生不僅能夠全面且深刻地理解角的概念，還能靈活運用所學知識解決復雜的幾何問題，為后續的數學學習奠定堅實而穩固的基礎.

2 基于角的概念分析角的表達方式的教學設計

2.1 探究角的概念

師：回顧小學階段，同學們已經對角有了初步的感知.現在，請大家拿出練習本，動手嘗試畫一個角，并細致觀察你所繪制的圖形.在這個過程中，請思考并嘗試用自己的話給“角”下一個定義.

師生活動：學生動手繪制，隨后積極分享自己的理解.有的學生說：“角是由兩條線組成的，它們有一個共同的點.”教師在此基礎上進行引導，補充并規范定義，即由兩條具有公共端點的射線構成的圖案被稱為角.這個公共端點叫作角的頂點，這兩條射線則被稱為角的邊.角不僅是三角形中最基本的元素，而且在幾何證明和解題中起著關鍵的作用，它被廣泛應用于線段相等的證明、兩直線平行的判定等多個方面.教師特別強調“公共端點”的重要性，并引導學生觀察兩條射線之間的相對位置關系，進一步鞏固角的概念.同時，教師還通過平面三角形的實例，展示角在復雜圖形中的應用，激發學生的探索欲和求知欲.

【設計意圖】通過師生共同繪制角度的實踐活動，讓學生直觀感受角的形態，初步認識到角在幾何學中的基礎性和重要性，進而引發對角定義的思考與討論.［2］同時，通過強調“公共端點”和射線之間的相對位置，培養學生的觀察力和分析能力.此外，利用與圖形結合的實例幫助學生將抽象的幾何知識具象化，逐步改變其直觀判斷幾何圖形的固有習慣，提升學生的幾何直觀能力.

2.2 角的表示及運用

師：如何描述角？角在幾何學中有哪些表示方法？

當在一個角的內部，如∠ABC內部（如圖1）引入一條新射線時，如何系統地繪制并標注所有新形成的角？

師生活動：學生根據學習單上的任務指引，自主閱讀課本中的相關內容，理解角的基本表示方法.隨后，教師邀請幾位學生上臺，在黑板上標注出圖中所有角的表示方法.此環節鼓勵學生相互觀摩，促進學習交流.教師歸納總結角的表示方法，主要包括以下三種.

（1）用“∠”加上三個大寫字母表示，其中代表頂點的字母位于中間位置，如∠ABC.這種方法清晰地指出了角的頂點和兩邊所在的直線.

（2）使用“∠”加上一個位于頂點的大寫字母表示，強調該方法僅適用于頂點處僅有一個角的情況，如∠A.通過討論“∠BAC能否簡化為∠A”的問題，加深學生對這一點的理解.

（3）采用“∠”加上一條弧線連接角的兩邊，并在弧線上標注一個數字或小寫希臘字母表示，這種方法尤其適用于圖中存在多個角且需要區分的情況，如∠1、∠α等，它強調了角的唯一性和可識別性.

【設計意圖】本環節采用實踐操作與理論講解相結合的方式來加深學生對角表示方法的理解與掌握.通過引導學生自主閱讀、思考、交流、實踐、整理和總結，旨在培養其良好的閱讀學習習慣和思維能力.設置在復雜圖形中找角并準確表示角的相關題目，評估學生對角概念的理解程度，鍛煉他們的圖象識別能力和分類思考的能力，避免部分學生在尋找角時出現缺乏組織結構的情況，鼓勵學生回到角的本質特征上，進行有條理、有方向的思考，為后續的幾何學習打下堅實的基礎.

2.3 角的分類與度量

師：若將“圓規”的兩側視為射線，那么如何準確判斷其形成的角是銳角、直角、鈍角、平角還是周角？這些角在幾何學中又有哪些具體應用？

師生活動：學生首先分享了自己對角的初步認識，教師隨即引導學生用“圓規”模擬射線的旋轉，通過實際操作感受角的形成過程，嘗試從動態視角重新定義角.得到一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫作角.隨后，教師利用幾何畫板動態展示不同角度的旋轉過程，幫助學生直觀理解銳角、直角、鈍角、平角及周角的區別與聯系.

【設計意圖】通過“圓規”模擬和幾何畫板的直觀展示，激發學生對角概念的深入思考，幫助學生擺脫靜態、片面的理解，建立起對角度形成過程的動態認知.

師：回顧學習單上繪制的角，你能確定它的尺寸嗎？有哪些方法可以驗證測量結果？請同學們利用手頭的工具（量角器）進行操作，并回顧量角器的使用方法.對于特定角度（30°、45°、60°、90°），是否還有其他快速測量的方法？

師生活動：在學生嘗試使用量角器測量角的尺寸時，教師適時提醒量角器的正確使用方法，并通過PPT動畫展示量角器的操作步驟，幫助學生鞏固記憶.對于特定角度，教師引導學生回憶三角尺上的標準角度，并鼓勵他們使用三角尺進行快速驗證.同時，教師強調在測量過程中保持工具的準確性以及讀數的精確性.

【設計意圖】通過實際操作與PPT動畫的輔助，加深學生對角尺寸測量方法的掌握.引入三角尺快速測量特定角度的方法，不僅拓寬了學生的解題思路，也培養了他們的靈活應變能力.

3 結語

在初中幾何教學中，培養學生的數學思維與圖形判斷能力對后續學習至關重要.本文聚焦于幫助學生掌握區分與描述角的方法，針對初中生特點，提出通過分類建立角的概念，動手實踐感知角的特征，以及深入分析角的數學表達方式的教學策略，旨在引導學生從直觀感知轉向數學思維，提升幾何認知與理解能力，促進其用數學語言精準表達與認識世界的能力.

參考文獻

［1］鞏子坤，許佳敏，張芳銘，等.凸顯角本質的學習路徑研究：初識角的概念［J］.中小學課堂教學研究，2024（3）：6-9+36.

［2］李建國，趙亞洲.突出概念獲得過程錘煉學生數學眼光——以“同位角、內錯角、同旁內角”教學為例［J］.數學通訊，2023（21）：14-17.