關于解三角形中的幾類典型問題剖析

摘 要：解三角形問題是高考中的必考題，在單選題、多選題、填空題和解答題中都可以出現.由于此內容包含了高中階段的所有三角知識，其綜合性和應用性非常突出，所以大量的綜合問題噴涌而出，呈現出精彩紛呈、形式各異的格局.

關鍵詞：解三角形；高考；問題剖析

解三角形問題涉及知識點眾多，既可以考查學生基礎知識的掌握情況 ，又可以培養學生的思維能力，是高考數學出題人的偏愛.本文通過舉例分析研判，講述幾個重點題型及其解題要點，以期給一線教師帶來些許幫助.

1 用正弦定理、余弦定理解決三角形問題

正弦定理主要用于解決三角形中，已知“兩角帶一邊”和已知“兩邊和其中所對的角”，求其他元素問題.余弦定理主要用于解決三角形中，已知“兩角夾一邊”和已知“三邊”求其他元素問題.在綜合題中，經常使用正弦定理或余弦定理解決三角形中邊的關系與角的三角函數關系之間的轉換問題.

例1 在①ac＝3，②csin A＝3，③c＝3b這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC，它的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin A＝3sin B，C＝π6，"" ？

解析：選條件①.由C＝π6和余弦定理得a2+b2-c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2+b2-c223b2＝32，由此可得b＝c.由ac＝3，解得a＝3，b＝c＝1.因此，選條件①時，問題中的三角形存在，此時c＝1.

選條件②.由C＝π6和余弦定理得a2+b2-c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2+b2-c223b2＝32，由此可得b＝c，則B＝C＝π6，A＝2π3.由csin A＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，選條件②時問題中的三角形存在，此時c＝23.

選條件③. 由C＝π6和余弦定理得a2+b2-c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2+b2-c223b2＝32，由此可得b＝c.由c＝3b，與b＝c矛盾.因此，選條件③時問題中的三角形不存在.

點評：本題是解三角形問題的綜合題的最新模式，雖然難度不大，但涉及了解三角形問題的主要知識點，對此類問題，學生必須熟練掌握，爭取做到不失一分.由于問題中有多個選項，具體求解問題時，學生只需要抓住一個熟悉的并且有把握的選項進行求解.

例2 在△ABC，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若已知a2-（b-c）2＝（2-3）bc，且sin B＝1+cos C，邊BC上的中線AM的長為7.

（1）求角A和角B的大小.

（2）求△ABC的面積.

解析：（1）由a2-（b-c）2＝（2-3）bc，得a2-b2-c2＝-3bc，所以cos A＝b2+c2-a22bc＝32.又0lt;Alt;π，所以A＝π6.又sin B＝1+cos C，0lt;sin Blt;1，于是cos Clt;0，即C為鈍角，所以B為銳角，且B+C＝5π6，則sin5π6-C＝1+cos C，化簡得cosC+π3＝-1，解得C＝2π3，所以B＝π6.

（2）由（1）知，a＝b，sin C＝32，cos C＝-12，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2

+a22-2b·a2cos C＝b2+b24+b22＝（7）2，解得b＝2，故S△ABC＝12absin C＝3.

點評：本題中的求角C和邊長b都是通過解方程來解決的，但如何抓住已知條件中的等量關系建立只含有一個變量的方程是解題關鍵.

2 三角形面積公式的綜合應用

由初中的三角形面積公式，結合三角函數知識我們容易得到新的三角形面積公式，即S△ABC＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A，此組公式用途非常廣泛，它能把解三角形問題推向又一個高度.

例1 在△ABC中，a+b＝11，若cos A＝18，cos B＝916.

（1）a的值.

（2）求sin C和△ABC的面積.

解析：（1）由于cos A＝18，則A∈0，π2，可得sin A＝378.又cos B＝916，則B∈0，π2，可得sin B＝5716.由正弦定理可得asin A＝bsin B.又b＝11-a，則a＝6.

（2）由（1）可知，邊a＝6.又a+b＝11，則b＝5.下面只要求出sin C就行了，sin C＝sin［π-（A+B）］＝sin（A+B）＝sin Acos B+cos Asin B＝74，所以S△ABC＝12absin C＝1574.

點評：本題中的求三角形面積，是建立在求三角形中其他對應元素的基礎上解決的，所以解三角形仍然是一個重要解題過程，由于面積公式有三個，如何恰當選擇也是很重要的.

例2 已知外接圓半徑為6的△ABC的邊a，b，c，角B，C和面積S滿足條件S＝a2-（b-c）2和sin B+sin C＝43，求△ABC面積的最大值.

解析：由于S＝12bcsin A＝a2-（b-c）2＝2bc-（b2+c2-a2）＝2bc-2bccos A，

即有14＝1-cos Asin A＝tanA2，從而有sin A＝817.又sin B+sin C＝43，由正弦定理得b2R+c2R＝43.又R＝6，所以b+c＝43×2R＝16，所以S＝12bcsin A＝417·bc≤417b+c22＝25617，當且僅當b＝c=8時，等號成立，所以△ABC面積的最大值為25617.

點評：本題中給出了兩個條件，由其中一個求出了sin A的值，那么在求三角形的面積時必須抓住此條件建立面積的關系式，再由另一個條件得到b+c＝16，它是運用基本不等式解決三角形面積的最大值的關鍵條件.

3 三角形的內角和定理的運用

由三角形的內角和定理可以得到，在△ABC中， A＝π-（B+C）；A2＝π2-B+C2等結論.如果A，B是銳角三角形的兩個銳角，則A+Blt;π2，如果A，B是鈍角三角形的兩個銳角，則A+Bgt;π2.

例1 在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知2bsin A-3a＝0.

（1）求角B的大小.

（2）求cos A+cos B+cos C的取值范圍.

解析：（1）由正弦定理得2sin "Bsin A＝3sin A.又△ABC是銳角三角形，則sin Agt;0，故sin B＝32，所以B＝π3.

（2）由于A+B+C＝π，得C＝2π3-A.又△ABC是銳角三角形，則A∈π6，π2.由于cos C＝cos2π3-A＝-12cos A+32sin A，所以cos A+cos B+cos C＝32sin A+

12cos A+12＝sinA+π6+12，由于A∈π6，π2，則A+π6∈π3，2π3，則sinA+π6∈32，1，故cos A+cos B+cos C的取值范圍是12+32，32.

點評：在解答本題的過程中，抓住三角形的內角和定理及銳角三角形的條件，對三角形中的某個角進行必要的縮角處理，從而得出了該角的最小范圍.

例2 若三角形ABC的三個內角A，B，C滿足cosA-C2＝2sin B2，求角B的最大值.

解析：由cosA-C2＝2sin B2，得cosA-C2＝2sin π-（A+C）2＝2cosA+C2，即cosA2cosC2+sinA2sinC2＝2cosA2cosC2-sinA2sinC2，化簡可得tanA2tanC2＝13，于是tanB2＝1tanA+C2＝1-tanA2tanC2tanA2+tanC2≤1-tanA2tanC22tanA2tanC2＝33，由于y＝tan x在0，π2上是增函數，所以0lt;B2≤π6，即0lt;B≤π3，故角B的最大值為π3.

點評：由于題設中給出的是三角形中關于三角形內角的半角函數關系，通過找出了一個關于三角形內角正切函數的關系，然后利用已知條件和所得的結論，結合三角形內角和的關系最終順利地解決角的最值問題.

4 三角形三邊不等關系的運用

在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，由此可以得到，在△ABC中，Agt;B等件于agt;b等件于sin Agt;sin B的結論.

例1 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若不等式kb2+acgt;19bc對任意三角形都成立，求實數k的最小值.

解析：在△ABC中，由于不等式kb2+acgt;19bc對任意三角形都成立，即kgt;19bc-acb2＝cb·19-ab恒成立.又在三角形中，clt;a+b，則cblt;1+ab，所以19bc-acb2lt;1+ab19-ab，當19-abgt;0時，1+ab19-ab≤1+ab+19-ab22＝100，當且僅當1+ab＝19-ab，即ab＝9時，有k≥100，所以實數k的最小值為100.

點評：如果題目中含有不等式條件，必須注意三角形邊的不等關系的運用，在本解法中，通過利用三角形中三邊之間的不等關系構造了一個新的不等關系，成功地達到了消元轉化的目的，為最后利用基本不等式求最值創造了有利條件.

例2 已知A，B，C是平面上任意三點，其中BC＝a，AC＝b，AB＝c，試求y＝ca+b+bc的最小值.

解析：依題意三點A，B，C要么構成一個三角形，要么是一個線段，故必有b+c≥agt;0，于是2·（b+c）≥a+b+c，所以y＝ca+b+bc＝ca+b+b+cc-1＝ca+b+2（b+c）2c-1

≥ca+b+a+b+c2c-1＝ca+b+a+b2c-12≥2-12，當且僅當a+b＝2c時，等號成立，即y的最小值為2-12.

點評：通過對題設中的“平面上任意三點”進行挖掘，得到一個重要的不等關系，這是轉化函數的重要依據，由此，可以將所給的不等式進行適當變形轉化，就可以為運用基本不等式求最值創造了必要條件.

5 與三角函數等知識的交匯

由于解三角形的知識具有豐富的應用性，與許多數學知識都有交集，因而與其交匯類型的題目也很多，其中與三角函數、平面向量等交匯的題目較為多見.

例1 已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，其面積S＝b2+c2-a24.

（1）若a＝6，b＝2，求cos B.

（2）求sin（A+B）+sin Bcos B+cos（B-A）的最大值.

解析：（1）利用面積公式和正弦定理、余弦定理容易求得A＝π4， cos B＝306.

（2）由第（1）問可知，A＝π4，sin（A+B）+sin Bcos B+cos（B-A）＝sinB+π4+

sin B·cos B+cosB-π4＝2（sin B+cos B）+sin Bcos B，若令t＝sin B+cos B，

則t2＝1+2sin "Bcos B，所以sin（A+B）+sin Bcos B+cos（B-A）＝2t+12（t2-1）

＝12（t+2）2-32，t∈（0，2］，故當t＝2，即B＝π4時，sin（A+B）+sin Bcos B+cos（B-A）取得最大值52.

點評：本題的核心是一個關于三角函數公式的綜合問題，其中解三角形的內容是作為背景條件呈現的，這也是一種常見的考查模式.

例2 在銳角三角形ABC中，若2sin 2A+sin2B＝2sin 2C，試求1tan A+1tan B+1tan C的最小值.

分析：若三角形ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，根據正弦定理及條件2sin 2A+sin2B＝2sin 2C，可得2a2+b2＝2c2，即2（a2+b2-c2）＝3b2.又由余弦定理得4bccos A＝3b2，即4ccos A＝3b，再根據正弦定理得4sin "Ccos A＝3·sin "B＝3sin（A+C），化簡可得tan C=3tan A.又在銳角三角形ABC中，容易證明

tan A+tan B+tan C＝tan Atan Btan C，所以1tan B＝34tan A-14tan A，于是1tan A+1tan B+1tan C＝1312tan A+3tan A4≥132，于是其最小值為132.

點評：在本解法中，利用正切公式的特點，通過將條件式沿著同一個方向轉化，從而挖出了一個正切關系的重要結論，這是后面成功解題的關鍵，解題中的消元、化簡、邊角轉化是非常重要的解題意識.

6 結語

本文介紹了關于解三角形問題的五類主要題型的特點分析和破題關鍵，其中正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的運用是解題過程中的核心環節，在分析問題時必須抓住問題特點，挖掘隱含條件，注重尋找等量與不等關系進行推演變形，建立進一步推理的重要關系，為溝通其他條件創造關鍵聯系條件.在做與其他知識點的交匯題時應特別注意三角形限制條件的運用，否則容易出錯，應該建立必要的預防對策.