最值問題在初中幾何教學中的應用研究

摘 要：在初中幾何最值問題的教學中，教學目標的設定顯得尤為關鍵，它對學生的高效學習以及教師的教學執行和評估都有著直接的影響.我國關于數學幾何最值的研究主要集中于概念層面上的探索和應用方面.本文主要研究在布魯姆教育目標分類理論的框架下，如何設計數學幾何最值問題的教學目標.

關鍵詞：教育目標分類理論；幾何最值問題教學；教學目標；教學建議

在中學的數學教學體系中，平面幾何具有不可忽視的重要性.隨著社會發展與科技進步，平面幾何教學也逐漸由傳統的理論型向應用型轉變，其教學內容已不僅僅是課本中的定理公式或圖形變換.通過將平面幾何作為教學內容，學生有機會掌握科學和技術所必需的基礎幾何概念，以及能夠解決他們常見的日常生活中遇到的難題，并由此提升邏輯思維、空間想象、實際應用和創新等多方面的能力.隨著新課程改革的不斷推進，人們越來越重視對中學生數學知識體系建構的研究，特別是對于初中階段平面幾何課程的設置與實施給予更多關注.

1 幾何最值問題教學目標

在分析幾何最值問題教學目標的知識維度時，筆者發現教師在制定教學目標時，特別強調了幾何最值問題的解決方法和技巧.這些知識維度包括路徑與最值、瓜豆原理、將軍飲馬問題、胡不歸問題、阿氏圓問題和造橋選址問題.同時，筆者注意到學生數學思維發展過程中存在著一定程度的缺陷，抽象思維能力較弱.在這些知識中，與解題技巧有關的“程序性知識”數量最多，緊隨其后的是“概念性知識”.另外，也有一些學生關注到了“概念理解、數學應用能力”等方面的內容.但是，“事實性知識”與“反省認知知識”的教育目標相對較少.此外，學生在理解這些概念上存在較大困難.需要強調的是，“反省認知知識”在制定教學目標時并沒有受到足夠的重視.

在教學目標內容分析中，教師對幾何最值問題的特殊知識和一般知識的關注不夠均衡，一般化的知識占據了較大比例.

教學目標的綜合維度包含了知識維度和認知過程維度，通過將教學目標置于布魯姆教育目標分類的兩維分類表中進行分析，發現教學目標主要集中在“理解概念性知識”和“運用程序性知識”兩個方面.［1］然而，“評價”維度的知識類別數量較少，顯示出對學生評價能力關注的不足.

初中教師在設計幾何最值問題的教學目標時，存在著對特定知識和認知過程的過度關注，對評價能力等其他方面的關注不足的問題.這些發現有助于指導教師更加科學地設計幾何最值問題的教學目標，促進學生全面發展.

2 中考路徑最值問題的解法探究

筆者選取部分典型路徑最值問題進行研究.研究以試題呈現、解析、評述三個步驟開展.

2.1 圓弧形路徑最值問題

2.1.1 挖掘條件，構建輔助圓

例1 如圖，點 O 為線段 BC 的中點，點 A、C、D 到點 O 的距離相等，若∠ABC=40°，則∠ADC 的度數是""" .

圖

解析：如圖1所示，連接OA、OD，由題可得OA=OB=OC=OD，則點A、B、C、D 在以 O 為圓心，以 OA 為半徑的圓上，故∠ADC=180°-∠ABC=140°.

例2 如圖，已知AB=AC=AD，∠CBD=2·∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD 的度數為""" .

圖

解析：如圖2所示，以點 A 為圓心，AB 為半徑作圓，由 AB=AC=AD，可得點 C、D 都在⊙A 上，則∠CAD=2∠CBD=4∠BDC=2∠BAC=88°.

評述：上述兩個例題都有一個顯著的特點，那就是都存在三條具有公共端點的等高線.由此可以想到“所有圓的半徑都是相同的”這樣的思路來構建輔助圓，這有助于導角.這種結構被形象地描述為“相等三線圖”，意味著“看到相等的三線圖后，就去構想輔助圓”.

2.1.2 構建輔助圓，破解問題

例1 如圖，已知正方形ABCD的邊長是4，點E是邊AB上一動點，連接CE，過點B作BG⊥CE于點G，點P是邊AB上另一動點，則PD＋PG的最小值為""" .

圖

解析：如圖3所示，設邊BC的中點為M，由題知∠BGC=90°，故點G 在以 BC 為直徑的⊙M 上運動.作點 D 關于 AB 的對稱點 D′，連接 D′P 、D′M、GM，則 PD＋PG＋GM=PD′＋PG＋GM≥D′M，即 PD＋PG ≥ D′M-GM ，再作 MN ⊥ AD 于點 N，易得 D′M=213，GM=2，故 PD＋PG ≥213-2，即 PD＋PG 的最小值為213-2.

例2 如圖，△ABC 內接于⊙O，BC=12，∠A=60°，點 D 為弧 BC 上一動點，BE⊥直線OD 于點E，當點D 從點B 沿弧BC 運動到點C 時，點E 經過的路徑長為""" .

圖

解析：如圖4所示，連接 OB，設OB的中點為M，由題知∠OEB=90°，故點E 在以 OB 為直徑的⊙M 上運動，易知點 E 的起始位置 E1與點 B 重合，連接 CO 并延長，其與⊙M 的另一個交點 E2即為點 E 的終止位置，故點 E 經過的路徑為優弧 E1OE2，進一步可求其弧長為240π·23180=83π3，即點E 經過的路徑長為83π3.

例3 如圖，正方形 ABCD 的邊長為2，E 為射線 CD 上一動點（不與點 C 重合），以 CE 為邊在正方形 ABCD 外部作正方形 CEFG，連接 BE、DG，直線 BE、DG 相交于點 P，連接 AP.當線段 AP 的長為整數時，AP 的長為""" .

圖

解析：如圖5所示，連接AC、BD，兩者交于點M，以點M為圓心，MA長為半徑作圓，則△BCE≌△DCG，進一步可證∠BPD=90°，故點P在以BD為直徑的⊙M上運動，從而點P可看作直線BE與⊙M的交點，由此可判斷點P的運動路徑實際上是一段半圓弧ADC（不含端點A 與 C），則0lt;APlt;22，故其整數值為1或2.

評析：在上述三個問題中，一個共同點是識別或構建“定邊對直角”的結構，這樣才能讓學生正確判斷目標動點在圓（弧）方向上的移動.解決例1的困難在于，如何通過對稱變換，把兩個線段和的最小值通過對稱的方法轉換成三個線段和的最小值，從而使用“兩點之間線段最短”的原則來找出最值.［2］例2也存在一個難點，即通過找到點 E 的終止位置來確定圓心角的角度，進一步計算出路徑的長度.例3的難點在于找到目標點 P 的臨界值，將其視為兩個圖象（直線 BE 和⊙M）的交點，這個找交點的方法可以被稱為“交軌法”.

例4 如圖，AB 為⊙O 的直徑，且 AB=4，點 C 在半圓上，OC ⊥AB，垂足為點O.P為半圓上任意一點，過點 P 作 PE⊥OC 于點E，設△OPE 的內心為M，連接 OM、PM.

（1）求∠OMP 的度數.

（2）當點 P 在半圓上從點 B 運動到點 C 時，求內心 M 所經過的路徑長.

圖

解析：（1）易證∠OMP=90°＋12∠OEP=135°.

（2）如圖6所示，連接 CM，易證△OPM≌△OCM，則∠OMC=∠OMP=135°，且 OC=2，故點 M 在以OC 為弦的圓上運動.作△OMC 的外接圓，圓心為F，連接 OF、CF，易知當點 P 在半圓上從點 B 運動到點 C 時，點 M 經過的路徑長即為弧 OC 的長，又易得∠ F=90°，OF=2，則內心 M 所經過的路徑長為90π·2180=2π2.

評析：這個問題的難點在于利用全等判斷∠OMC=135°來識別“定邊對定角”的結構.需要特別指出的是，這里的“定邊”指的是大小和位置都已確定的邊，不只是大小已確定的邊.

2.2 直線型路徑問題

例題 如圖，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=3.若動點 P 滿足 S△PAB=13S矩形 ABCD，則點 P 到 A、B 兩點距離之和 PA＋PB 的最小值為""" .

圖

解析：由 S△PAB=13S矩形 ABCD，可得點 P 到直線 AB 的距離為2，故點 P 的運動路徑是一條與 AB 平行的直線，即圖7中的直線 l，作點 A 關于直線 l 的對稱點 A′，連接 A′B，交直線 l 于點 P′，則點 P′即為要找的點 P，此時 PA＋PB 取得最小值為 A′B=41.

評析：本題利用面積關系得到點P 到 AB 的距離為定值，從而判斷點P 在一條直線上運動，即為“平行定距法”.

2.3 來回型路徑問題

例題 如圖，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20.點 P 在線段 CB 上，以1 cm/s 的速度從點 C 向點 B 運動，連接 AP，作 CE⊥AB 分別交 AP、AB 于點 F、E，再過點 P 作PD⊥AP 交 AB 于點 D，設運動時間為t秒.

（1）線段 CE=""" .

（2）當 t=5時，求證：△BPD≌△CAF.

（3）當 t 為何值時，△PDB 是等腰三角形.

（4）在整個運動過程中，求點D經過的路徑長.

圖

解析：（1）易得 CE=45AC=12.

（2）由題易得∠BPD=∠CAF 且∠B=∠ACF，故無論 t 為何值，總有△BPD∽△CAF.當 t=5時，CP=5，BP=15，即 BP=CA，故有△BPD≌△CAF.

（3）易知∠BDPgt;90°，即△PDB 為鈍角三角形，要使△PDB 為等腰三角形，只可能∠B=∠BPD.由（2）知∠BPD=∠CAP，故tan∠CAP=tan∠B=34，即CPAC=34，所以 CP=34AC=454，即當 t=454時，△PDB 為等腰三角形.

（4）隨著點 P 由起點 C 運動到終點 B，點 D 由起點 B 沿著 BA 的方向運動至最遠處，然后又回到起點 B 即點 D 的路徑屬于來回型直線路徑，其路徑長等于 BD 最大值的兩倍.

如圖8所示，取 AD 的中點 M，連接 PM，作 MG⊥BC 于點 G，設 PM=AM=DM=y，則 BM=25-y，從而有MG=35BM=35（25-y）.由 PM≥MG，可得 y≥35（25-y），解得 y≥758，故 AD=2y≥754.因此，有BD=25-AD≤258，即BD 的最大值為254，當且僅當MP⊥BC 時取得最大值.因此，在整個運動過程中，點 D 經過的路徑長為254×2=252.

變式 如圖，在Rt△ABC 中，∠A=30°，斜邊 AB=23，動點P 在邊AB上，動點Q在邊AC上，且CP⊥PQ，求線段 CQ 長度的最小值.

圖

解析：如圖9所示，取 CQ 的中點 M，連接 PM，作 MG⊥AB 于點 G，則 PM≥MG，設PM=CM=QM=t，則 AM=AC-CM=3-t，MG=12AM=3-t2，故 t ≥3-t2，解得 t ≥1，從而 CQ=2t≥2，當且僅當 PM⊥AB 時，CQ 取最小值為2.

評述：以上兩個問題都是先構建可變直角三角形斜邊上的中心線，創建一個符合“SSA”，即“邊邊角”特性的三角形.然后，根據“斜邊高于直角邊”或者“斜邊大于直角邊”的原則進行求解最值.學習的核心在于深度反思，這種方法需要從結構性的角度提煉核心內容，并結合已掌握的知識或技巧.只有逐漸累積經驗，才能增強解題技巧，教師在教學過程中應注重應用過去的知識與方法.

3 結語

幾何最值問題的教學目標在整個幾何最值問題的教學過程中起著至關重要的指導和評估作用.目前，我國關于幾何最值問題教學策略研究還相對較少.本文從布魯姆教育目標分類理論的視角來審視幾何最值問題教學目標的設計狀況，分析其存在的不足之處，并以教師對幾何最值問題教學目標的理解、內容選擇和設計方法為核心，提出了一系列改進的教學目標設計建議.

參考文獻

［1］商鈺瑩.初中幾何最值教學的研究分析［J］.初中數學教與學，2023（10）：26-29.

［2］王暉.活用幾何定理 速求最值問題［J］.數理化學習（初中版），2022（5）：14-15.

［3］吳玉華.“動點最值問題”在初中幾何中的分類解析［J］.數理天地（初中版），2024（19）：6-7.