論類比探究類中考試題的求解方法

摘 要：類比探究是指通過類比的方式探討數學問題的本質，提煉解題方法.類比探究類題目作為中考試題中有一定難度的思維拓展類題型和高頻考點，需要學生牢牢把握結構不變，解題方法不變，以不變應萬變的解題策略，日常解題過程中注意發現知識聯系，建立知識網絡，全面提升數學解題素養．

關鍵詞：類比探究；中考試題；求解方法

類比探究強調從簡單到復雜，從已知到未知，通過類比推理逐步深入地解決數學問題.類比探究不僅僅是尋找解題方法，更注重在探究過程中發現問題的本質，從而達到對數學知識的深層次理解．

類比探究類題目作為中考試題中有一定難度的思維拓展類題項和高頻考點類型，往往由一類共性條件與特殊條件組合而成，并以四邊形為背景命制的幾何綜合題形式出現.伴隨特殊情形到一般情形，或由簡單情形到復雜情形的逐步深入，題目所求以階梯型、多問題的形式給出.具體問題可能表現出由特殊圖形到一般圖形的典型動態變化過程，需要學生牢牢把握結構不變，即主要條件不變，解題方法不變，以不變應萬變的解題策略．

1 解決類比探究問題的一般思路

類比探究在幾何綜合題中的具體應用一般通過類比字母、類比輔助線和類比思路等方式進行.在此過程中，考生可以有效地解決復雜的幾何綜合問題.類比字母主要指在解題過程中，通過改變幾何圖形中的字母標記，發現其中的規律和不變性.例如，給定一個幾何圖形，通過改變某些關鍵點的標記，可以發現圖形的對稱性或其他幾何性質.這種方法可以幫助考生在不同條件下找到統一的解題思路.類比輔助線是幾何題目中常用的一種方法.通過在圖形中添加輔助線，學生可以發現隱藏的幾何關系.這些輔助線的添加通常是基于圖形的對稱性、平行線或角度關系.通過類比之前解題過程中使用的輔助線方法，學生可以更加容易地找到解題的突破口.類比思路是指通過回憶和借鑒之前解決類似問題的思路，來解決當前的問題.這種方法的關鍵在于找到問題的本質，將已知的問題轉化為熟悉的形式，再通過類比之前的解題過程來找到解決方案．

在類比探究過程中，把握變化中的不變特征至關重要.數學中的許多問題，表面上看起來是多變的，但在變化中往往隱藏著一些不變的規律或特征.通過類比探究，這些不變的特征可以被提煉出來，幫助考生迅速找到問題的核心．

類比探究作為解決幾何綜合題的重要方法，通過類比字母、類比輔助線和類比思路，可以幫助考生從不同角度觀察問題，找到隱藏的幾何關系，并通過把握變化過程中的不變特征來解決問題，培養數學思維的深刻性和靈活性．

類比探究問題中常見不變特征可以概括為下述兩種主要結構，即旋轉結構和中點結構.下面結合對具體問題的分析談談如何發現這兩種結構，并進行針對性的問題解決．

2 “旋轉結構”類比探究問題

例題 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合），以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：BC=CF+CD.

（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出BC，CD，CF三條線段之間的數量關系．

（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，點A，F分別在直線BC的兩側，其他條件不變．

①請直接寫出BC，CD，CF三條線段之間的數量關系；

②若正方形ADEF的邊長為22，對角線AE，DF相交于點O，連接OC，求OC的長．

解析：

（1）因為∠BAC=90°，∠ABC=45°，四邊形ADEF是正方形，所以AB=AC，AD=AF，∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，所以∠BAD=∠CAF，所以△BAD≌△CAF （SAS），所以BD=CF.因為BC=BD+CD，所以BC=CF+CD （結合圖形建等式）.

（2）類比字母找全等，易證△BAD≌△CAF （SAS），類比條件證全等，所以BD=CF.因為BC=BD-CD，所以BC=CF-CD （結合圖形建等式）.

（3）①類比字母找全等，易證△BAD≌△CAF（SAS），類比條件證全等，所以BD=CF.因為BC=CD-BD，所以BC=CD-CF （結合圖形建等式）.②因為△BAD≌△CAF（SAS），所以∠ABD=∠ACF=135°，所以∠DCF=90°.因為正方形ADEF的邊長為22，所以DF=4.又O為DF的中點，所以OC=12DF=OF=2．

點評：類比字母找全等，類比條件證全等是解決類比探究問題最為常用的方法；

結合圖形建等式，用等線段轉化是類比探究得出正確結論的最基本技能．

3 “中點結構”類比探究問題

例題 已知，在正方形ABCD中，△BEF是以BF為斜邊的等腰直角三角形，取DF的中點G，連接EG，CG．

（1）如圖4，若△BEF的斜邊BF在BC上，猜想EG，CG之間的數量關系和位置關系，并證明．

（2）將圖4中的△BEF繞點B順時針旋轉45°，如圖5所示，則（1）中的結論是否仍成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）將圖4中的△BEF繞點B順時針旋轉任意角度，如圖6所示，則（1）中的結論是否仍成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

解析：

（1）因為△BEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，所以∠DEF=∠DCF=90°.因為G為DF的中點，所以GE=GD=GF=GC，所以∠DEG=∠EDG，∠CDG=∠GCD.因為∠EGC=∠DEG+∠EDG+∠CDG+∠GCD=2∠EDC=90°，所以EG=CG，EG⊥CG.

（2）由已知得EF∥CD，G為DF的中點，構成平行夾中點.如圖7所示，延長EG交CD于H，易證△EGF≌△HGD，所以EG=HG，DH=FE=BE，所以CE=CH，所以△CEH是等腰直角三角形，所以EG=CG，EG⊥CG.

（3）類比輔助線，如圖8所示，延長EG到H，使GH=EG，連接CE，CH，延長BE，DH交于點M，如圖9所示，易證△EGF≌△HGD，所以DH=FE=BE，∠EFG=∠HDG，所以DH∥EF，所以∠DME=∠BEF=∠BCD=90°，所以∠EBC=∠HDC.又CB=CD，所以△CBE≌△CDH，所以CE=CH，∠BCE=∠DCH，所以∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCH=90°，所以∠ECH=90°，△CEH是等腰直角三角形，所以EG=CG，EG⊥CG．

點評：本例題通過延長線段證明三角形全等，基于中線和高的兩線合一證明等腰三角形．

4 結語

類比探究是一種通過結合已有知識來理解新知識的有效手段，也是將不同數學知識和解題方法有機融合的重要方式.通過類比的方式，能夠將看似獨立的數學概念和題型聯系起來，使學生在學習過程中更容易發現知識之間的內在聯系，從而在解題時能夠靈活運用已有的知識.類比探究不僅簡化了數學學習和解題的過程，還幫助學生在類比和歸納的過程中提升自身的思維能力.通過這樣的訓練，學生不僅能夠加深對數學知識的理解，還能發展獨立思考和創新的能力，從而全面提升數學素養.類比思想在數學解題教學過程中扮演著不可或缺的角色，能夠有效地引導學生建立知識間的網絡，幫助他們更好地應對復雜的數學問題.