立足主干·注重綜合·突出能力·強化思維

摘 "要：通過對2024年高考函數與導數試題從必備知識、關鍵能力和學科素養等多個維度的梳理，分析試題命制中呈現的一些共性特點，并通過對典型問題的題例分析，總結出“立足主干，注重綜合，突出能力，強化思維”的命題主旨. 在此基礎上，提出高考復習應回歸課程標準、重視教材、強化基礎、提升關鍵能力、優化思維品質的教學建議．

關鍵詞：函數與導數；思維能力；問題轉化能力

中圖分類號：G633.6 " " 文獻標識碼：A " " 文章編號：1673-8284（2024）09-0025-10

引用格式：楊林軍，肖志軍，周當俠. 立足主干·注重綜合·突出能力·強化思維：2024年高考“函數與導數”專題命題分析［J］. 中國數學教育（高中版），2024（9）：25-34.

2024年高考數學新課標Ⅰ卷和新課標Ⅱ卷結構有所調整，從引導中學教學和人才選拔的角度，發出了迄今為止最為清晰的信號，即通過題海戰術、猜題押題、機械訓練、二級結論等進行高考復習備考沒有出路，而回歸課程標準、重視教材、注重基礎、發展能力、優化思維品質才是正確的備考之道. 作為高中數學主干知識的核心，2024年高考函數與導數試題的命制與2023年和2022年相比也發生了較大變化，主要體現在：函數與導數試題的位置不再相對固定于選擇題、填空題、解答題等各類題型壓軸題或次壓軸題的位置，而是根據試卷整體結構和難度安排，隨機調整；考查內容不過分追求知識覆蓋面，而是立足于學科主干知識和核心概念進行重點考查；試題更加注重通過主干知識設置綜合情境，考查學生在綜合情境中分析問題和解決問題的能力；試題通過創新問題情境，考查學生運用數學思維方式，發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，重點考查邏輯性、批判性、靈活性和創新性等思維品質，全面考查學生的數學核心素養.

一、考查內容分析

2024年高考對函數與導數內容的考查，從分值的占比來看，在總分為150分的試卷中，其所占分值均在30分左右，基本保持穩定，凸顯了其在高中數學知識中的核心地位；從題型分布來看，函數與導數內容涵蓋了選擇題（單選題和多選題）、填空題、解答題等各類題型，凸顯了其在全面考查學生必備知識、關鍵能力和數學核心素養等方面的突出作用；從試題難度來看，函數與導數內容覆蓋了容易題、中等題和難題，凸顯了其在考查學生必備知識、關鍵能力、思維品質、創新思維，以及在區分與選拔等方面的重要作用．

1. 深化對必備知識的考查

（1）全面考查函數與導數內容的主干知識.

函數與導數試題考查的內容包括函數的概念與性質、基本初等函數的圖象與性質、導數的概念和利用導數研究函數的性質等．

① 對函數定義域的考查貫穿函數與導數問題解決的全過程，凸顯了定義域在研究函數性質方面的基礎性地位．同時，在探索函數性質（如對稱性）等方面，如果從定義域區間的特點出發進行探究，會起到事半功倍的作用．例如，新課標Ⅰ卷第18題等．

② 對于函數奇偶性，重點考查對函數奇偶性的理解，以及運用概念判斷函數奇偶性并解決問題等. 例如，新課標Ⅱ卷第6題可以將兩個函數圖象有一個交點問題轉化為偶函數[fx=ax2+a-1]和偶函數[gx=cosx]的圖象有一個交點的問題，故交點只能在[x=0]處；全國甲卷理科第7題（文科第8題）需要在判斷函數奇偶性的前提下解決問題；新課標Ⅰ卷第18題考查在理解函數奇偶性圖象特征的基礎上，能夠把奇函數和偶函數圖象分別關于原點和y軸對稱，拓展到函數曲線[y=fx]關于點[a，b]和直線[x=m]對稱，并利用相關結論解決新問題.

③ 函數單調性是高考考查的重點，通過幾何直觀、代數運算、導數工具等多種探究函數單調性的方法，重點考查對函數單調性概念的理解，考查利用導數工具研究函數單調性的通性通法，考查利用函數單調性解決零點、極值、比較大小等問題. 例如，新課標Ⅰ卷第6題、第10題、第18題，新課標Ⅱ卷第11題、第16題，全國甲卷理科第21題，全國甲卷文科第16題，等等．

④ 對于函數的極值與最值，重點考查對極值概念的理解，函數取得極值的充分條件、必要條件，極值與最值之間的關系. 例如，新課標Ⅱ卷第16題第（2）小題和全國甲卷理科第21題第（1）小題等．

⑤ 對冪函數、指數函數、對數函數等基本初等函數性質的考查貫穿始終，重點考查利用導數工具研究三次函數的性質，如對稱性、極值、零點等；考查運用三次函數性質解決比較大小等基本問題. 例如，新課標Ⅰ卷第10題和新課標Ⅱ卷第11題等．

⑥ 對于抽象函數，2022年、2023年和2024年的高考中都有考查，但是呈現方式和考查側重點等有所不同. 2024年高考對抽象函數的呈現方式比較新穎，需要通過離散化對抽象函數滿足的性質[fxgt;fx-1+]

[fx-2]賦值，構建數列不等遞推關系，通過代數推理解決問題，對學生思維品質有較高的要求．

⑦ 對于分段函數，重點考查對分段函數定義域、單調性、最值等概念的理解，考查基本初等函數的圖象與性質. 例如，新課標Ⅰ卷第6題等．

⑧ 利用導數工具研究函數性質是高考考查的重點，內容占比較大，且試題分布于基礎題、中等題和壓軸題等位置，重點考查對導數概念的理解、導數運算和利用導數研究新函數性質的方法等. 例如，新課標Ⅰ卷第13題、新課標Ⅱ卷第16題、全國甲卷理科第21題等．

⑨ 關于函數應用，主要考查研究新函數性質的方法，重點考查利用函數性質比較大小、證明不等式、由不等式恒成立求參數范圍等．例如，新課標Ⅰ卷第10題、第18題，新課標Ⅱ卷第16題，全國甲卷文科第17題、理科第21題等．

（2）始終將對通性通法的考查放在重要位置.

將對通性通法的考查放在重要位置是為了引導高考備考將主要精力聚焦于“四基”的落實上，提示師生不必追求不完全理解的所謂二級結論. 例如，研究函數單調性的通性通法是根據函數解析式的特征，選擇幾何直觀、代數運算、導數工具加以解決. 但是這三種方法到底選擇哪一個，關鍵要看轉化后的函數解析式的特點，如果能夠畫出圖形，則可以通過幾何直觀得到；如果函數可以看作由基本函數的和、差、積、商等構成，就可以考慮通過運算性質研究，如增函數加增函數仍為增函數、奇函數乘偶函數為奇函數等；如果前兩種方法都行不通，則可以考慮導數工具，如新課標Ⅰ卷第6題、新課標Ⅱ卷第8題等. 再如，研究新函數的性質一般要經歷求定義域、判斷對稱性、找特殊點（如零點、與y軸交點、定點等）、判斷單調性、求極值與最值、區間端點函數值分析等過程，如新課標Ⅰ卷第18題等．

（3）對數學思想方法的考查貫穿解決函數與導數問題的始終.

數學思想方法是對數學知識在更高層次上的抽象、概括和凝練，蘊含在知識發生發展和應用的過程中，是學生良好思維品質的具體體現，因而也是歷年高考數學考查的重點. 例如，新課標Ⅰ卷第6題、第10題、第18題第（3）小題，新課標Ⅱ卷第6題，全國甲卷理科第7題、文科第8題等重點考查數形結合思想；新課標Ⅰ卷第8題、新課標Ⅱ卷第8題等重點考查轉化與化歸思想．

2. 加強對關鍵能力的考查

基于《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）的高考數學關鍵能力，是指運用數學的基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗分析問題和解決問題所需的穩定的個性心理特征和思維品質，表現為在掌握基礎知識和基本技能的基礎上，對知識進行遷移和創新，能夠在新的情境中解決一些開放性、推廣性、變式性、反思性問題. 在數學學科中，關鍵能力是指數學閱讀理解、信息整理、批判性思維和語言表達等綜合能力，它貫穿在數學問題解決的全過程．高考函數與導數試題除了考查基于核心素養的抽象概括、邏輯思維、運算求解、直觀想象、數據分析、創新能力等具體能力以外，基于選拔的需要，會持續加強對數學關鍵能力的考查．

（1）在問題解決之初，重點考查數學閱讀理解能力和信息整理能力.

數學閱讀理解能力的基本要求是明確每個已知條件和所求結論的數學含義（用符號語言、圖形語言、文字語言等加以表示），以及要解決的問題是什么．信息整理能力是指對大量無序的信息，基于問題進行提取、篩選、整理（分類）、歸納，形成問題解決策略與實施路徑所需要的多種能力，也是創新性解決問題所需要的重要能力. 例如，新課標Ⅱ卷第8題，要求學生在審題階段對函數[fx=x+alnx+b]的結構有清晰的認識，即由一個一次函數與一個對數復合函數的乘積構成. 在此基礎上，考慮到要解決的問題是“[fx≥0]在定義域上恒成立，探究參數[a，b]之間的關系”，所以解決問題的策略是“函數[y=x+a]與函數[y=lnx+b]在定義域內始終同號”. 由于兩個函數均為基本初等函數，故通過數形結合就可以獲得[a，b]之間的關系. 在這個過程中，重在對已有信息的挖掘和整理，如果沒有很好的閱讀理解能力和信息整理能力，只是盲目地用導數工具求函數的最小值，則會陷入復雜的運算與討論之中．

（2）在問題解決階段，重點考查批判性思維能力.

批判性思維能力的核心是理性思維，而理性思維的核心是邏輯思維，包括演繹推理、合情推理等. 函數與導數試題是高考考查邏輯思維能力的重要載體. 例如，在解決問題的過程中，常常需要根據目標構建新函數，進而運用導數工具求導. 多次求導后，容易出現思維混亂，如為什么求導、求導之后做什么、目標是什么、推出的是必要條件還是充分條件、為什么要分類討論、怎么分類等，對學生思維的邏輯性有較高要求. 同時，批判性思維能力還表現為善于獨立思考、敢于質疑，善于運用逆向思維和辯證思維等探究問題，體現了學生優良的思維品質. 例如，新課標Ⅰ卷第8題、第18題，新課標Ⅱ卷第8題等．

（3）在問題解決的最后階段，重點考查語言表達能力.

高考數學中對語言表達能力的要求是正確運用數學的術語、符號、算式、推理步驟表達自己的思想；規范，符合數學表達程式和要求，具有邏輯性和條理性；簡明，不迂回繞路、不拖泥帶水. 例如，對于新課標Ⅰ卷第18題的第（3）小題，如何用規范、清晰的語言表達“[fxgt;-2]當且僅當[1lt;xlt;2]”得到“[a=-2]”是檢驗學生語言表達能力不同水平層次的試金石．

3. 持續加大對數學核心素養的考查

通過數學學習形成和發展數學核心素養是數學學習的最終目標，文獻［5］在《中國高考評價體系說明》和《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的基礎上，將高考數學考查的學科素養提煉為理性思維、數學應用、數學探索和數學文化. 從這個角度來看，函數與導數試題成為落實素養的重要載體．

（1）通過創新呈現方式，著力考查數學思維能力特別是邏輯思維能力.

新課標Ⅰ卷第8題，將抽象函數滿足的性質用不等式加以表示，并要求探究自變量取10或20時函數的取值范圍，為了達成目標，學生需要將連續函數滿足的不等關系進行離散化，轉化為數列不等遞推關系[angt;][an-1+an-2]，進而類比由遞推數列求通項，確定初始值，通過遞推，最終實現目標. 這是良好思維能力的體現，也是具有良好數學素養的體現．

（2）通過設置數學綜合情境，著力考查運用數學知識解決問題的能力.

新課標Ⅰ卷第18題第（2）小題要求探究函數[fx=][lnx2-x+ax+bx-13]的圖象關于點成中心對稱的結論，并加以證明. 學生需要從函數的定義域關于點對稱，或函數[y=lnx2-x]和[y=ax+bx-13]具有的對稱性角度進行分析，形成函數[y=fx]關于點[1，a]中心對稱的猜想，再通過代數推理加以證明. 這對于學生運用已有知識解決問題的能力要求較高．

（3）通過抽象概括和邏輯推理著力考查理性思維和科學精神.

新課標Ⅰ卷第18題第（3）小題需要學生基于“[fxgt;-2]當且僅當[1lt;xlt;2]”，通過邏輯分析，結合圖形直觀和函數曲線中心對稱的性質，確定參數[a]的值. 在此過程中，需要用到逆向思維和批判性思維，對思維的嚴謹性有很高要求，著力考查學生思維的邏輯性和創新性，考查學生在復雜情境中把握事物之間的關聯和事物發展的脈絡的能力，有利于提升學生重論據、有條理、合邏輯的思維品質，助力學生形成理性思維，實現數學教學的教育價值．

二、命題特點分析

1. 命題意圖分析

（1）立足主干知識考查，引導高中數學教學.

通過創設基本問題情境，考查學生對函數與導數單元核心概念的理解和對解決函數基本問題通性通法的掌握，引導高中數學教學遵循教育規律，突出數學教學本質，回歸課程標準，重視教材，重視概念教學，夯實學生學習基礎．

例1 （2024年新課標Ⅰ卷·6）已知函數[fx=]

[-x2-2ax-a，xlt;0，ex+lnx+1，x≥0] 在[R]上單調遞增，則[a]的取值范圍是（ " "）.

（A）[-∞，0] （B）[-1，0]

（C）[-1，1] （D）[0，+∞]

答案：B.

考查目標：此題以二次函數、指數函數和對數函數為主干，考查函數的單調性等基礎知識，考查邏輯推理、直觀想象、運算求解能力，以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力，考查數形結合思想．

命題意圖：此題以含參二次函數、指數函數和對數復合函數的和構成的函數為載體，通過創設分段函數情境，考查學生對函數單調性概念的理解，考查二次函數的圖象與性質，考查利用函數運算性質、導數工具等研究函數單調性的方法等基礎知識，考查運用數形結合思想方法解決問題的基本能力．

試題亮點：此題設計簡潔、問題明確，給出了一個由含有參數的二次函數、指數函數和對數復合函數的和構成的分段函數，要解決的問題是在已知分段函數為增函數的條件下，求參數a的取值范圍. 函數的第一段是含有參數的二次函數，故關鍵是討論參數對二次函數單調性的影響；第二段函數中的兩部分在同一區間內都是增函數，故其和也是增函數，或是利用導數工具判斷其單調性. 此題屬于學生熟悉的知識范疇，難度適中. 具體來說，此題包含如下亮點．

第一，突出基礎性要求，引導高中數學重視概念教學. 高考“四翼”考查要求中的基礎性表現為深刻理解基礎知識，掌握基本技能，學會實際應用. 首先，此題要求學生對二次函數、指數函數、對數函數的單調性有深刻認識；其次，要求學生對分段函數的概念和函數單調性的概念理解到位；最后，要求學生系統掌握判斷函數單調性的方法. 這些都是函數與導數部分基礎中的基礎．

第二，注重解題思路的多元性和解題方法的靈活性，突出數學本質，注重通性通法. 在此題的求解過程中，對于函數[ex+lnx+1]的單調性，既可以根據各自函數單調性的運算性質，即增函數與增函數的和仍為增函數進行判斷，也可以利用導數工具加以判斷. 試題使不同思維水平的學生都有充分發揮的空間．

第三，此題位于試卷靠前位置，考查二次函數、指數函數、對數函數等學生熟悉的內容，有利于穩定學生情緒，助力學生正常發揮，體現了高考“立德樹人，服務選才，引導教學”的核心功能．

拓展練習1：（2006年北京卷·理5）已知[fx=][3a-1x+4a，xlt;1logax，x≥1]是[-∞，+∞]上的減函數，那么[a]的取值范圍是（ " "）.

（A）[0，1] （B）[0， 13]

（C）[17， 13] （D）[17，1]

答案：C.

拓展練習2：已知函數[fx=x2+4a，xgt;01+logax-1，x≤0 ]（a gt; 0且a ≠ 1）在[R]上單調遞增，則[a]的取值范圍是______．

答案：[14，1]．

（2）注重知識綜合，強調融會貫通，學以致用.

試題強化綜合性考查，強調對函數與導數主干知識和相關思想方法的理解與應用，考查函數各個性質之間的內在聯系，整體把握函數的變化規律，基于幾何直觀和推理運算解決問題，引導高中數學教學通過引導學生深化對基礎知識、基本原理、基本方法的理解與掌握，形成完整的知識體系和網絡結構．

例2 （2024年新課標Ⅰ卷·18）已知函數[fx=][lnx2-x+ax+bx-13]．

（1）若[b=0]，且[fx≥0]，求[a]的最小值；

（2）證明：曲線[y=fx]是中心對稱圖形；

（3）若[fxgt;-2]，當且僅當[1lt;xlt;2]，求[b]的取值范圍．

答案：（1）[-2]；（2）略；（3）[b≥-23]．

考查目標：此題考查導數公式、導數運算法則，對函數[y=fx]關于點成中心對稱的判斷與證明，利用導數工具判斷函數單調性的方法，靈活運用導數工具分析問題和解決問題的能力，邏輯推理、運算求解和推理論證能力，以及分類討論和數形結合等思想方法．

命題意圖：第（1）小題重點考查復合函數的求導，考查利用導數研究函數的性質的方法，以及運用所學知識解決問題的能力. 題型常規，考查必備知識和基本技能，面向大多數學生. 雖然題目基礎，但內容綜合，且在具體路徑的選擇上也體現了學生不同的能力水平和思維水平. 例如，直接對復合函數[lnx2-x]求導，與先通過運算求得[lnx-ln2-x]后再求導；在得到[fx=2x2-x+a]后，可以運用均值定理，通過[fx≥][2+a]得到結論，也可以通過分離參數得到參數的最小值. 這些不同的路徑選擇，體現了學生不同的能力水平和思維水平. 第（2）小題考查通過定義域或解析式的代數結構特征猜想中心對稱點然后加以證明的思維方法. 例如，從定義域視角，一個函數曲線為中心對稱圖形，其定義域[0，2]必然關于中心對稱，即可得到[x=1]，而當[x=1]時，[f1=a]，進而得出猜想．除此之外，也可以從函數[gx=lnx-ln2-x]的代數特征，即自變量[x]與[2-x]的和為定值2出發考慮，此時對應的函數值的和為[gx+g2-x=0]，因此函數[gx=][lnx-ln2-x]的圖象關于點[1，0]呈中心對稱；而三次函數[bx-13+ax]可以化為[bx-13+ax-1+a]，且函數[hx=bx-13+ax-1]的圖象關于點[1 ， 0]中心對稱. 這樣，兩個函數具有相同的對稱性，進而猜想函數曲線關于點[1，a]成中心對稱. 第（3）小題，已知函數具有的性質“[fxgt;-2]，當且僅當[1lt;xlt;2]”，從試題對邏輯知識考查的角度，可以將其看作是對充要條件的理解與運用. 由[fxgt;-2]，解得[1lt;xlt;2]. 進而可以推出當[0lt;x≤1]時，[fx≤-2]. 由曲線關于點[1，a]成中心對稱可知，當[0lt;xlt;1]時，[fxlt;-2]. 所以只有當[x=1]時，[f1=-2]才能滿足“當[0lt;x≤1]時，[fx≤-2]”這一結論，這樣便確定了其中一個參數[a]的值，則問題轉化為含有一個參數[b]的函數在區間[1，2]上恒成立的常規問題了. 此小題對學生的逆向思維和思維的嚴謹性有較高要求，在考查常規的恒成立問題的同時，重點考查了學生對運用導數工具研究函數單調性、判斷函數零點的方法等基礎知識掌握的程度，考查了學生運用數形結合思想解決問題的基本能力，考查邏輯思維能力、運算求解能力及分類討論和轉化與化歸等思想方法．

試題亮點：此題以對數復合函數與含有兩個參數的三次函數的和為背景，分層研究其相關性質．第（1）小題給定一個參數值，求當函數值大于等于0時參數的取值范圍，考查復合函數的求導. 其中，對復合函數的求導既可以直接求導，也可以按照對數運算性質運算之后再求導，這樣就給不同運算能力水平的學生提供了發揮的余地，同時考查了用基本不等式求最值的方法. 第（2）小題通過觀察三次函數解析式[bx-13+ax=][bx-13+ax-1+a]的代數特征，獲得函數圖象關于點[1，a]成中心對稱的猜想. 若令[t=x-1]，[t∈-1，1]，則問題轉化為[gt=ln1+t1-t+bt3+at+a]的對稱性問題，這是學生熟悉的背景. 第（3）小題通過不等式[fxgt;-2]的解集為[1，2]及函數關于點[1，a]成中心對稱的性質確定參數[a]的值，然后通過導數工具，運用分類討論思想，求得滿足條件的參數b的范圍．此題包含如下亮點.

第一，突出綜合性要求，由三次函數和對數復合函數構成新函數，創設較為綜合、復雜的情境. 高考“四翼”考查要求中的綜合性表現為“以多項相互關聯的知識構成的復雜情境作為載體，能夠反映學科知識、能力內部的整合及其綜合應用，體現對即將進入高等學校學習者知識、能力、素養之間縱向整合能力及其綜合應用水平的測量與評價”. 這就要求學生能將函數關于特殊位置（原點和y軸）對稱的結論類推到函數關于任意點[a，b]與直線[x=m]對稱，進而與解析幾何曲線的對稱加以關聯，形成可遷移的知識網絡，這是提升解決問題能力的基礎．

第二，在問題解決的過程中，注重對思維品質的考查. 這樣一道綜合且有難度的試題，對思維品質的考查，首先，體現為思維的有序性和邏輯性. 例如，此題第（3）小題要解決的問題是求參數b的取值范圍，而已知是不等式的解集，如何通過已知的不等式的解集求出參數 a 的值是關鍵，這種通過因果關系分析問題的方法體現了良好的思維邏輯性. 其次，是思維的敏捷性. 表現在得出中心對稱猜想的過程和通過逆向思維求參數 a 的值. 最后，在根據不等式恒成立求參數 b 的取值范圍的過程中，如何找到分類標準及如何否定某種情形，是對思維批判性的考查. 總之，沒有良好的思維品質，很難正確完成試題的推證過程．

第三，試題分步設問、逐步推進，考查由淺入深、層次分明、重點突出、內容豐富，很好地達成了考查綜合運用知識解決問題的目標，且不同層次學生理性思維的深度、知識掌握的牢固程度、運算求解的嫻熟程度都得以充分展示. 同時，考查了學生進一步學習的潛能．此題源于教材，對高中數學教學具有較好的導向作用．

拓展練習：（2023年全國乙卷·理21）已知函數[fx=1x+aln1+x].

（1）略.

（2）是否存在[a]，[b]，使得曲線[y=f1x]關于直線[x=b]對稱？若存在，求[a]，[b]的值；若不存在，說明理由.

（3）若[fx]在[0，+∞]存在極值，求[a]的取值范圍.

答案：（1）略；（2）[a=12，b=-12]；（3）[0， 12]．

（3）創新試題風格，突出基本能力.

這里的基本能力指問題轉化能力及分析問題和解決問題的能力，是解決數學問題必須具備的基礎能力. 試題通過創新題目風格，深化基礎性考查，強調對學科基礎知識、基本方法的深刻理解，考查基于問題尋找思路的基本能力，以及將陌生問題轉化為熟悉問題的能力，引導高中數學教學把重點從總結解題技巧轉向培養學生分析問題和解決問題的能力及數學核心素養的培育上．

例3 （2024年新課標Ⅱ卷·8）設函數[fx=][x+alnx+b]. 若[fx≥0]，則[a2+b2]的最小值為

（ " "）.

（A）[18] （B）[14]

（C）[12] （D）[1]

答案：C.

考查目標：此題以一次函數和對數函數為主干，考查基本初等函數的單調性，以及學生利用函數性質解決問題的能力，考查邏輯思維能力、運算求解能力及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力．

命題意圖：此題以分別含有一個參數的一次函數和對數函數的乘積構建新的函數背景，在已知函數具有某些性質的條件下，通過推理獲得兩個參數[a，b]之間的關系，進而將問題轉化為在約束條件下求二元函數最值的問題，全面考查學生的閱讀理解能力、信息整理能力和問題轉化能力．

試題亮點：此題題干設計簡潔、呈現方式新穎，問題明確，其函數解析式由一次函數和對數函數的乘積構成，這兩種基本函數的性質是高中數學中的重點內容和必備知識，屬于學生熟悉的知識范疇. 對于學生來說，解決這類試題有多種途徑：一是把它看作一元不等式恒成立問題，利用函數思想，即[fx]的最小值大于等于0求解；二是利用函數解析式的特征，將函數大于等于0的問題轉化為對兩個基本函數性質的研究. 兩種不同求解路徑的運算量有較大差距，體現了不同層次學生的思維水平，以及對研究對象的本質認識，因此此試題具有典型的基于本質、多思少算的特征，對高中數學教學具有很好的示范引領作用. 此題包含如下亮點.

第一，多思少算. 這是2024年高考試題結構調整的初衷之一，如果遇到函數問題就不加分析地盲目求導，很容易陷入繁雜的運算與討論之中. 但是如果能夠在求導之前對問題的結構，特別是函數解析式的結構做一些必要分析，就能夠抓住問題解決的關鍵. 通過增加問題分析過程的思維量來減少運算量，是高考對數學思維水平考查的一個重要視角，也是高考命題改革的方向．

第二，突出基本能力，即重視對研究對象的認識能力及分析問題和轉化問題的能力. 此題求解的關鍵是將[fx≥0]在[x∈-b，+∞]上恒成立轉化為函數[y=x+a]與函數[y=lnx+b]在區間[-b，+∞]上總同號. 因為[y=x+a]和[y=lnx+b]的零點分別為[-a]和[1-b]，且其在區間[-b，+∞]上均為增函數. 也就是說，當[lnx+bgt;0]時，[x+a]要大于0；當[lnx+blt;0]時，[x+a]要小于0. 所以[-a=1-b]，即[b=a+1]. 在此條件下求[a2+b2]的最小值，可以將其轉化為二次函數求最值，也可以運用數形結合思想利用直線與圓的位置關系求解. 整個推理過程中的每一步，都體現了在分析基礎上的問題轉化能力．

第三，完整、準確地理解通性通法，靈活運用通性通法. 通性通法指反映當前內容本質、使用范圍較廣的方法. 例如，求參數范圍是函數與導數單元的基本問題，其通法是運用函數觀點研究含參函數[fx]的性質. 但是探究函數的最值，并不是不加分析地求導，而是在對函數的定義域、對稱性、特殊點（零點、定點、與y軸交點等）、單調性做直觀分析的基礎上進行的，如果完整、準確地理解并掌握這個通法，就不會盲目求導，進而陷入繁雜的運算和分類討論之中了. 此題函數模型簡單、基本，呈現方式新穎，考查了學生真實的數學能力，而不是刷題和訓練的技巧．

拓展練習1：已知不等式[x-a-bx-x2≤0]恒成立，則[a+b]的值為 " " " ．

答案：[1].

拓展練習2：（2012年北京卷·理14）已知[fx=][mx-2mx+m+3，gx=2x-2]，若同時滿足條件：①[?x∈R ， fxlt;0]或[gxlt;0]；②[?x∈-∞，-4，][ fxgxlt;0]，則m的取值范圍是_______．

答案：[-4，-2]．

（4）強化思維品質，強調創新意識和創新思維.

一直以來，高考數學試題都將數學思維能力作為考查的重點. 用數學的思維方式創造性地解決新問題，是思維創新性的表現，也是良好思維品質的具體體現. 高考試題不斷通過創新情境的設置，加強學科知識之間的聯系，以實現選拔創新人才的目的．

例4 （2024年新課標Ⅰ卷·8）已知函數[fx]的定義域為[R]，[fxgt;fx-1+fx-2]，當[xlt;3]時，[fx=x]，則下列結論中一定正確的是（ " "）.

（A）[f10gt;100] （B）[f20gt;1 000]

（C）[f10lt;1 000] （D）[f20lt;10 000]

答案：B.

考查目標：此題以抽象函數為背景，全面考查了學生對函數概念及其性質的理解，考查學生的代數推理和論證能力，綜合考查學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，考查學生對連續函數離散化的認識、對數學符號語言的理解運用能力，以及對從特殊到一般和轉化與化歸等數學思想方法的掌握情況. 考查學生的邏輯思維、發散思維、批判性思維和創新思維．

命題意圖：此題以定義在[R]上的抽象函數[fx]滿足[fxgt;fx-1+fx-2]為背景命制，以“當[xlt;3]時，[fx=x]”為推理基礎，判斷抽象函數自變量[x=10]和[x=20]時函數的取值范圍，解決問題的關鍵是對抽象函數的性質[fxgt;fx-1+fx-2]的認識與應用. 由于所求函數值均為自變量取自然數時的函數值，為此，需要通過對連續函數賦值，得到[fngt;fn-1+fn-2，]

[n≥3，n∈N*]的不等遞推關系，進而類比通過數列遞推關系[an=an-1+an-2]求通項的思路，依次得到[f3gt;][f2+f1=3]，[f4gt;f3+f2gt;5]，[f5gt;8]等結論. 在歸納的過程中，如果注意到其規律類似斐波那契數列，就容易得到[f10]的估計值，同時，注意到[f3gt;3]，即[f3]可以是大于3的任意實數，而選項要求一定正確的是哪一個，所以可以排除選項C，D，進而選出正確答案. 在探究[f10]，[f20]取值范圍的過程中，如果注意到[10 ， 20]均為偶數，類比數列求通項的方法，可以將[fngt;fn-1+fn-2，n≥3，n∈N*]，[fn+1gt;]

[fn+fn-1 ]兩個式子相加，得到[fn+1gt;2fn-1+]

[fn-2 ]. 因為[n≥3]，所以可以推出[fn-2 gt;0]，進而可以得到[fn+1gt;2fn-1]，則[f20gt;2f18gt;]

[22f16gt;…gt;29f2=210=1 024gt;1 000]. 這樣的推理目的性強，思維鏈條更短，需要學生具有優秀的思維品質，更需要其擁有較強的代數推理能力．

試題亮點：抽象函數問題往往具有較強的綜合性，其抽象性高、靈活性大，是考查思維能力和思維品質的良好載體，幾乎每年高考中都有考查. 此題給出了函數在部分范圍內的解析式，而另一部分只給出函數滿足的一些性質. 這類問題的求解要求學生要具有較強的抽象思維能力和綜合運用數學知識解決問題的能力. 學生既可以通過函數的局部性質或圖象進行推理論證，也可以通過對函數的觀察、分析、類比、聯想等尋找具體的函數模型，再依據具體函數模型的圖象與性質反過來解決抽象函數的問題. 此題主要亮點如下.

第一，突出考查創新思維能力，全面考查學生的數學核心素養. 高考“四翼”中對創新思維和思維品質的考查要求為“獨立思考、發散思維、逆向思維，敏銳發覺事物缺陷，通過新穎的推測與論證，探索新的方法，積極主動解決問題、擺脫思維定式等優良的思維品質”. 此題作為單選題的最后一題，為不同思維水平的學生提供了發揮的余地，體現了較好的選拔功能．

第二，注重知識之間的聯系與綜合，在問題解決中考查學生的思維能力和運算求解能力. 此題將函數與不等式、方程和數列巧妙結合. 類比遞推數列研究數列性質的方法，研究不等遞推關系具有的性質，體現了辯證思維、合情推理，特別是敏銳發現所求函數自變量均為偶數的共性，通過運算，得到相鄰兩項之間的遞推規律，簡化了推理過程的計算量．

第三，此題打破了以往對抽象函數考查的固有模式，通過情境創建新穎的試題呈現方式和設問方式，促使學生主動思考，發現新問題、找到新規律、得出新結論. 此題緊扣《標準》要求，力圖引導教學，符合基礎性、綜合性、應用性、創新性的高考考查要求，將連續函數離散化，將不等式關系轉化為數列的不等遞推關系，這是創新性解決問題的體現．

拓展練習：（2012年上海卷·文14）已知[fx=][11+x]，各項均為正數的數列[an]滿足[a1=1，an+2=fan]. 若[a2 010=a2 012]，則[a20+a11]的值為 " " " "．

答案：[3+13526]．

2. 命題導向分析

（1）回歸課程標準，重視教材.

深化概念理解，熟練掌握通性通法是高中數學教學的重中之重. 自《體系》頒布并實施以來，特別是近三年，高考數學改革帶給我們最大的啟示是：扎實“四基”、發展“四能”是高考備考的根本之道. 連續幾年的高考數學試卷中都出現了源于教材的試題，對高中數學教學產生了很好的導向作用. 例如，2023年高考數學全國乙卷理科第21題第（2）小題“已知函數[fx=1x+aln1+x]，是否存在a，b，使得曲線[y=][f1x]關于直線[x=b]對稱？若存在，求a，b的值；若不存在，說明理由”與2024年新課標Ⅰ卷第18題第（2）（3）小題求解用到的基本思想方法幾乎完全一致，而這些思想方法與人教A版《普通高中教科書·數學》第87頁第12題和第13題的求解思路與方法又高度一致，但歸根結底都與奇函數和偶函數性質所蘊含的思想方法是一致的. 又如，2024年新課標Ⅰ卷第8題需要將連續函數離散化，進而用數列的觀點認識和解決問題，這種思想蘊含在指數函數概念的形成過程中. 雖然指數函數是連續的，但是我們收集到的數據是離散的，通過擬合獲得連續函數模型，在得到指數函數[fx=ax]后，又通過其運算性質[fx+y=fxfy]，從離散的角度理解指數函數的變化規律，令[y=1]，得[fx+1=][fxf1]. 進一步，令[x=n]，得[fn+1=fnf1]，即[an+1=an ? a]. 這就是等比數列的定義. 所以回歸教材的要義，不是把教材中的例題和習題再做一遍，而是要回歸知識形成過程中蘊含的數學思想和方法，以及對概念的本質理解上．

（2）加強知識的聯系與綜合，落實數學思想方法.

構建起從宏觀、中觀到微觀的知識與思想方法體系，是實現不同板塊知識之間順暢遷移的基礎. 高考試題通過創設綜合情境，考查學生對單元知識體系的掌握情況. 2024年高考函數與導數試題，即使是單選題，也包含了多個核心知識點. 要解決這樣的綜合問題，需要在更高層次上建立解決一類問題的策略. 例如，對于函數單調性，可以通過幾何直觀、代數運算、導數工具加以解決. 2024年新課標Ⅰ卷第18題采用結構化的命題形式，這類試題第（3）小題的求解往往依賴于前兩道小題的探究結論或探究思路；2024年新課標Ⅰ卷第8題體現了函數與數列和不等式之間的綜合，第11題體現了函數與二次曲線之間的綜合．

（3）加強思維過程，培養問題解決能力.

數學問題的解決需要靠數學思維去實現，“多思”才能“少算”. 因此，通過閱讀理解，明確要解決的問題，并在此基礎上不斷分析問題，對問題進行轉化與化歸，是解決問題的基礎能力，需要在教學中有意識地加以培養. 例如，對于函數與導數問題的求解，目前學生存在的突出問題是看到問題就盲目求導，把一個深層次考查思維能力的問題變成簡單的、固化的求導模式. 2024年高考函數與導數試題，向這一固化模式發出了明確的信號．在復習備考教學中，首先要做的是對研究對象的深入分析，如函數解析式的構成、有哪些基本性質、有哪些運算性質，在此基礎上則要思考為什么求導，求導之后要研究的問題是什么，這是發展思維能力的過程，需要長期堅持. 例如，對于2024年新課標Ⅰ卷第18題第（2）小題，如果進行以下分析，不難發現函數[fx=lnx2-x+ax+bx-13]圖象具有對稱性的結論. 首先，對于函數[y=lnx2-x]，可以聯想[y=ln1+x1-x]是奇函數得到對稱性，也可以分析運算后函數[y=lnx-ln2-x]的自變量特點，即自變量之和為定值2，進一步思考對應的函數值有何規律性，很容易發現對應的函數值的和為0，所以確定函數[y=lnx-]

[ln2-x]關于點[1，0]對稱. 函數y =[ax+][bx-13]對稱性的確定，源于任意三次函數通過平移變換都可以轉化為[mx3+nx]的形式，而y =[mx3+nx]為奇函數，所以三次函數為中心對稱圖形. 因為[ax+bx-13=]

[ax-1+bx-13+a]，所以其對稱性容易確定. 而具有相同對稱性的函數的和仍具有此對稱性，這是函數的運算性質. 具備了這種對知識本質理解基礎上的分析問題的能力，就能較為順利地解決問題．另一個重要方面是對問題的轉化與化歸能力. 如將“[x+alnx+b≥0]在定義域內恒成立”轉化為“函數[y=x+a]與函數[y=lnx+b]在定義域內總同號”是關鍵，化未知為已知，化陌生為熟悉，是能力也是思想方法．

（4）發展思維能力，優化思維品質.

思維能力是發展數學關鍵能力的核心，高考試題通過創設復雜問題情境和創新問題情境引導教學，將發展智力、培養能力放在首位，其關鍵在于對思維品質的培養. 函數與導數問題中主要體現思維的邏輯性. 例如，2024年新課標Ⅱ卷第16題第（2）小題思維的邏輯性體現在：明確要研究的問題是“[fx=ex-ax-a3]有極小值，且極小值小于0，求[a]的范圍”等價于“[fx]在定義域區間上存在左負右正的變號零點”，等價于“[agt;0]，且[flnalt;0]”，等價于“已知[a2+lna-1gt;0]，求[a]的范圍”，等價于“已知[ga=a2+lna-1gt;0]，求[a]的范圍”. 因為[ga]在區間[0 ，+∞]上為增函數（不必求導），且[g1=0]，所以[0lt;alt;1]. 這就是思維的邏輯性，有序思考、條理清晰. 2024年新課標Ⅰ卷第18題第（3）小題中由條件“若[fxgt;-2]當且僅當[1lt;xlt;2]”求出參數[a]的值的推理過程體現了思維的靈活性，即逆向思維；由“[fxgt;fx-1+fx-2]”推出[f20]估計值的過程中運用了發散思維，是創新思維的結果，也體現了較高的數學核心素養水平．

三、復習教學建議

通過對2024年高考函數與導數試題的命題特點與命題導向的分析，我們清楚地看到，題型訓練、題海戰術、二級結論等沒有出路，只有踏踏實實，回歸課程標準、重視教材，夯實“四基”、發展“四能”才是高考備考的根本之策．

1. 回歸教材，強化基礎

回歸教材是提高復習備考教學質量的關鍵，要把備考重點放在對核心概念的本質理解上，放在知識體系的構建上，放在對通性通法的梳理與掌握上，放在思維能力的培養上，不斷夯實和深化“四基”、發展“四能”. 通過命題分析可以看出，大多數高考試題源于教材，因此復習備考過程中一定要重視教材. 所謂回歸教材，并不是要對教材中的內容和習題做簡單的重復，而是對概念本質的再認識和對知識形成過程中蘊含的數學思想方法的感悟，要養成基于概念進行思考的習慣. 基于數學試題的綜合性，要求教師在復習備考教學中幫助學生建立知識之間的聯系，建構完善的基礎知識、基本方法和基本思想體系，以便在遇到新問題時，實現思維與知識的遷移. 例如，在函數與導數單元復習中，需要建構起函數與方程、不等式、數列、圓錐曲線方程之間的聯系，從而實現思想方法的遷移，提升問題解決能力．

2. 以解題教學為抓手，全面培養數學閱讀、信息整理、批判性思維、語言表達等關鍵能力

高考是選拔性考試，考查的是學生在新情境下解決問題的能力，因此在教學資源的準備、課堂的組織形式、教學理念等方面必須做出相應的改變. 一方面，教師要研究高考試題，在做好解題分析和命題分析的基礎上，精選有挑戰性的問題作為例題，避免例題選擇的隨意性；另一方面，在解題教學中，一定要給予學生充足的時間，讓學生理解每個條件和結論的數學含義，明確要解決的問題. 在學生獨立探究問題解決策略的基礎上，與學生進行充分交流，在交流中發現學生在審題和尋找解題策略的過程中遇到的困難，并指導學生通過問題轉化，利用辯證思維和直覺思維等尋找解題的思路和方法，從而發展學生的思維能力. 隨后帶領學生進行解題和解題后的反思，幫助學生認清在基礎知識理解、通性通法掌握等方面存在的不足并進行完善與優化，逐步達成強化必備知識、發展關鍵能力的學習目標．

3. 將優化思維品質貫穿備考教學的始終

數學最終考查的是嚴謹的思維能力和優良的思維品質，如思維的邏輯性、敏捷性、創新性等. 在備考教學中，一方面，要注重引導學生多角度、多層次地思考問題，讓他們充分體會不同思維水平的方法對解決問題效率的影響；另一方面，通過強化規范的語言表達發展思維能力、優化思維品質. 我們知道，對于比較復雜的問題，尋找解決策略的過程往往是分析法與綜合法并用，但在試卷上的表達往往是綜合法，運用規范的符號、簡潔的語言表達推理與運算的過程并不容易，需要有意識地培養，特別是在解題教學的最后一個環節，要進行推證過程的規范化表達訓練，為學生充分展示規范的表達是怎樣的，哪些步驟是必要的，哪些是不規范的，進而達到打好基礎、發展思維的目的. 在一線教學實踐中，有許多有效發展思維能力的方法，教師需要根據實際學情，探索有效提升學生語言表達能力的教學方法，使數學核心素養的培育落到實處.

參考文獻：

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［6］章建躍. 回歸課標、重視教材才是王道：高三復習備考如何回歸教材（之六）［J］. 中小學數學（高中版），2024（6）：編后語.

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［8］喻平. 數學關鍵能力測驗試題編制：理論與方法［J］. 數學通報，2019，58（12）：1-7.

作者簡介：楊林軍（1964— ），男，正高級教師，主要從事高中數學教育教學研究；

肖志軍（1970— ），男，正高級教師，主要從事高中數學教學研究；

周當俠（1965— ），女，高級教師，主要從事高中數學教學研究．