簡樸自然 聚焦核心

摘 "要：對2024年高考復數與平面向量試題從考查內容、考查目標、命題意圖、試題亮點等方面進行分析，揭示復數和平面向量試題在考查基本概念的理解、運算能力的水平、多元聯系的表達、邏輯關系的內涵、幾何特征的應用等方面的做法，指出復數和平面向量專題的命題具有重視基礎、控制難度、突出思維、教考銜接的導向作用. 在此基礎上，結合實例對高考相關專題的復習備考提出教學建議.

關鍵詞：高考試題；命題導向；命題分析；復習建議

中圖分類號：G633.6 " " 文獻標識碼：A " " 文章編號：1673-8284（2024）09-0054-06

引用格式：金克勤，嚴永冬. 簡樸自然 "聚焦核心：2024年高考“復數和平面向量”專題命題分析［J］. 中國數學教育（高中版），2024（9）：54-59.

2024年高考復數和平面向量試題體現高考數學深化改革的意圖，考主干、考能力、考素養、重思維、重創新、重應用，突出考思維過程、思想方法和創新能力. 試題簡樸自然、聚焦核心，重視應用與拓展.

一、考查內容分析

1. 考試內容

復數考查的主要內容：復數的概念，復數的運算，復數的幾何意義，復數的性質（復數的模、共軛復數等）.

平面向量考查的主要內容：平面向量的概念，平面向量的線性運算，平面向量基本定理，平面向量的數量積，平面向量及其運算的幾何意義.

2. 試題類型

2024年復數和平面向量試題的題型有兩類，分別是單項選擇題和填空題.

3. 試題難度

2024年復數和平面向量試題充分體現了基礎性，試題基本都是容易題，難度估計值在8.0 ～ 9.0之間.

4. 試題分值

每份數學試卷中一般有一道復數試題和一道平面向量試題，總分值為10分，約占全卷總分值的6.7%，與復數和平面向量的課程內容占比相適應.

5. 隱性內容

復數和平面向量可以看作是二維的量的一體兩面. 復數和平面向量有相同的幾何表示，即都可以用平面內的有向線段來表示. 因此，復數和平面向量都是探究平面圖形性質的重要工具.

在高考中，除了顯性考查復數和平面向量的內容外，還隱性地考查了與復數和平面向量相關的數學知識和思想方法. 主要體現在以下兩個方面：在立體幾何和平面解析幾何中，用向量語言表示共線、點在線段上的位置、平行和垂直的關系等；在平面圖形中，在涉及長度、角度和面積等幾何量的問題中，利用復數和平面向量的概念及其運算解決有關問題，體現了復數和平面向量的廣泛應用性.

二、命題特點分析

1. 命題意圖分析

2024年高考復數和平面向量試題的命題導向，充分反映了對基礎知識、基本方法和關鍵能力的考查，在“不變”中強調對數學核心素養的考查，構筑學科考查基礎，反映學科教學水平. 試題充分彰顯了“回歸課標，重視教材，強化基礎”的意圖. 所有試題都能在教材中找到原型，強調只要認真做好日常教學，重視數學概念的理解，重視數學思想方法的培養，就能達到高考考查的要求. 下面將從五個方面分析2024年高考復數和平面向量試題的命題意圖.

（1）考查數學概念的理解.

概念是數學的基礎，理解概念是學生數學學習的基礎，重視概念教學是夯實學生數學基礎的關鍵，重視數學概念的考查也是高考命題的重要出發點.

例1 （2024年新課標Ⅱ卷·1）已知[z=-1-i]，則[z]的值為（ " "）.

（A）0 （B）1

（C）[2] （D）2

答案：C.

例2 （2024年全國甲卷·理1）若[z=5+i]，則[iz+z]等于（ " "）.

（A）[10i] （B）[2i]

（C）10 （D）[2]

答案：A.

考查目標：通過具體問題，考查學生對復數的模、共軛復數等概念的掌握水平.

命題意圖：通過設置與教材上的題目相近的情境和問題，考查學生對復數的基本概念的理解和對基本方法的掌握情況.

試題亮點：遵循課程標準，簡約質樸，引導教學.

拓展練習：（人教A版《普通高中教科書·數學》必修第二冊習題改編，多選題）已知復數[z1=1+2i]，[z2=2+3i]，[z3=3-2i]，[z4=-2+i]，則（ " "）.

（A）[z1=z2=z3=z4]

（B）[z2=z3]

（C）復平面上[z1]，[z2]，[z3]，[z4]對應的點在同一圓上

（D）復平面上表示復數[z1-z2]與[z4-z3]的向量共線

答案：ACD.

（2）考查運算能力的水平.

運算是數學的基礎，運算能力是數學運算素養的具體表現. 在復數和平面向量試題中，對運算的考查是永恒的主題，也是不容忽視的重點.

例3 （2024年新課標Ⅰ卷·2）若[zz-1=1+i]，則[z]等于（ " "）.

（A）[-1-i] （B）[-1+i]

（C）[1-i] （D）[1+i]

答案：C.

例4 （2024年北京卷·2）若復數[z]滿足[zi=][-1-i]，則[z]等于（ " "）.

（A）[-1-i] （B）[-1+i]

（C）[1-i] （D）[1+i]

答案：C.

考查目標：通過具體情境，考查學生對復數的運算法則和運算律的掌握水平.

命題意圖：通過設置與教材內容、例題、習題相似的問題情境，以學生熟悉的方式呈現問題，考查學生對數學運算的理解和對運算方法的熟練程度.

試題亮點：遵循課程標準，簡潔無華，重視基礎.

拓展練習：（2024年天津卷·10）已知[i]是虛數單位，復數[5+i5-2i]等于 " " " ".

答案：[7-5i].

（2024年全國甲卷·文1）設復數[z=2i]，則[z · z]的值為（ " "）.

（A）[-2] （B）[2]

（C）[-2] （D）[2]

答案：D.

（3）考查多元聯系的表達.

復數和平面向量有很多不同的表達形式，其幾何表示是其中一種重要的表達方法. 在數學中，一個概念真正重要的標志是它可以用許多不同的等價方法來表達. 復數有代數形式、三角形式、指數形式、矩陣形式和幾何表示；向量有數組、基向量、坐標表示、矩陣和幾何表示. 同一個數學對象的不同表達方式，極大地拓展了復數和平面向量的作用. 在高考中，復數和平面向量的符號表示和幾何表示之間的多元聯系是命題的重要內容.

例5 （2024年新課標Ⅰ卷·3）已知向量[a=][0，1，b=2，x，b⊥b-4a]，則[x]的值為（ " "）.

（A）[-2] " （B）[-1] " （C）1 " （D）2

答案：D.

例6 （2024年新課標Ⅱ卷·3）已知向量[a，b]滿足：[a=1]，[a+2b=2]，且[b-2a⊥b]，則[b]的值為（ " "）.

（A）[12] （B）[22]

（C）[32] （D）1

答案：B.

考查目標：通過設置幾何背景，考查學生對向量概念、向量運算、向量幾何意義等核心內容的掌握水平. 在解題過程中，考查學生的數學運算、直觀想象等素養.

命題意圖：設置平行、垂直、長度等幾何情境使問題有多種解決途徑，從而能在解決問題的過程中考查學生的數學思維能力，引導中學教學充分重視思維能力和解決問題能力的培養.

試題亮點：題干簡潔，表達雋永，含義深刻，解法多樣，體現了對學生能力和素養的考查.

例5有兩種主要解題策略. 一是運用向量的坐標進行運算：可以將[b-4a=][2，x-4]，[b⊥b-4a]轉化為[b · b-4a=0]，得到[4+x-4x=0]，從而求出[x=2]；二是運用向量的運算法則計算：因為[b · b-4a=][b2-4a · b=4+x2-4x=0]，所以[x=2].

例6有三種主要解題策略. 一是運用向量的坐標進行運算：設[a=1，0，b=x，y]，則[a+2b=][2x+1，2y]，[b-2a=x-2，y]. 由[b-2a⊥b]可以轉化為[b-2a · b=0]，得[xx-2+y2=0]. 由[a+2b=2，]得[2x+12+2y2=4]. 解得[x=14，y=±74]. 所以[b=][22]. 二是運用向量的運算法則進行運算：因為[a+2b=2]可以轉化為[a+2b2=a2+4a · b+4b2=4]，所以[4a · b+4b2=3]. 由于[b-2a⊥b]可以轉化為[b-2a · b=0]，即[b2-][2a · b=0]，從而[6b2=3]，可以得到[b=22]. 三是利用向量的幾何意義進行運算：[a+2b=2]可以轉化為[b--12a=1]，其構圖如圖1所示. 其中，[AO=a]，[AD=2a]，[AB=-12a]，[AP=b]，則[DP=b-2a]. 因為[b-2a⊥b]，所以點[P]在以點[O]為圓心，[OA]為半徑的圓上. 作[PC⊥AO]，垂足為點[C]，[BP=b--12a=1]，[OP=1]，所以[△POB]為等腰三角形，[OB=32]，[PC=1-342=74， AC=14]. 所以[b=AP=116+716=22].

從不同的解題過程中可以看出試題的本質及蘊含的深意.

拓展練習：（2024年杭州統考，多選題）已知向量[a=1，3]，[b=x，2]，且[a-2b⊥a]，則（ " "）.

（A）[b=1，2]

（B）[2a-b=5]

（C）向量[a]與向量[b]的夾角是[45°]

（D）向量[a]在向量[b]上的投影向量的坐標是[-1，2]

答案：BCD.

（4）考查邏輯關系的內涵.

充分條件、必要條件、充要條件等命題的邏輯關系不僅是理解數學概念的基礎，也是進行邏輯推理和數學證明的關鍵. 以命題之間關系為背景命制的試題，可以考查學生對復數和平面向量概念與性質內涵的掌握水平，能更好地從整體上評價學生的知識基礎和能力素養.

例7 （2024年全國甲卷·理9）設向量[a=][x+1，x]，[b=x，2]，則（ " "）.

（A）[x=-3]是[a⊥b]的必要條件

（B）[x=-3]是[a][∥][b]的必要條件

（C）[x=0]是[a⊥b]的充分條件

（D）[x=-1+3]是[a][∥][b]的充分條件

答案：C.

考查目標：以向量平行、垂直為背景，考查充分條件、必要條件等命題之間的關系. 同時，考查平面向量運算與向量平行、垂直的關系.

命題意圖：以平面向量的平行、垂直兩種重要位置關系為情境，實現對平面向量性質和運算，以及命題之間關系的考查. 通過考查知識之間的內在邏輯聯系，體會多層面考查數學基礎知識的內涵.

試題亮點：表達簡潔，源于教材，內涵深刻. 雖然看似簡單，但是得出正確結果卻不容易，具有一定的區分度，且對運算能力有一定的要求.

拓展練習：（2024年北京卷·5）設[a，b]是向量，則“[a+b · a-b=0]”是“[a=-b]或[a=b]”的（ " "）.

（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件

答案：B.

（5）考查幾何特征.

復數和平面向量作為與實數不同的運算對象，構建了完整的運算結構體系. 復數和平面向量的幾何意義既在加深對運算和性質的理解上起著十分重要的作用，又為解決幾何問題提供了強有力的工具. 在高考命題中，常以幾何圖形為背景，考查復數或平面向量的運算，利用幾何圖形的性質簡化向量或復數的運算，充分體現了數形結合思想.

例8 （2024年天津卷·14）正方形[ABCD]的邊長為1，[DE=2EC， BE=λBA+μBC]，則[λ+μ]的值為 " " " " ；若[F]為線段[BE]上的動點，[G]為[AF]的中點，則[AF · DG]的最小值為 " " " .

答案：[43]；[-518].

考查目標：以正方形中的向量為背景，考查學生對平面向量基本定理、共線向量的概念、向量線性運算和數量積、向量幾何意義等內容的理解和掌握，考查學生對向量知識和方法的綜合應用能力.

命題意圖：以正方形為背景便于學生選擇基向量或進行向量的坐標表示. 通過向量運算，運用數形結合思想簡化問題解決的過程，考查學生的綜合應用能力.

試題亮點：問題情境既熟悉又有新意，有多種選擇基底與建立坐標系的方法，方便學生選擇，能在選擇中培養學生的數學核心素養.

若以向量[BA， BC]為基向量，則[BE=CE+BC=][13BA+BC]，從而得到[λ=13，μ=1]，于是[λ+μ=43]. 可設[BF=tBE=13tBA+tBC]，其中[0≤t≤1]，則[AF=BF-][BA=13t-1BA+tBC]. 所以[AG=12AF=16t-12BA+][t2BC]. 所以[DG=AG-AD=16t-12BA+t2-1BC]. 所以[AF · DG=13t-116t-12+tt2-1=195t2-12t+92.]所以當[t=1]時，[AF · DGmin=-518].

若以點[B]為原點，分別以[BA，BC]所在的直線為[x]軸、[y]軸建立平面直角坐標系，則可得各點的坐標為：[A1，0]，[C0，1]，[C0，1]，所以[BE=13，1]. 于是[λ+μ=13+1=43]. 設[BF=tBE=13t，t0≤t≤1]，則[AF=13t-1，t， DG=16t-12， t2-1]. 故[AF · DG=][13t-116t-12+tt2-1=195t2-12t+92]. 利用函數性質可得[AF · DGmin=-518].

若從數形結合的角度分析：設[AB，AE]的中點分別為[M，N]，則點[G]的軌跡為線段[MN]. 設[DH⊥AF]，垂足為[H]（如圖2），則[DG]在[AF]上的投影向量為[HG]. 因此[AF · DG=AF · HG]. 考慮[AF · HG]的最小值，當點[F]從點[G]與點[H]重合的位置向上移動時，[AF]與[HG]反向，且[AF]與[HG]均增大，所以當點[F]與點[E]重合時，[AF · DG]最小，最小值為[-518].

從三種不同的視角審視解題過程，可以發現如何選擇一種符合學生自身水平的解法，實際上也是對學生數學素養的考查. 數學素養的底蘊越深厚，就越能找到簡潔的解法. 這也是考能力、考素養的表現.

拓展練習：（2024年浙江省重點中學聯考）正方形[ABCD]的邊長為1，平面內一點[P]滿足[AP=λAB+][μAD]，滿足[λ+μ=74]的點[P]的軌跡分別與[CB，CD]交于[M，N]兩點. 令[e1，e2]分別為[AB， AD]方向上的單位向量，[t，k]為任意實數，則[AM-te1+te1-ke2+][ke2-AN]的最小值為 " " " .

答案：[724].

2. 命題導向分析

根據對2024年高考復數和平面向量試題命題意圖的分析，我們可以發現試題有以下四個方面的明顯導向.

（1）聚焦主干知識.

復數和平面向量試題聚焦概念、運算、幾何意義等主干知識內容、主要性質、基本觀點和基本方法，著重考查數學的概念、思維和素養，突出數學的本質，不搞偏題、難題、怪題.

（2）控制試題難度.

復數和平面向量試題遵循教材的內容體系，體現數學課程標準的意志，所有試題都源于教材，體現了“突出本質，回歸課標，重視教材”的導向，并且很好地控制了試題的難度，為復數和平面向量內容的教學確定了標桿，指明了方向. 試題合理地控制了運算量，沒有繁難的運算，體現了“多想少算”的導向，能夠考查學生真正的數學素養.

（3）突出思維考查.

理性思維是數學的一大特征，對思維能力的考查是高考數學試題的一個重要目標. 復數和平面向量試題的情境、呈現方式和設問方式都體現了對學生的數學思維和數學能力的考查. 試題有多種解題方法，需要學生從中選取合理的方法來解決問題. 試題注重對分析問題能力和解決問題能力的考查. 通過將向量的垂直、平行的判定與常用邏輯用語結合，考查了學生對數學知識內涵的理解程度，也考查了學生運用數學思維解決綜合問題的能力.

（4）加強考教銜接.

復數和平面向量試題充分反映了對基礎知識和基本技能的掌握和應用的重視，體現了命題以課程目標和核心素養為導向的特點，重視內容的基礎性和方法的普適性，提示明確，反對套路，反對所謂的“二級結論”等死記硬背的復習方法，反對所謂的“妙殺術”等錯誤的解題導向；降低思維起點，增加解題的靈活性和開放性，從而引導數學教學和復習備考重視數學基礎知識、基本方法，強調對基礎知識、基本方法的深刻理解，注重培養學生的思維能力，注重發展學生的數學核心素養. 試題充分反映了“讓套路無效，訓練失靈，死記硬背不起作用”的明確導向.

三、復習教學建議

根據對2024年高考復數和平面向量試題命題導向的分析，表明了復數和平面向量命題的呈現方式穩定、考查要求基礎、考查內容全面等特點，突出主干內容的考查，注重思維能力的考查，加強關鍵能力的考查，著力將對能力和素養的要求反映在試題中. 加強考教銜接，引導高中數學教學，科學調控難度. 預測2025年高考復數和平面向量試題會繼續堅持高考改革的方向，試題的結構、分值和難度將會保持穩定. 試題將更加重視數學情境，以質樸簡潔的設問方式考查數學的核心知識，充分體現高考選拔人才和引導高中數學教學的功能. 為此提出以下四點復習備考建議.

1. 回歸初心，夯實基礎

高考復習備考要回歸數學教學的初心使命，圍繞數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的培養目標，設計復習內容，規劃復習流程；要合理規劃復習時間，立足課程標準，根據課程標準中的課程內容和學業質量標準確定復習目標；要通過對教材的再回顧、再學習形成知識的整體性和連貫性；要通過教材例題、習題的再審視、重溫習，理解課程內容的基礎性和數學方法的普適性. 事實表明，用好教材是高考復習夯實基礎的關鍵措施.

2. 深化概念，加強運算

根據對復數和平面向量試題命題導向的分析，備考復習要深化對復數和平面向量概念的理解. 其中，復數的表示、模、輻角、共軛復數等概念要在不同情境中加以深化理解；平面向量的表示、相等、共線、模、方向等概念可以與復數的概念進行對比，分析它們之間的異同，從而加深對概念的理解. 運算是復數和平面向量的核心，也是考查的重點，要在充分理解復數、平面向量運算法則和運算律的基礎上掌握運算方法，形成運算技能；要重視運算的幾何意義，加強運算的靈活性.

3. 數形結合，多元聯系

復數和平面向量都是二維的量. 平面上的點與復數、以原點為起點的向量都能建立一一對應關系，實際上這是一種同構關系. 因此，復數和平面向量的概念、運算都可以用平面圖形來表示. 這種內在的聯系往往成為命題的情境和解題的出發點. 高考復習中要突出數形結合思想，重視圖形的作用，加強復數和平面向量的聯系.

例如，設[a，b]為兩個垂直的平面向量，且[a=][2b=10]，當[0≤t≤1]時，記向量[ta+1-tb]與向量[t-15a+1-tb]的最大夾角為[θ]，求[cosθ]的值.

從向量的幾何意義分析問題. 根據圖3，可以知道[tanα=2t1-t]，[tanβ=2t-151-t]. 所以[tanγ=tanα-β=][tanα-tanβ1+tanαtanβ=251-t1-t2+4tt-15=251-t51-t2-3651-t+165=][2551-t+1651-t-365≤258-365=12]. 當[t=15]時，[tanγ]取最大值，最大值為[12]. 所以[tanθ=12]. 所以[cosθ=255].

從數形結合的角度分析問題. 如圖4，設[OP=][ta+1-tb]，[OC=15a]，則[CP=t-15a+1-tb]. 所以當經過O，P，C三點的圓與AB相切時，[OP]與[CP]的夾角最大. 此時，四邊形[OCPD]是矩形，得[OC=2]，[PC=4]. 所以[tanθ=12]. 所以[cosθ=255].

從復數的運算及其意義的角度分析問題. 因為[a=2b]，可以設向量[ta+1-tb]對應的復數為[z1=][1-t+2ti]，向量[t-15a+1-tb]對應的復數為[z2=][t-1+2t-25i]. 因此[z1 · z2=1-t2+2t2t-25+251-ti]. 若[z1，z2]的夾角為[γ]，則[tanγ=251-t1-t2+2t2t-25≤12]. 所以[tanθ=12]. 所以[cosθ=255].

復習中適當選擇一些綜合問題，可以加深學生對數學基本原理和方法的理解，有利于培養優秀學生，做到全面兼顧. 因此，要重視知識之間的內在聯系，引導學生在知識的相互關聯中深刻理解本質，掌握思想方法，提升數學核心素養.

4. 積累經驗，學會遷移

數學中唯一不變的是變化. 高考數學復數與平面向量試題的變化與發展，突出表現在遵循課程標準、深化理解、突出思維上，而且復數和平面向量的復習時間有限，因此要不斷積累學習經驗，并向縱深遷移.

例如，設函數[fz]（[z]為復數）滿足[ffz=][z · z-z-z2]，若[f1=0]，求[fi-1]的值.

此題實際上是要求從計算[z2=z · z]遷移到計算[fi-12=fi-1fi-1.] 計算[fi-1fi-1=][fi · fi-fi-fi+1]又可以遷移到計算[fi · fi][-fi-fi]. 因為[fi · fi-fi-fi2=fffi，]而[ffi=i · i-i-i2=1]，所以[fffi=f1=0]. 從而得到[fi-12=1]，即[fi-1=1].

像這種根據基本活動經驗不斷遷移變化從而獲得結果的過程，對于促進復習的深度和廣度是十分有必要的，因此可以根據學生的水平適當加以補充.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部教育考試院. 優化試卷結構設計 "突出思維能力考查：2024年高考數學全國卷試題評析［J］. 中國考試，2024（7）：79-85.

［3］教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］教育部考試中心. 中國高考評價體系說明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［5］教育部教育考試院. 深入考查基礎知識和能力，助力人才選拔和“雙減”落地：2023年高考數學全國卷試題評析［J］. 中國考試，2023（7）：15-21.

［6］任子朝，趙軒. 基于高考評價體系的數學科考試內容改革實施路徑［J］. 中國考試，2019（12）：27-32.

［7］孔峰，楊薇，李紅春. 立足數學運算能力 "強化數形結合思想：2023年高考“復數和平面向量”專題命題分析［J］. 中國數學教育（高中版），2023（9）：41-46.