基于深度學習的高中數學概念教學探究

摘要： 教學高中數學概念時， 不少教師強調學生學習時記憶概念、 解題時套用概念、 訓練中強化概念， 忽視了概念促進學生認知的價值， 導致學生習得數學知識卻無法轉化為數學認識。本文基于深度學習理論， 以“ 等差數列” 的概念教學為例， 圍繞創設問題情境、 巧用例題、 揭示外延、 課后拓展， 探討如何引導學生進行深度學習與思考。

關鍵詞： 深度學習 "高中數學概念教學 "等差數列

近年來， 深度學習成為新的教育熱點話題。所謂“ 深度學習” ， 是針對教學實踐中存在的大量機械學習、 死記硬背， 以及知其然而不知其所以然的淺層學習現象而提出的， 是為了促進學生學習， 改善課堂教學效果， 從而提升學習效率。

為了落實學生在教學活動中的主體地位， 基于深度學習的高中數學概念教學要求教師通過設計有效的教學方案來幫助學生通過深度加工把握數學知識的本質。郭華教授提出的“ 兩次倒轉” 教學機制，就是在深度學習視域下對概念教學的清晰解釋： 教學從根本上來看是一次“ 倒過來” 的活動， 把人類千百年來積累的知識經驗直接呈現給學生， 但在強調教育的基礎上， 還要考慮到學生的能力水平、 心理感受， 所以要將“ 倒過來” 的知識重新“ 倒回去” ， 即在教師的引導下， 學生能動地“ 經歷” 知識的產生、 發展過程。因此， 改進數學概念教學以支持深度學習的真實發生， 從而促進學生的長遠發展是當務之急、 重中之重。下面， 筆者以“ 等差數列” 的數學概念教學為例， 具體探討如何引導學生進行深度學習。

一、 創設情境， 刺激學生主動參與

一節成功的數學課往往始于精彩的導入， 情境創設在高中數學教學中具有重要的意義。因此可以通過創設生動有趣的教學情境來激活學生的數學思維， 利用有效的情境來喚醒學生的數學問題意識。畢竟， 學生在任課教師提示之前難以根據幾個數列一針見血地概括出數列“ 等差” 的共同特點， 但如果直接舉例引入， 教學又過于生硬、 突兀， 很明顯效果不佳。因此， “ 等差數列” 的概念這一節可以從以下幾個角度嘗試引入。

（ 一） 數學史情境

“ 萬物皆數” 是畢達哥拉斯學派的一個基本的信條。他們認為宇宙和自然界中的萬事萬物都包含數， 用數都可以解釋。圖1是由火柴棒拼出來的系列圖形。

思考1： 圖1中每個圖形由多少支火柴棒組成？

思考2： 你能不能嘗試繼續畫出幾個圖形？ 它們分別由多少支火柴棒組成？

設計意圖： 中學生好奇心重、 求知欲強， 具有探索精神， 從數學故事或數學史實角度來創設問題情境， 能夠激發學生的好奇心和求知欲， 吸引學生參與到問題解決過程當中。

（ 二） 跨學科情境

蘋果砸到大科學家牛頓頭上使其發現了萬有引力定律。一只蘋果以自由落體運動從樹上掉下來，思考下面兩個問題。

思考3： 蘋果在1秒末、 2秒末、 3秒末、 4秒末、 5秒末的速度為多少？

思考4： 蘋果在第1秒、 2秒、 3秒、 4秒、 5秒內的位移是多少？

教學反思： 運用學生已掌握的物理學科中自由落體運動知識引出課題， 讓學生發現數列與物理學科之間的聯系， 有利于數學概念的遷移應用， 達到深度學習的目的。

（ 三） 生活情境

王軍夫婦為了孩子上大學時有足夠的費用， 他們從孩子上七年級時開始存錢， 每年存款一次， 首次存款3 0 0 0元， 并計劃每年比前一年多存3 0 0 0元。思考5： 每年累計存款金額依次排成的數列是什么數列？

設計意圖： 根據數學知識的現實價值來創設問題， 將數學與實際生活相聯系， 從而讓學生理解數學的社會價值， 堅定學好數學的信心。

思考6： 請認真觀察以上情境中的數列， 它們有什么共同特征？

上述6道思考題可以得到6個特殊數列， 假設此時讓學生直接對數列的共同特點進行描述， 學生極有可能不會用數學化語言進行表達， 表達過于口語化， 如“ 相鄰兩項差相同” “ 后一項減去前一項的差相同” 等。這時， 教師需要舉出反例或加以追問， 啟發學生獨立思考或小組討論完善數列的共同特點，最終運用簡潔準確的語言生成等差數列的文字概念。

教師總結， 生成概念： 像這樣， 如果一個數列從第2項起， 每一項與它前面一項的差都等于同一個常數， 則稱這個數列為等差數列， 這個常數稱為公差， 通常用d來表示.

思考7： 生活中還有許多這樣的數列， 你能舉出這樣的例子嗎？

（ 1） 國際標準鞋號有：

2 2， 2 2. 5， 2 3， 2 3. 5， 2 4， 2 4. 5， …

（ 2） 某影院前8排的座位數分別是：

2 1， 2 3， 2 5， 2 7， 2 9， 3 1， 3 3， 3 5.

（ 3） 曉明最近一周的運動步數分別是：

5 0 0 0， 6 0 0 0， 7 0 0 0， 8 0 0 0， 9 0 0 0， 1 0 0 0 0， 1 1 0 0 0.

教學反思： 從各種現實問題中抽象出來的數列，學生更易接受， 也能讓學生初步感受到數學模型來源于實際問題。課堂導入環節是一節課的開始， 從學生感興趣的情境入手， 吸引學生的注意力， 能夠讓學生快速融入課堂氛圍， 是教師應該著重設計的教學點。中學生大多具有好奇心和求知欲， 只要教師進行恰到好處的喚醒， 整個教學探究過程就會輕松很多。

二、 巧用例題， 重視數學概念理解過程

當前的數學概念教學中， 教師普遍采用“ 一個定義， 幾項注意” 的教學方式， 但數學學科具有高度抽象性和概括性， 而數學概念又是數學知識的基礎， 所以數學概念也是抽象難懂的， 在概念建構的過程中學生往往會覺得枯燥無味， 難以理解。因此， 教師要注意適時設計例題， 通過精心設計的例題來幫助學生理解數學概念的內涵與外延， 通過小組合作、 師生對話、 生生對話等方式對概念要素作具體界定， 讓學生在對概念的變式、 正例、 反例做判斷的過程中更加準確地把握概念的本質特征。

教師引出等差數列的文字概念后， 接下來會通過各種方式強調概念中的重點字詞， 如“ 第二項起”“ 后一項減去前一項” “ 差” “ 同一個” “ 常數” ， 有的教師會著重圈出或直接點明， 但是這樣直截了當的指出， 總是不能引起學生的重視。其實， 教師不妨選擇利用下面的例1， 引導學生借助等差數列的概念辨別所給數列是否為等差數列， 通過求公差， 逐步領會和牢記概念中的關鍵詞。

例1 判斷下列數列是否為等差數列。如果是， 請指出公差; 如果不是， 請說明理由。

（ 1） 1， 2， 4， 6， 8;

（ 2） 1， 1， 1， 1， 1;

（ 3） 6， 4， 2， 0， -2;

（ 4） 1， 2， 1， 2， 1;

（ 5） -3， 0， 3， 9， 6;

（ 6） a ， 2 a ， 3 a ， 4 a ， 5 a .

數列1強調“ 從第2項起” ; 數列3強調“ 后一項減前一項” ; 數列6強調“ 常數” ; 數列4和數列5強調“ 同一個” ; 數列2強調“ 常數列是特殊的等差數列” 。

數學語言分成文字語言、 符號語言、 圖形語言，因此在引出等差數列的文字概念之后， 教師通常還會設計教學環節引出等差數列概念的符號表征。但是， 學生對等差數列的概念認識不到位， 在此之前也沒進行過從文字直接抽象為符號的嘗試。這時， 教師不妨利用例2， 引導學生認識一種更能體現數列本質的表示方式。

例2 根據下列數列{ an} 的通項公式， 判斷其是否為等差數列， 并說明理由。

（1）an=9

（2）an=9n+1

（3）an=1-9n

（4）an=n2

教師組織學生分小組討論，然后針對不同小組 的答案進行引導。

師：如何判斷一個數列是否是等差數列？

生1：我會嘗試代入n=1，2，3，4…，求得各項 的值，再進行判斷。

生2：我認為可以根據等差數列的定義，先求得 an+1，然后將an+1與an作差看得到的結果是不是 一個常數。

此時， 問題自然而然得以解決， 并且抽象出等差數列概念的符號表征， 同時學生也會發現， 還可以通過通項公式來判斷數列是否為等差數列。

教學反思： 在一篇優秀的教學設計中， 例題的作用一定是輔助學生理解新知， 啟發學生厘清思路， 發散思維， 主動參與到課題探究中， 有助于達到深度學習的目的。死記硬背不能稱為深度學習， 要想讓學生真正主動， 就得用鮮活的例子說服他們。

三、 揭示外延， 建立與相關概念的聯系

概念是知識的細胞， 是最基本的科學理論知識，人們應用概念可以把復雜事物簡單化。數學概念具有高度的抽象性， 是“ 抽象之上的抽象” 。數學概念之間關系密切， 往往先前的概念是后續概念的基礎，所以在等差數列概念教學中， 教師要用新概念的學習激活學生已知的一次函數相關概念。

“ 等差數列的概念” 一課的教學中， 教師教完例2后， 可以通過問題引導學生做一點小探究。

師： 從例2我們能得到什么啟發？

生1：如果給出數列的通項公式，要判斷是否為 等差數列，只須判斷“an+1一a?”是否為常數。

生2：若數列的通項公式是關于項數n的一次 函數，則該數列為等差數列，特別的，如果數列是常 數列，則該數列也為等差數列。

師：如何證明你的猜想？

生2：常數列其實就是公差為0的特殊的等差數 列，而當數列的通項公式是關于項數n的一次函數 時，就可以設an=kn+b（k、b為常數），則an+1= k（n＋1）＋b，an+1－an=k（n＋1）＋b-（kn＋ b）=k（常數），所以數列{a?}是等差數列。

師：誰還有不同的想法嗎？

生3：若數列{an}是等差數列，則通項公式可以直接寫成an=kn+b（k、b為常數），也就是說，等差數列其實也是一次函數。

學生最后這一猜想正好引出了一個新的問題——等差數列的通項公式是什么， 這正是后續要學習的新內容。

教學反思： 學生的交流思辨， 揭示了等差數列和一次函數的關系， 呼應了上節所學內容， 即數列概念的核心——數列是一種特殊函數。學生通過具體的實例感受到數列和函數的聯系。在之后研究數列時， 也可以嘗試從函數的角度出發， 雖然知識變化了， 但是研究的思路和方法不變， 從而驗證數學知識的連通性。

四、 課后拓展， 促進對數學概念的深化和理解

鞏固概念是概念教學中的一個重要環節。概念一旦獲得， 如不及時鞏固， 就會被遺忘。在學生理解了等差數列概念的基礎上， 教師可以選取同類問題，讓學生體驗運用概念解決相同問題的過程。知識來源于生活， 又將應用于生活， 教師通過課后拓展活動使學生感受客觀知識和生活的聯系， 從而達到深度學習的目的。

講授完“ 等差數列的概念” 一課后， 教師不妨布置如下課外拓展作業。

課外探究題 2 0 2 2年北京冬奧會開幕式上“ 二十四節氣” 倒計時驚艷全場， 它將中國的物候文化、傳承久遠的詩歌、 現代生活的畫卷和諧統一起來。如圖2所示， 相鄰兩個節氣的日晝長變化量相同， 冬至最長， 夏至最短， 周而復始。

思考8： 你能發現其中的數列相關問題嗎？ 你還能找出與冬奧會相關的哪些數列問題？

設計意圖： 教師將數列知識與冬奧會相聯系， 引導學生用數學的眼光來看待冬奧會， 在奧運會中感悟數學， 讓數學知識回歸學生生活。這樣的教學設計， 不僅可以增強學生將數學應用于生活實際的意識， 更體現了深度學習遷移應用的教育價值， 通過學習數學文化， 增強學生對古代數學文化的熱愛及民族自豪感。

結語

數學中的概念是在其他概念的基礎上建立形成的， 這些概念必須以語言形式在邏輯上加以定義和固定。數學學科的表述形式也因數學概念的這一特點而更加簡潔、 清晰和準確。因此， 學生也就能夠在很短的時間內掌握大量的數學概念及其系統。數學學科的深度學習， 便可以從數學概念教學出發： 創設問題情境， 刺激學生主動參與; 巧用例題， 重視數學概念理解過程; 揭示外延， 建立與相關概念的聯系課后拓展， 促進對數學概念的深化和理解。

深度學習不是一個簡單純粹的概念， 也不是某種特定的教學模式， 它需要一線教師在日常教學活動中逐漸滲透， 而每個教師對深度學習的理解都不一樣。在實際教學過程中， 教師要做到視學定教， 根據學情和教學內容， 采用恰當的教學策略和方法， 將深度學習當作最終目的， 從而提升學習效率。

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責任編輯： 唐丹丹