發展中學生數學建模素養的教學研究

摘要：從小學階段的模型意識，到中學的模型觀念，再到高中階段的數學建模，學生將經歷一個螺旋上升的認知過程.學生將對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識，知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑.因此本文中以“用一元二次方程解決利潤問題”為例，說明發展中學生數學建模素養可以以數學實際問題為載體，引領學生進入真實情境，借助分析工具，靈活遷移數學模型.在初中階段可以基于生活現實，發展學生建模意識；基于數學理解，激發學生遷移建模；基于核心素養，鼓勵學生建模探究.

關鍵詞：一元二次方程；真實情境；數學建模；學科素養

從小學階段的模型意識，到中學的模型觀念，再到高中階段的數學建模，學生將經歷一個螺旋上升的認知過程，其中“模型觀念”是初中數學核心素養的9個表現形式之一，在此觀念的引領下，學生將對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識，知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑.本文中以“用一元二次方程解決銷售問題”教學為例，談一談對于發展中學生建模素養的教學思考.

1 案例分析

1.1 問題呈現回顧模型

例1""某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利30元.為了即將到來的“雙11”大促銷，商場決定降價銷售.經調查發現，如果每件降價5元，那么商場平均每天可多售出10件.若設每件降價1元，則每件的利潤為_____元，平均每天可售出襯衫_____件，每天的利潤為_____元（用含x的代數式表示）.

問題1""你能找出哪些熟悉的銷售常用量？

問題2""嘗試說出它們之間的聯系.

教學分析與建議："建立模型解決問題首先應該剖析各類問題中普遍存在的核心概念和定義，只有總結歸納出具有代表性的模型，建立在通性通法的基礎之上的模型才具備研究學習的價值.在教學初始，通過商場銷售真實場景的還原，讓學生回顧并厘清各個量之間的聯系.在此基礎之上，學生可以用各個相關量來表述.這個過程通過情境問題的再現回顧數學模型.

1.2 借助圖表構建模型

例2""在杭州亞運會期間，某網店直接從工廠購進吉祥物“飛飛”毛絨公仔，進貨價為25元/件，銷售價為37元/件.亞運會臨近結束時，該網店打算把該款公仔調價銷售，如果按照原價銷售，每天可售出4件.經調查發現，若每降價1元，則平均每天可多售出2件.將銷售價定為多少元時，才能使該公仔平均每天銷售利潤為90元？

師：這個情境中同樣有我們剛剛分析出的幾個銷售相關量嗎？

生：是的，在這個情境中有銷售價、成本價、利潤、銷售量等.

師：你能尋找一種簡明的方式或借助某個數學工具來表述其中數量關系嗎？

生：既然銷售價、成本價、利潤、銷售量這些量是不同數量關系中所共同的量，那么我們可以嘗試用表格來表示，表頭是這些共同的量.

師：請同學們小組合作，嘗試制作關于本銷售情境各個量的關系圖表.

教學分析與建議："用方程解決實際問題需要三步.首先，要讀懂所給情境的文字表述.其次，要分析數量關系，弄明白數學模型以及模型之間的關系，建立適用的方程模型.最后，要解決模型中的數學問題，能把模型一般化.在簡單套用方程建模的過程中，識別并套用標準模型即可解決，這也是培養學生數學建模能力再現水平的重要途徑.在本案例這一活動的實施過程中絕大多數學生不會表述數量關系，不清楚各個數量之間有怎樣的關系.這時就需要教師能不斷地引導和啟發學生.例如本文中的銷售利潤類問題，銷售價、成本價、利潤量、銷售量這些量是不同銷售問題中共有的相關量，應當使用表格工具將其整合并簡明地表達.

思考1："應該怎樣設計表格？

思考2："銷售場景中打折行為是否影響其他量的變化？

思考3："這些變化如何在表格中表述出來？請填寫表1.

1.3 聚焦疑難內化模型

隨著例2提出的問題，學生在引導下已經將銷售情境中各個量較為清楚地呈現在表格中，下面就是將題干中的數據經過分析后填入表格.

師：請同學們依次分析一下各個量，嘗試將表格補充完整.（學生獨立思考并完成，教師用多媒體演示學生的成果，生1、生2的成果分別見表2、表3.）

師：觀察兩位同學的表格，有不同之處嗎？

生1：我發現這兩個表格中盈利率的表述不一樣，生2的表格描述了降價后盈利90元.

生2：我發現這兩個表格中銷售價和銷售量表述不一樣.

教學分析與建議："建模的核心任務是抽象問題，弱化對結果影響不大的無關信息，保留最關鍵最本質的要素，使模型具有普適性，簡單化.這一環節教學的關鍵在于借助表格找到數量關系并用等式表示出來，從而建立模型.在這個教學過程中，學生的表述多是散點式的，這就需要教師進行相應的引導和總結.如前面兩位學生在盈利率這一塊的表述就不同，教師可以引導學生再審題，就會發現是其中一位學生漏掉了問句中“利潤為90元”這個信息.再來看這兩位同學所設的未知數表示的量也不同，一個設的是打折后的銷售價，另一個則用直接法來設未知量.例如，在這里如何幫助學生理解“每降價1元，則平均每天可多售出2件”是關鍵.減少一個1元，那么在銷量為4件的基礎之上增加1個2件，那么降2元銷量應該為多少？銷售價減少x元銷售量又應該為多少呢？教師應在學生理解的難點處搭設腳手架來幫助學生.最后，讓學生學會借助圖表找出相應的數量關系，構建恰當的方程是解決問題的重點.在教學中“利潤=售價—成本”這一等量關系，在上述活動中教師引導學生關注“利潤為90元”這一信息，即可建立相應的方程，從而解決問題.

1.4 思維發展遷移模型

例3""某家電公司銷售某一品牌的電視機，在一定范圍內，每臺電視機的進價與銷售量有如下關系：若當月僅售出1臺電視機，則該電視機的進價為0.27萬元，每多售出一臺，所有售出的電視機的進價均降低0.001萬元/每臺，月底廠家根據銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10臺以內（含10臺），每輛返利0.005萬元；銷售量在10臺以上，每臺返利0.01萬元.

問題1""請你設計一個問題，讓同桌來解答.

問題2""你會用什么方法來解決？

問題3""還有沒有其他更優的方法？

教學分析與建議："在傳統課堂中，單向交流的課堂教學模式會極大地阻礙學生的思維發展，因此，在核心素養的指導下，教師應當變單問交流向為多向溝通，積極創造學生發展建模思路的通道，為培養學生建模能力發力.在本活動中，通過自主分析與合作交流，促使學生在編制題目的過程中能提出問題、分析問題，進而解決問題.不同于例2，這一真實場景中又添加了銷售返利，銷售量的多少還關聯著銷售返利的多少.學生通過對模型的認識與分析，對相關模型的建立已有基本的認知，在此基礎上學生可以根據真實的問題情境合理建模.這樣不僅能鍛煉學生的思維能力，也能更好地提升他們的建模素養.

2 指向數學建模素養的教學思考

2.1 基于生活場景培養建模意識

數學模型是數學理論與實際問題相結合的一門科學，它將現實問題歸結為相應的數學問題，從數學的角度來刻畫、分析和解決問題.學生學習新知識往往是建立在已有的舊知識和生活實際基礎之上，將現實生活中發生的與數學學習有關的素材情境化引入課堂，容易激發學生的興趣，激活已有的生活經驗，學起來會事半功倍.在傳統數學教學中，多以大量的練習輔助學生鞏固和應用新知識，學生也浸沒在題海中，甚至有時疲于應付，學習效果很低.因此，筆者建議教師多用生活場景來引導，帶領學生進入問題，從而挖掘學生解決問題的需求和興趣.因而在本節一元二次方程的應用課上，設置了多個真實的問題情境，這樣學生能更好地融入情境，在教師的引導下感受建模的需求，而非練習題推動下的被動解題練習課［1］.

2.2 基于數學理解遷移建模方法

在學生初步形成數學建模思想后，僅僅通過教材中的內容無法體現數學模型的工具性特征.為了確保學生能夠運用建模方法解決生活中的數學問題，教師需要加強數學實踐活動的組織，促使學生在課堂實踐活動中靈活運用模型解答典型數學問題.故在本次教學中，教師不斷變化題干中與銷售相關的條件，不只關注演示推理、講解提煉，更是放手讓學生主動歸納總結，運用表格引導學生從初看起來雜亂無章的現象中去積極發現、歸納，培養學生把客觀事物的原型與抽象的數學模型聯系起來的能力.只有讓學生動手實踐、自主探索，在合作的基礎上推導出公式，才能真正在他們心中構建出正確又便于理解的數學模型.在模型教學逐漸熱門的課堂中，也存在不少的問題.學生容易拿著模型，對著題目生搬硬套，使建模學習變得教條化、僵硬化，違背了原本發展建模意識的初衷［2］.因此，這就要求教師在培育學生的建模意識時，一定要講清原理，講透方法，讓學生在理解的基礎上，靈活地遷移模型，解決問題.

2.3 基于核心素養提升建模素養

從學生眾多個性化的體驗中引導他們提煉出具有共性化的數學本質，這是數學建模過程中最重要的環節，也是最難的環節，需要較強的教育智慧.在自主探索的基礎上，教師給學生提供充分表達自己見解的機會，闡述探究過程、得出的結論及疑難問題，然后根據學生反饋的信息組織引導學生通過交流發言、小組討論、據理辯論等多種互動形式進行評價辨析，使學生的認知結構更加穩定和完善.在建模的重要過程中，教師要重視學生的檢驗驗證能力的培養，引導學生在質疑中體驗，在體驗中論證，在論證中提煉，從而得心應手地構建數學模型解答數學問題.來自生活的實際問題對模型的合理性和存在性有一定的限制和約束，可以發現在本堂課中，教師引導下學生建立的模型不一定相同，因此務必要鼓勵學生互相交流，自行探究模型的合理性問題，在嚴謹的思考下對問題的結果作出取舍［3］.

參考文獻：

[1]付小飛.深入本質 立足建模 提升思維——“用一元一次方程解決利潤問題”的教學與思考[J].中學數學月刊，2022（9）：37-38，42.

[2]王龍，柳雪.立足解題教學 精準滲透模型思想——以一道?？季C合題的教學策略為例[J].中學教研（數學），2022（12）：14-17.

[3]劉春陽.指向核心素養的初中數學建模意識培養實踐[J].中學數學教學參考，2022（32）：76-78.

課題信息：江蘇省中小學教學研究室重點課題“基于數智融合培養初中生數學建模能力的創新探索與路徑探析”，課題編號為2021JY14-ZB04；江蘇省教育學會規劃課題“指向核心素養的數學建模教學研究”，課題編號為22A00QTJS35；無錫市教育學會課題“基于數學核心能力的初中數學建模教學研究”，課題編號為XH2022313.