借助圖表直觀解決真實情境中的數學問題

摘要：基于真實情境的中考數學試題具有開放性、復雜性和挑戰性，往往給學生帶來了理解上的困難，而圖表恰恰是幫助學生“一眼就看出結論”的利器.文章結合2024年部分數學中考試題提出運用圖表工具解決真實情境中數學問題的教學策略，并給出教學建議.

關鍵詞：真實情境；幾何直觀；圖表工具；問題解決

2024年全國各地的中考數學試題較好地落實了《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）的要求，能夠結合學生認知水平和生活經驗，設計真實合理的生活情境、數學情境和科學情境，提出有意義的數學問題，實現了對核心素養導向的義務教育數學課程學業質量的全面考查.從考查的結果分析，部分學生對于在真實情境中解決數學問題往往感到陌生，甚至束手無策，不能夠用數學的眼光分析、解決數學問題.因此，基于真實情境的中考試題往往成為考生得分的短板，如何幫助學生在真實情境中分析、解決問題呢？俗話說：“一圖勝千言.”圖表具有信息量大、整體性強、直觀明了等特點，常成為人們表達、交流思想的重要工具.從數學角度來看，圖表屬于多維結構，如平面圖形、表格、坐標系都是二維的，它能夠便于表達兩個量之間的關系，從而直觀地顯示出其中的規律.因此，在所有數學領域的學習和研究中，都需要幾何直觀這一素養[1].下面以“2024年全國各地部分數學中考試題”的考查為例，淺談運用圖表工具幫助學生表示、分析問題情境中的數量關系，構建模型，解決問題.

1 借助線段示意圖，直觀輔助建構方程

德國哲學家康德曾說：“如果沒有感性，則對象不會被給予；如果沒有知性，則對象不能被思考；沒有內容的思想是空洞的；沒有概念的直觀是盲目的.”真實情境中的應用題文字敘述比較抽象、數量關系比較復雜，而初中生又處于具體形象思維向邏輯抽象思維的過渡階段，對于一些抽象問題理解起來比較困難，在學習過程中往往需要感性材料來支撐.線段圖在解題中起到了重要作用，它能把抽象的概念形象化，把隱藏的數量關系顯性化，便于學生準確地找出數量間的對應關系.

案例1""（20245宜賓）元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行駛了12天，問快馬幾天可以追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數是（""）.

A.5天""B.10天""C.15天""D.20天

評析：本題是元代算學名著《算學啟蒙》中的“馬匹行走”問題，它以古代的“行程追及”問題為背景，考查學生在真實情境中列方程、解方程的能力.為了更好地建立方程模型解決問題，可以借助線段示意圖表示有關的數量及其關系.線段示意圖可以直觀、形象呈現數量關系，將復雜的語言文字轉化成圖形語言以幫助學生分析問題.如圖1，設快馬x天可以追上慢馬，則線段AB表示慢馬先行12天的路程，線段AC表示快馬追上慢馬時行駛的路程，在快馬追及的過程中，慢馬與快馬又走了相同的天數，即線段BC表示慢馬后來走的路程.

根據快馬追上慢馬時，兩馬跑的路程相同.從線段圖可以直接看出：AC＝AB＋BC.于是，設快馬追上慢馬的天數是x天，根據題意得240x＝150（x+12），解得x＝20，所以快馬追上慢馬的天數是20天.故選：D.

因此，在初中階段的教學中，教師要讓學生充分認識到線段圖的優勢所在.

借助線段圖，可以化抽象的語言為具體、形象、直觀的圖形，從而找到解決問題的路徑，并進一步優化學生思維，發展學生的幾何直觀.

2 借助二維表格，直觀分析數量關系

波利亞在《怎樣解題》中認為：“解題就是在原先隔開的事物或想法之間去找聯系，這種聯系就像一座橋，像是一座由一系列結論組成的鏈.”在平時的教學實踐中經常發現，學生解應用題普遍感覺困難，究其原因是缺乏有效分析題目中各個數量之間的聯系以及應該根據哪個量或哪句話列式的能力.而列表格正是這樣的“橋”和“鏈”，它能夠有助于清楚地分析數量之間的關系，對順利解決問題行之有效.

案例2""（20245廣元）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023

年開始通過“拆違建綠、見縫插綠”等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”.現需要購買A，B兩種綠植，已知“A種綠植”單價是“B種綠植”單價的3倍，用6 750元購買的“A種綠植”比用3 000元購買的“B種綠植”少50株.設“B種綠植”單價是x元，則可列方程_____.

評析：本題考查由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.但生活化情境給學生帶來了理解上的困難，學生習慣了解答具體、簡單的幾何圖形的題目，對復雜的生活情境，缺少抽象和分析的能力.再加上本題中涉及的數量較多、數量關系比較復雜，問題的表述也增加了無用或干擾的信息，不利于學生分析其中的等量關系.因此，需要用適當的方式將相關的數量和關系直觀地表示出來.二維表格能夠直觀地表示不同對象的多個數量，有效過濾無用或干擾信息，在問題解決中有著獨特的作用.根據題意，以“A，B兩種綠植”為研究對象（兩行），分別表示它們的具體項目即購買費用、單價、數量（三行），構造“兩行三列”的二維表格（如表1）.

由“A種綠植”單價是“B種綠植”單價的3倍，且“B種綠植”單價是x元，則“A種綠植”單價是3x元.根據用6 750元購買的“A種綠植”比用3 000元購買的“B種綠植”少50株，可得方程6 750/3x＝3 000/x－50.列表法給學生提供了一種通用的分析方法，它讓已知、未知的量都參與到解決問題的核心——列關系式，這是算術方法無法比擬的.在初中階段的教學中，要引導學生借助二維表格分析實際問題中的相等關系（不等關系），并通過列方程（不等式）解決問題，養成利用圖表解決問題的習慣，從而積累學習經驗.

3 借助幾何圖形，直觀發現數學結論

華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.”數和形是數學研究和學習的基本對象，相對而言，形直觀而數抽象.在初中階段，數形結合已經成為學生學習數學和解決問題的基本工具.通過數形結合，可以幫助學生借助圖形特征理解代數表達式中數量關系的意義.

案例3""（20245德陽）寬與長的比是5-1/2的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協調的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計.已知四邊形ABCD是黃金矩形（AB＜BC），P是邊AD上一點，則滿足PB⊥PC的點P的個數為（""）.

A.3

B.2

C.1

D.0

評析：黃金分割在現實生活中廣泛存在，它在建筑、藝術上有著廣泛的應用.本題考查黃金分割及矩形的性質，巧用數形結合思想是解題的關鍵.根據題意，由PB⊥PC，可知點P在以BC為直徑的圓上，得出AD與此圓的位置關系即可解決問題.

如圖2，以BC為直徑作⊙O，再判斷AD與⊙O交點的個數.因為四邊形ABCD是黃金矩形，所以AB/BC＝5-1/2.令AB＝CD＝（5－1）a，AD＝BC＝2a，則⊙O的半徑為a，又圓心O到AD的距離為（5－1）a，顯然（5－1）a＞a，所以AD邊與⊙O相離，則AD邊上滿足PB⊥PC的點P的個數為0，故選：D.

幾何研究的對象是圖形，它具有整體、直觀、形象、多維的特點，幾何直觀就是利用圖形的這些特點去探究、描述、分析和洞察事物的關聯與結構，感悟事物的本質.因此，日常教學中要引導學生看“圖”說話，借“圖”表達，畫“圖”探究，通過畫圖表的方式，尋找解決問題的思路.增強學生數形結合的意識，發展學生利用圖形理解數學概念的幾何直觀素養.

4 借助樹狀圖，整體把握解題思路

數學家黎曼說：“每一個數學公式的背后都有一個反映其本質的幾何模型.”其實，許多數學問題的背后都有一個幾何模型，這就需要充分挖掘數學問題的幾何意義，構建直觀模型，使復雜問題簡單化，從而有效突破難點，整體把握解決問題的思路.

案例4""（20245河南）豫劇是國家級非物質文化遺產，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛.正面印有豫劇經典劇目人物的三張卡片如圖3所示，它們除正面外完全相同.把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機抽取一張，兩次抽取的卡片正面相同的概率為（""）.

A.1/9

B.1/6

C.1/5

D.1/3

評析：枚舉、畫樹狀圖和列表等方法是分析簡單隨機事件所有等可能結果的常用方法，為了說明的方便，將三張卡片分別記為A，B，C，畫樹狀圖（如圖4）.

由樹狀圖可知，兩次隨機抽取共有9種等可能的結果，其中“兩次抽取的卡片正面相同”的結果有3種，故P（兩次抽取的卡片正面相同）＝3/9＝1/3.因此選：D.

在概率計算中，樹狀圖法就是借助樹狀結構的分層特征，逐一枚舉某一事件可能發生的所有情況，從而直觀求解的一種解題方法.它的優點是能直觀、清晰地呈現出所有可能的情況，避免重復或遺漏.利用樹狀圖可以清晰地表示出某個事件發生的所有可能出現的結果，從而較方便地求出某些事件發生的可能性.

5 教學建議

5.1 創設真實情境，激發學習興趣

（1）以“情”激趣

《標準》在試題命制中指出：“試題的命制要創設合理情境，根據考查意圖，結合學生認知水平和生活經驗，設置合理的生活情境、數學情境、科學情境，關注情境的真實性，適當引入數學文化.”[2]而大部分學生在面對數學情境時往往存在畏難心理，且閱讀能力不強.日常教學中要根據學生的知識與生活經驗，為學生提供數學概念的現實背景，讓學生體會“數學來源于生活，生活中處處有數學”，從而感受相關數學概念學習的必要性，充分激發學生的學習興趣.

（2）以“境”育人

數學文化教育是數學教育的一部分，教學中要適當引入數學文化素材，如黃金分割、三角形的重心，以及中外古代數學文獻中如“馬匹行走”“圓材埋壁”“古塔測高”“隔河測距”等應用素材，強化情境的育人功能，引導學生在學習知識的同時，感受中外文化的魅力.

5.2 注重數形結合，發展幾何直觀

（1）加強識圖訓練

由于圖表在揭示變量之間的數量關系和變化規律方面有獨特的作用，能為數學思考提供方向.日常教學中，要讓學生感受圖形的力量，這里的圖形不僅僅是幾何圖形，還包括線路示意圖、表格、樹狀圖等.

（2）加強形數聯系

由于數形結合是培養學生幾何直觀的有效途徑，因此在日常教學中可以通過“看圖說話”，引導學生由圖形去尋找實際背景、想象實際情境；反過來，也可以“由數想形”，由實際情境中的數量關系想象、繪制大致圖形.從正反兩個方面發展學生的幾何直觀素養.

5.3 重視聯系實際，落實核心素養

（1）關注情境的真實性

情境的設置不僅要符合學生的認知規律，還要符合知識的發生發展過程.在構造情境時，應注意其條件、結果與現實情況相符，提出的問題應盡可能地貼近學生生活現實，揭示數學本質，體現必要性.在情境教學時，教師需要為學生預留一定的自主思考時間和空間，只有這樣才能利于學生了解數學知識的產生與來源、結構與關聯，幫助學生強化對概念的理解，有效鍛煉學生的自主探究能力.

（2）關注情境的多樣性

教學中要積極創設各種情境，包括現實情境、數學情境、科學情境，在情境中讓學生經歷發現和提出問題、分析和解決問題的過程，培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等能力，從而落實用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界的數學核心素養.

參考文獻：

[1]鮑建生，章建躍.數學核心素養在初中階段的主要表現之三：幾何直觀[J].中國數學教育，2022（Z3）：3-9.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

課題信息：江蘇省中小學教學研究第十五期立項課題“真實情境下發展初中生幾何直觀素養的實踐研究”，課題編號為2023JY15-L63.