指向運算能力的“理、法、用”三位一體教學策略

摘要：運算能力是義務教育階段的數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，然而研究表明初中生的運算能力較為薄弱，其主要原因是算理模糊、算法選擇不合理、實際應用與代數(shù)推理能力不足等.因此文章提出“理、法、用”三位一體的教學策略，即借助具象表征，深入算理理解；巧設一題多解，關注算法選擇；設置實際練習，加強靈活應用；滲透代數(shù)推理，提升邏輯思維.

關鍵詞：運算能力；算理；算法；應用；教學策略

1 引言

運算能力是進行數(shù)學學習和探究的基礎能力之一[1]，培養(yǎng)運算能力可以有效促進人的思維發(fā)展，對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升具有重要價值[2].林崇德指出：教師應當抓住初中運算能力快速發(fā)展的關鍵期.

但通過對初中生的相關調查發(fā)現(xiàn)，學生的運算能力處于中等水平[3].其主要原因在于：第一，學生對運算意義的把握不到位，對算理模棱兩可，且不容易理解抽象的算理；第二，學生不能選擇合理的運算策略進行運算，在可以有簡便方法的時候，也只會用常規(guī)的方法運算，往往導致費時費力還無法正確解答；第三，學生的思維不夠靈活，運算推理有待提高.事實上，初中學生已經初步具備邏輯思維能力，但在實際問題的解決過程中，他們通常太依賴自己的感覺，思考不到位，邏輯不嚴謹，且實際應用能力也有待進一步加強.

提高運算能力作為數(shù)學學習的重要目標之一，探究算理和掌握算法是其中的兩大任務，且算理與算法作為運算能力的要素，更是發(fā)展學生運算能力不可回避的關鍵部分，而應用可以讓學生對算理的理解更透徹，讓算法更靈活，讓算理和算法得以融合.算理、算法和應用三者之間是相輔相成、內在一體的關系.而對于算理、算法、應用三者學習的先后順序無需做硬性規(guī)定，既可以在應用的基礎上理解為什么這樣算，也可以先把握算理，再去掌握算法，不強調先后順序，只強調三者的密切關聯(lián)性和重要性，即由算理提煉出算法，明確算法后又能對算理更加熟練化，算法也是應用的快捷操作方式，應用又反過來促進算法靈活化并能加強對算理的深入理解.“理、法、用”三位一體圖示如圖1.

算理、算法、應用三者之間相互聯(lián)系、相互促進、相互支撐并環(huán)環(huán)相扣，將三者巧妙地融合到數(shù)學教學中，充分發(fā)揮三者的作用和價值，進而更好地促進學生運算能力的發(fā)展，即指向運算能力的“理、法、用”三位一體的教學.

2 指向運算能力的“理、法、用”三位一體教學策略

基于上述分析，文章充分發(fā)揮算理、算法、應用三者的價值，提出指向運算能力的“理、法、用”三位一體教學策略，即借助具象表征，深入算理理解；巧設一題多解，關注算法選擇；設置實際練習，加強靈活應用；滲透代數(shù)推理，提升邏輯思維.

2.1 借助具象表征，深入算理理解

算理往往比較抽象，學生不容易理解，因此他們通常會對法則進行機械性記憶，學習模仿能力比較強，按照法則的要求套用每步運算，但是并沒有掌握其中蘊含的運算依據，自主提出和發(fā)現(xiàn)運算背后的邏輯更是少之又少.這也導致學生在運算時屢屢出錯，比如在學習“分式”一章中，既有學生在分式通分過程中去分母，也有學生在分式乘除運算時，將分子與分母中多項式的一部分約去.這都反映出很多學生沒有理解分式運算的算理，也提醒教師應當重視算理教學，讓學生做到運算時心中有“理”，下筆不慌.

學生只有理解算理，才能有效掌握基礎知識，進而舉一反三.表面上看，引導學生深入算理的理解會占據課堂的一部分時間，但長遠來看，學生對于每個知識的來龍去脈更加清晰了，邏輯思維也更強了，自然而然地就記住了法則，不會再出現(xiàn)袁隆平院士小時候因學習“負負得正”時，老師沒有說清楚算理，而讓他認為數(shù)學不講道理而失去學習數(shù)學興趣的遺憾了.

事實上，學生對算理的理解是由具體到抽象，再到更廣泛的具體[4].因此，借助具象表征可以把抽象的法則、定理等通過具體的形式表現(xiàn)出來，把不容易理解的算理變得看得見，進而在一定程度上實現(xiàn)學生對算理的深入理解.

一方面，教學中可以借助具體問題、例子等，讓抽象的算理“具象化”.在設計具體問題時可以充分利用學生已有經驗，乃至數(shù)學運算經驗，并以此為重要基礎引導學生逐步理解運算意義.對于提出的具體問題，應當有層次性，能夠引發(fā)學生思考.比如，關于有理數(shù)的加法法則和乘法法則的合理性，教學可以從學生的生活經歷和經驗出發(fā)，設計具體問題，并分析問題情境中的事理，提煉其中蘊含的數(shù)學道理，進而驗證運算法則規(guī)定的合理性.另一方面，還可以借助具體圖形、圖示或直觀模型，幫助學生具象化理解運算意義，并在一步步深入探究中進行歸納與整理，促進學生對法則的理解，真正認識數(shù)學運算背后的邏輯和道理.

借助具象表征，促進學生理解算理，進而夯實學生的基礎知識，其實也進一步為后續(xù)算法多樣化和應用靈活化奠定了堅實的基礎.

2.2 巧設一題多解，關注算法選擇

學生面對復雜的運算題時，由于無法在短時間內考慮多種運算方法并選擇合理的算法進行解答，這無形中增加了解決問題的難度，降低了效率.而選擇合理簡潔的運算策略作為運算能力的重要維度之一，理應得到重視.

教師應當盡可能引導學生發(fā)掘多樣化算法，而不是局限于某一類算法，以更好地發(fā)散學生思維，培養(yǎng)他們運算的靈活性.除了發(fā)掘多樣化的算法，還可以引導學生進一步分析、比較不同算法的區(qū)別與聯(lián)系，加強對算法選擇的關注，并適當優(yōu)化.

基于此，教師在教學中可以根據本節(jié)課內容巧妙設計一題多解的題目，適時展示多種運算方法和策略，引導學生在掌握普適性算法的基礎上，進一步體會簡潔算法在解決問題中的特點.比如，解分式方程時，學生一方面可以通過去分母把分式方程化為整式方程求解，另一方面也可以借助移項、通分求解.第一種方法看起來好像快速、簡潔，但會有部分學生遺漏最后的驗證步驟，進而導致錯誤.這反映出這些學生擁有選擇簡潔方法的能力，但未掌握該法的易錯點.這就提醒教師在講解多樣化運算方法時，應當引導學生比較各種運算方法之間的特點，尤其是難點與易錯點，防止在運算中掉入陷阱.

此外，教師還要重視對多種算法進行順序編排，按照學生認知發(fā)展的規(guī)律慢慢滲透，警惕由于過多或過難地傳授方法而造成他們無法接受，甚至出現(xiàn)抗拒學習的后果.例如，在“分式的加減”教學中，教師可以在學生明確了分式加減運算方法、規(guī)范了運算步驟后，設計一題多解的題目.既可以是運算順序的不同，如用不同的順序計算xx－3－xx+353－xx；也可以是觀察式子結構選擇不同的運算方法，如求32x+y－y2x－y+x2x－y+1－x2x+y－x－y2x－y+x2x+y，其中2x+y=-2.

諸如此類的設計，讓課堂教學變得更加有層次性，適時給學生創(chuàng)設具有挑戰(zhàn)性的問題，不斷激起學生學習的興趣，而不必一直囿于簡單的法則套用練習中.巧妙設置一題多解習題，引導學生感受多樣化的算法，并在算法選擇中不斷發(fā)散思維，這其實又反過來進一步加深了學生對算理的認識和理解，也為后續(xù)的應用提供了多種思路與方法，從而更好地促進運算能力的發(fā)展.

2.3 設置實際練習，加強靈活應用

學生實際應用數(shù)學知識時，往往表現(xiàn)欠佳.這主要是因為學生需要先理解實際情境，再經歷將提煉出的數(shù)學問題化為運算問題，明確運算對象與法則，合理構造運算程序這一過程，而無論是哪一個環(huán)節(jié)失誤都會導致錯誤.

針對上述情況，教師應當充分發(fā)揮課堂教學在培養(yǎng)學生能力上的重要作用，將數(shù)學知識與實際生活中的問題緊密結合或者在得到新知識時設置實際練習，引導學生切實感受數(shù)學知識在解決實際問題中的價值，加強對知識的靈活應用.以“分式的加減”為例，在學生掌握算理、明確算法的基礎上，設置利用分式的加減法則解決的實際典型問題，包括路程問題和工程問題等.

只有教師在教學時注重引導學生將知識進行實際靈活應用，才能進一步加強學生對運算的深刻認識，讓學生明白數(shù)學知識不僅僅只是課本上一行行符號和文字，也不單單只是解決幾道運算題.它從生活中來，也能應用到生活中去，讓學生深刻感受鮮活的數(shù)學知識，真正發(fā)展運算能力.通過靈活應用，還能夠進一步加深學生對算理的認識，也能促使學生感受多種算法在解決問題中的不同特點，促進算理與算法的融合.

2.4 滲透代數(shù)推理，提升邏輯思維

學生發(fā)展運算思維與邏輯思維的重要時期正是初中階段，他們的不足表現(xiàn)也是能力發(fā)展的必經階段.基于此，教師可以逐漸豐富數(shù)學運算的層次，在日常課堂教學中積極滲透代數(shù)推理，引導他們在典型習題中體會運算思維與邏輯推演的拉長過程和跟進感受.

因此，教師除了關注學生運算法則和運算方法的學習與積累，還要強調學生利用法則進行推演，將思維的連貫性、邏輯的嚴謹性、代數(shù)推理能力的發(fā)展作為評價學生運算能力的重要指標.比如在“分式的加減”教學中，待學生掌握了分式運算的算理、算法，厘清算理與方法之間的關系，并學會靈活應用后，可以設置一道分式加減的演繹推理問題讓學生分析相關材料，尋找規(guī)律，并對得到的等式利用習得的分式加減法則進行嚴格證明.此外，代數(shù)推理往往遍布數(shù)學課堂的方方面面，教師應當有意識地加強對其的關注.這一方面能夠發(fā)展學生的推理能力，提升他們的邏輯思維，規(guī)范他們的作答步驟；另一方面還有助于他們更好地理解算理、更加靈活地應用，進而有效地發(fā)展運算能力.

3 進一步思考

針對給出的教學策略，關于指向運算能力的“理、法、用”三位一體的教學流程可以在學生原有的認知基礎上，創(chuàng)設問題情境，引發(fā)學生自主思考，進而探究算理，明確運算方法，進行應用與拓展，最后歸納與小結，即由理形法，由法用于實踐[5].飯要一次蒸熟，而認識不可能一次完成[6]，所以明確算法又反過來讓學生更加熟練把握算理，應用和拓展既可以讓算法更加靈活，還能進一步促進深入理解運算背后的道理.指向運算能力的“理、法、用”三位一體的教學流程如圖2所示.

參考文獻：

［1］楊杰軍.核心素養(yǎng)視角下小學生數(shù)學運算能力的培養(yǎng)及評價[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2021（2）：115-119，125.

［2］馬文杰，姜濤.數(shù)學運算能力培養(yǎng)應注意的若干問題研究[J].數(shù)學教育學報，2021（6）：8-12.

［3］杭毅，侯正永.基于質量監(jiān)測的初中學生數(shù)學運算發(fā)展狀況的調查研究[J].數(shù)學教育學報，2017（1）：25-27.

［4］馬明.運算能力及其培養(yǎng)途徑[J].數(shù)學通報，1984（6）：6-10.

［5］李婷婷，陳碧芬.“理、法、用”三位一體的數(shù)學運算教學——以“分式的加減”（第1課時）為例[J].初中數(shù)學教與學，2022（12）：11-14.

［6］張奠宙.可否說得更全面些——談關于“算理”的教學[J].小學教學（數(shù)學版），2010（10）：16-18.