平行或垂直在求一次函數解析式中的妙用

摘要：求直線解析式是在學完一次函數內容后常見的一類問題，通常借助函數圖象分析問題.如果題中只有一條直線，則只需利用這一個函數圖象分析問題.但如果題中有兩條直線，且這兩條直線相交成一定夾角，則需考慮同時利用這兩個函數圖象分析問題.尤其是當兩條直線互相平行或垂直時，更考驗學生是否掌握了靈活求直線解析式的能力.基于此，本文中對互相平行或垂直的直線解析式求法展開分析.

關鍵詞：平行；垂直；直線；一次函數；轉化思想

1 拋出疑問

利用待定系數法求一次函數解析式，是“一次函數”這一章中的基本知識點.在解題過程中，求一條直線的解析式比較簡單，只需將相應點的坐標代入已設解析式中即可[1].但是，如果遇到下面這道題，一次函數解析式又該如何求呢？

引例""在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b（k，b是常數，且k≠0）的圖象是由直線y=－x+8平移得到的，且經過點A（2，3），交y軸于點B.

（1）求該一次函數的解析式.

（2）若P是該一次函數圖象上的一點，且△POB的面積為10，求點P的坐標.

從這道題可以看出，求出第（1）小題中一次函數的解析式是解決第（2）小題的基礎，也是關鍵.然而，分析條件后發現，對于一次函數y=kx+b，只告知了直線過點A（2，3），并未告知第二個點的坐標.根據待定系數法求一次函數解析式，需將兩個點的坐標代入y=kx+b中，才能求出k，b的值，進而求出一次函數解析式.再仔細審題后又可發現“圖象是由直線y=－x+8平移得到的”，“平移”是非常關鍵的解題信息.那么，如何根據“平移”求出一次函數解析式呢？這就要提到一次函數解析式的兩種特殊求法——平行或垂直.

2 特例初探

面對上述問題，教師首先要確定在北師大版教材中并未對此作詳細介紹，屬于拓展內容.因此，需要教師一步步引導學生歷經觀察、思考、總結等過程，從而形成這方面的知識.

首先觀察特例，從特例開始思考問題，最后遷移至

一般情況，是轉化思想在這類問題中的體現[2].教師不妨先引導學生觀察圖1中的幾條互相平行的直線，并求出它們的解析式.

由圖1不難得到，A，B，C，D，E，F六個點的坐標分別為（-1，3），（3，-1），（-2，2），（2，-2），（-2，-1），（-1，-2），并分別設直線AB，CD，EF的解析式為yAB=k1x+b1，yCD=k2x+b2，yEF=k3x+b3，然后分別將A，B，C，D，E，F六個點的坐標代入對應的解析式中得到：

直線AB的解析式是y=-x+2；

直線CD的解析式是y=-x；

直線EF的解析式是y=-x-3.

最后觀察三條直線的位置關系，以及解析式的特點.通過證明不難得到AB∥CD∥EF，且三條直線的k值相同，b值不同.

總結如下：

有兩條直線L1：y1=k1x+b1，直線L2：y2=k2x+b2，若k1=k2，b1≠b2，則直線L1∥直線L2.

觀察圖1后，再觀察圖2中幾組互相垂直的直線，并求出它們的解析式.

由圖2不難得到A，B，C三個點的坐標分別為（-2，4），（3，1），（0，-4），并分別設直線AB，CB的解析式為yAB=k1x+b1，yCB=k2x+b2，然后分別將A，B，C三個點的坐標代入對應的解析式中得到：

直線AB的解析式是y=－35x+145；

直線CB的解析式是y=53x－4.

最后觀察兩條直線的位置關系，以及解析式的特點.通過證明不難得到AB⊥CB，且兩條直線的k值之積等于-1，b值不同.那么這一結論是否正確呢？以直線y=-x+1和直線y=x-1為例，先將之在圖2中畫出，然后觀察y=-x+1是由直線y=-x向上平移一個單位長度得到，y=x-1是由直線y=x向下平移一個單位長度得到.而y=-x與y=x分別是第二、四象限和第一、三象限的角平分線，則直線y=-x與y=x互相垂直，所以直線y=-x+1和直線y=x-1也互相垂直.

總結如下：

有兩條直線L1：y1=k1x+b1，直線L2：y2=k2x+b2，若k1·k2=－1，則直線L1⊥直線L2.

3 解決問題

在探明兩直線互相平行或垂直時k1和k2之間存在的數量關系后，面對當初無法解決的引例第（1）小題就顯得從容許多.其解法如下：

解：因為一次函數y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的圖象是由直線y=－x+8平移得到的，

所以一次函數的k值為－1.

又因為一次函數y=kx+b的圖象經過點A（2，3），

所以將A（2，3）代入y=－x+b，解得b=5.

所以一次函數的解析式是y=－x+5.

那么如何利用“若k1·k2=－1，則直線L1⊥直線L2”求一次函數的解析式呢？如以下例題：

例""如圖3所示，在平面直角坐標系中，已知四邊形OABC是矩形，OA=1，AB=2，過點B的直線y=3x+n與y軸交于點D，過點B作直線BE⊥BD交x軸于點E.

（1）求點D的坐標；

（2）求直線BE的解析式.

解析：（1）由“OA=1，AB=2”得到點B的坐標為（1，2），將之代入y=3x+n中，解得n=-1.

所以，直線BD的解析式是y=3x-1.

令x=0，則y=-1，所以點D的坐標為（0，-1）.

（2）設直線BE的解析式為y=kx+b，因為BE⊥BD，所以3k=-1，解得k=－13.

所以，直線BE的解析式為y=－13x+b.

由于直線BE經過點B（1，2），將B的坐標代入，解得b=73.

所以，直線BE的解析式是y=－13x+73.

從上例第（2）小題的解析來看，這種方法比較簡單.當然，也可根據相似三角形得到點E的坐標，然后將B，E兩點的坐標代入所設的直線BE解析式中.只是這種方法不夠便捷，相比之下，以上解析中的這種方法既快又準確.

4 最后期許

通過本研究，一種既快又準確的求一次函數解析式的方法得到了呈現.該法較傳統求法靈活許多，也簡單許多.然而，如此優越的解題方法背后對應的知識點，卻在教材中并未涉及，筆者不免覺得非常遺憾.因此，在本文最后希望未來有兩大期許可以實現：

首先，將本文中研究的內容編排至教材中，將之作為基礎知識內容讓學生學習和應用.

其次，如果該內容不能被列為正式的基礎知識，可將之視為數學拓展材料編排在教材中，給予學生更多的學習空間.在拓展基礎知識的同時，又為學生解決實際問題提供了更多思路，更多方法.

5 結語

總而言之，教師的教學不能局限于教材，一定要在課本中的基礎知識之上進行拓展延伸，甚至突破[3].只有這樣，學生學到的知識才更豐富，才能掌握更靈活的解題方法.這樣既有利于豐富課堂教學，又能提高學生解決問題的能力.

參考文獻：

[1]舒楨.抓住關鍵“點”解決函數圖形的平移問題[J].中小學數學（初中版），2017（Z1）：53-54.

[2]秦旭東.巧使學生理解一次函數左右平移[J].中小學數學（初中版），2013（Z2）：22.

[3]馬英.一次函數中直線的垂直與平行[J].中學生數理化（初中版），2005（12）：29-30.