初中數學教學中類比性問題的設計與應用

1 類比性問題的作用

類比性問題，即通過將一個已知的情境、概念或問題與一個新的未知的情境、概念或問題進行比較，從而發現它們之間的相似性和差異性，進一步推導出新問題的解決方法或對新概念的理解［1］.因此，當面對一個新的問題時，人們可以通過尋找與該問題相似或相關的已知問題，借鑒其解決方案或思路，來幫助理解和解決當前面臨的問題.類比性問題的作用有如下幾點.

1.1 促進知識的遷移和應用

類比性問題的一個重要作用是促進知識的遷移，將一個領域中的知識應用到另一個領域，從而拓寬知識的應用范圍，增強問題解決的靈活性和創造性.通過類比，人們能夠將過去的經驗和知識與當前的情境聯系起來，實現知識的跨領域遷移.

1.2 促進創新和發現

類比問題的一個顯著作用是激發和促進創新思維.在面對新問題時，人們往往會不自覺地尋找與之相似的已知問題或情境，通過對比分析，將已有的解決方案或思路遷移到新問題上，從而產生新的解決策略.

1.3 加深對復雜概念的理解

類比性問題還有助于增強對復雜概念或理論的理解.通過將復雜的、抽象的概念與熟悉的、具體的事物相比較，可以幫助人們更好地理解和掌握這些概念.

2 類比性問題的設計原則

在初中教學中，設計類比問題常常應遵循如下三個關鍵的設計原則.

2.1 關聯性原則

關聯性原則強調進行類比問題設計時，應確保已知概念或現象與待學習的新概念或現象之間存在明顯的相似性和關聯性.這種相似性不僅限于表面特征，更重要的是涉及結構和功能上的相似性.這樣的設計能夠幫助學生通過已經熟悉的知識框架理解新的概念，從而促進知識的遷移和應用.

2.2 漸進性原則

漸進性原則要求類比問題的設計應從簡到難，逐步深入，以匹配學生的認知發展水平和學習進度.初期可以使用簡單直觀的類比，幫助學生建立初步的概念框架；隨著學生理解的加深，可以逐步引入更復雜或更抽象的類比，以促進深層次的認識和理解.

3 教學案例

3.1 平行類比問題

以平行的性質為例，通過建立不同幾何圖形或幾何概念之間的相似性和對比性，不僅可以幫助學生區分和記憶各種幾何圖形的性質，還可以激發他們探索幾何圖形更深層次相似性和差異性的興趣，促進他們深入理解和靈活應用幾何知識.例1抽取出平行的概念與性質的本質，將其遷移到不同幾何結構中，由簡單到復雜，體現了關聯性原則和漸進性原則，加深了對概念與性質的理解，幫助學生構建起更清晰的認知.

例1""我們把圖1形象地稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數量關系，觀察并解決以下問題.

（1）如圖1，AB∥CD，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED.試探究∠BED與∠B，∠D之間的數量關系，并說明理由.

（2）如圖2，AB∥CD，線段AD與線段BC相交于點E，∠BAD=36°，∠BCD=80°，EF平分∠BED交直線AB于點F，則∠BEF=_____°.

解析：

（1）∠BED=∠B+∠D.理由如下：

如圖3所示，過點E作ET∥AB.

∵AB∥CD，

∴ET∥AB∥CD.

∴∠B=∠BET，∠D=∠DET.

∴∠B+∠D=∠BET+∠DET.

∴∠BED=∠B+∠D.

（2）58.

類比（1）可知∠AEC=∠BAD+∠BCD=36°+80°=116°，則∠BED=116°.

又EF平分∠BED，所以∠BEF=12∠BED=58°.

3.2 旋轉類比問題

旋轉類比問題需要學生分析圖形的變化規律，仔細觀察圖形的細節和變化，進而推理出結果.通過解決旋轉類比問題，學生可以更好地理解數學中的對稱性、變換等概念，促進數學思維的發展［2］.例2為典型的旋轉類比問題，由觀察猜想、類比探究解決創新性問題，層層漸進，加深了復雜技巧的應用.

例2""如圖4，在△ABC中，AB=AC，D為AB邊上一點（不與A，B兩點重合），過點D作DE∥BC，交AC于點E．連接BE，在BE上取一點M，連接CM并延長CM至點N，連接BN．

（1）觀察猜想：

若ME=2BM，MC=2MN，則線段CE與BN的位置關系是_____，BDBN的值是_____；

（2）類比探究：

將△ADE繞點A順時針旋轉至如圖5所示的位置，ME=nBM，MC=nMN，寫出線段BN與CE的位置關系及BDBN的值，并說明理由；

（3）解決問題：

△ADE繞點A在平面內自由旋轉，ME=nBM，MC=nMN，若∠BAC=60°，AB=4，以B，D，E，N為頂點的四邊形是菱形，直接寫出線段BM的長．

解析：（1）由ME=2BM，MC=2MN，得BMME=MNMC=12.

又∠BMN=∠EMC，所以△BMN∽△EMC，則

BNCE=12，∠BNM=∠ECM，所以BN∥CE．

由DE∥BC，得BDAB=CEAC．

又AB=AC，則BD=CE，

則BNBD=12，即BDBN=2.

（2）BN∥CE，BDBN=n.理由如下：

由ME=nBM，MC=nMN，得BMME=MNMC=1n.

又

∠BMN=∠EMC，所以△BMN∽△EMC，

則BNCE=1n，∠BNM=∠ECM，則BN∥CE．

由∠DAE=∠BAC，得∠BAD=∠CAE．

又AD=AE，AB=AC，則△ABD≌△ACE，

所以BD=CE，則BNBD=1n，即BDBN=n.

（3）由以B，D，E，N為頂點的四邊形是菱形，

得BN∥DE，NB=DE=BE．

由（2）得，BN∥CE，CE=BD，所以

D，E，C三點共線．

由∠BAC=60°，AB=AC，DE∥BN，

得△ABC和△ADE是等邊三角形，則

∠AED=60°，AE=DE=BE．

又AC=BC，所以△ACE≌△BCE，

則∠ACE=∠BCE=30°．

又∠AEC=180°-∠AED=120°，

則∠CAE=30°，所以AE=CE=BN，

則△BMN≌△EMC，于是BM=EM=12BE．

如圖6所示，過點E作EP⊥BC于點P.

∵BE=CE，

∴BP=CP=2．

在直角三角形CEP中，cos∠ECB=CPCE=32，

即CE=2×23=433，則BM=12BE=12CE=233．

通過類比性問題，學生不僅能夠實現知識的遷移和應用，還能激發創新思維，增強對復雜概念的理解.本文中探討了類比性問題的三大作用，并提出了設計類比性問題的關聯性和漸進性原則.這些原則指導教師在教學中有效地設計類比問題，幫助學生在已知與未知之間建立聯系，促進深層次的理解和學習.通過具體的教學案例，展示了如何在實際教學中應用類比性問題.這些案例不僅體現了類比問題的設計原則，還展示了其在激發學生學習興趣和探索欲望方面的作用.通過類比，學生能夠更靈活地應用所學知識，提升解決問題的能力.總之，類比性問題在數學教學中扮演著不可或缺的角色.教師應充分利用類比問題的優勢，構建互動、靈活的教學環境，幫助學生發展類比思維能力，為未來的學習和個人發展奠定堅實的基礎［3］.

參考文獻：

[1]陳婷婷，王巍.類比思維在小學數學教學中的應用研究［J］.教育教學論壇，2018（28）：185-186.

[2]張琳，劉鵬.類比思維在初中數學教學中的應用探究［J］.數學教學，2016（11）：63-65.

[3]李明，王璐.類比思維在高中數學教學中的實踐與探索［J］.數學教學研究，2019，12（3）：48-51.