凝煉核心問(wèn)題 聚焦核心素養(yǎng)： 探究圓中垂徑 定理的應(yīng)用

摘要：在求解圓的半徑與弦垂直的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常用到垂徑定理，其核心是構(gòu)造有關(guān)弦長(zhǎng)、弦心距、圓的半徑之間的關(guān)系，然后利用垂徑定理以及直角三角形的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.這類(lèi)考題主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及抽象思維能力.本文中結(jié)合兩道最新的統(tǒng)考試題，展示垂徑定理在求解角度、長(zhǎng)度、面積等問(wèn)題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：垂徑定理；三角形；圓

圓的垂徑定理是初三數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，是在前面學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究圓中有關(guān)弦長(zhǎng)與和該弦垂直的線段之間的關(guān)系問(wèn)題，是圓的軸對(duì)稱(chēng)性的具體體現(xiàn)，是求解有關(guān)圓的綜合問(wèn)題中常用的一個(gè)重要性質(zhì).最近幾年各地經(jīng)常考查.

1 角度與長(zhǎng)度問(wèn)題

在利用垂徑定理求解圓中角度、線段長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，要注意與圓中的三角形相結(jié)合，這類(lèi)問(wèn)題對(duì)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合及抽象思維能力要求較高.

例1""（2024·黑龍江哈爾濱初三檢測(cè)）如圖1所示，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，連接AC，AD，P為直徑AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)P的直線與弦AC相交于點(diǎn)F，與⊙O相交于點(diǎn)M，N，且PF=AF．

（1）求證：MN∥AD；

（2）連接DN，若MF=DN，求證：CM=CD；

（3）如圖2，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)C作弦CG⊥AD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)K，連接BC，若BC=5，CG=11，求DN的長(zhǎng)．

（1）證明：

因?yàn)锳B為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

所以EC=ED，AC=AD，∠CAE=∠DAE.因?yàn)?/p>

FA=FP，所以∠FAP=∠FPA=∠DAB，所以MN∥AD．

（2）證明：連接AM，由MN∥AD，得AM=DN，AM=DN.又因?yàn)镕M=DN，所以AM=FM，所以∠MAF=∠MFA.又因?yàn)镸N∥AD，所以∠MFA=∠FAD，所以∠MAC=∠CAD，故CM=CD．

（3）解：連接AG，作CT⊥AM交AM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，CT交⊙O于點(diǎn)R，如圖3．

因?yàn)锳D⊥CG，AB⊥CD，

所以∠AHK=∠CEK=90°.又因?yàn)椤螦KH=∠CKE，所以∠KAH=∠KCE=∠BCE.

因?yàn)椤螮CK+∠CKE=90°，∠ECB+∠CBE=90°，所以∠CKE=∠CBE，所以

CK=CB=5，GK=CG－CK=6.因?yàn)椤螦KG=∠CKB，∠AGK=∠CBK，

所以△AKG∽△CKB.

所以AKCK=GKBK，則AK·KB=CK·GK.

設(shè)AK=x，KB=y，所以xy=30.

因?yàn)椤螩KE=∠CBE，∠AKG=∠CKB，∠AGK=∠CBK，所以∠AGK=∠AKG，

所以AG=AK.又因?yàn)锳D⊥CG，所以GH=HK=3.

因?yàn)椤螩AM=∠CAD，

所以∠TCA=∠ACH，所以AT=AH.又因?yàn)锳C=AC，所以△ACT≌△ACH.

所以TC=CH=8，AH=AT=x2－32，AC=x2－32+82.

因?yàn)锳C2+BC2=AB2，

所以x2－32+82+52=（x+y）2.

結(jié)合x(chóng)y=30解得x=35，y=25，所以

EC=CK2－KE2=25，

AC=AE2+CE2=10，

AH=AT=AK2－HK2=6.

因?yàn)椤螦CR=∠ACG，所以AR=AG，所以AR=AG=AK=35，所以

RT=AR2－AT2=3.

因?yàn)門(mén)M·TA=TR·TC，所以TM×6=3×8，解得TM=4．

所以AM=AT－TM=6－4=2.故DN=AM=2．

點(diǎn)評(píng)：本題為圓的綜合問(wèn)題，主要考查垂徑定理，圓周角定理及其推論，以及相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題過(guò)程中要注意根據(jù)題意適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)建方程組來(lái)找到問(wèn)題的方向，然后解決問(wèn)題.

2 長(zhǎng)度、面積比值問(wèn)題

在求解圓中有關(guān)線段長(zhǎng)度、三角形面積之比問(wèn)題時(shí)，要注意利用垂徑定理得到角度或者弧長(zhǎng)之間的關(guān)系.

例2""（2024·浙江杭州初三聯(lián)考）如圖4，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD，連接AC，AD，弦CG平分∠ACD分別交AB，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，AG與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H．

（1）求證：△ACG∽△AHC；

（2）當(dāng)HG=HD時(shí)，求AGGH；

（3）當(dāng)EF=FG時(shí)，求S△AEFS△ACH．

（1）證明：因?yàn)橹睆紸B⊥弦CD，所以AC=AD，故有∠AGC=∠ACD.又因?yàn)椤螩AG=∠HAC，所以△ACG∽△AHC.

（2）解：連接DG，如圖5.

因?yàn)樗倪呅蜛CDG為圓的內(nèi)接四邊形，所以∠CDG+∠CAH=180°．

又因?yàn)椤螩DG+∠HDG=180°，故有∠HDG=∠CAH.又因?yàn)椤螲=∠H，

所以△HDG∽△HAC.又因?yàn)椤鱄AC∽△CAG，所以△HDG∽△CAG，所以HDHG=CACG，∠ACG=∠DHG.

因?yàn)镠D=HG，所以AC=CG.又∠ACG=∠GCH，所以∠GCH=∠CHG.

所以AC=CG=HG.

因?yàn)椤鰽CG∽△AHC，

所以AGAC=ACAH，所以AGGH=GHAH，所以G為線段AH的黃金分割點(diǎn)，所以AGGH=5－12.

（3）解：連接ED，DG，如圖6.

因?yàn)閳A的直徑AB垂直弦CD，所以AB垂直平分CD，所以EC=ED，所以∠ECD=∠EDC.

由△HDG∽△CAG，可得∠ACG=∠H．又因?yàn)椤螦CG=∠ECD，所以∠EDC=∠H，

所以ED∥GH，所以∠GAF=∠EDF．

在△AFG和△DFE中，

∠GAF=∠EDF，∠AFG=∠DFE，GF=EF，所以△AFG≌△DFE，所以AF=DF，故四邊形AEDG為平行四邊形.

因?yàn)椤螦CG=∠DCG，所以AG=GD，所以AG=DG，所以四邊形AEDG為菱形，所以CG⊥AD，

所以CG垂直平分AD，所以AC=CD=AD，CG為直徑，

所以∠CAD=60°=∠ACD，所以∠CAE=∠EAF=∠ACG=∠H=30°，所以∠AEF=∠AGC=60°.

所以AF=tan 60°EF=3EF，所以AC=2AF=23EF．

因?yàn)椤螦FE=∠HAC=90°，所以可得△AEF∽△HCA，

所以S△AEFS△ACH=EFAC2=1232=112．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割的知識(shí)，菱形的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在解決圓中的三角形或者四邊形問(wèn)題時(shí)，要注意發(fā)現(xiàn)題目中給出的關(guān)鍵信息，根據(jù)這些信息，有時(shí)可能需要利用垂徑定理適當(dāng)添加輔助線，然后思考找到問(wèn)題的突破口，以更深入地理解和應(yīng)用垂徑定理解決有關(guān)綜合問(wèn)題.總之，在運(yùn)用平面幾何中的垂徑定理時(shí)，首先一定要掌握定理的核心知識(shí)點(diǎn)，比如過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的弧等，在此基礎(chǔ)上做到熟練運(yùn)用，然后利用數(shù)形結(jié)合法來(lái)分析問(wèn)題，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解.這樣可以幫助學(xué)生更加直觀地理解問(wèn)題和解決有關(guān)直線與圓相交的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.