應用視覺化表征解決初中數學應用題的策略

摘要：實際應用問題是初中數學的重點，更是難點.研究表明，視覺化表征能夠幫助學生直觀地把握問題實質，促進對問題的理解.本文中提出隱含條件視覺化、思想方法視覺化、思路視覺化、教學干預、信息打包等五種用視覺化表征教學的策略，優化初中數學應用題解題教學.

關鍵詞：視覺化表征;數學應用題;思維能力

1 問題提出

數學應用題的基本要素是情境和數量關系.解決數學應用題的本質是從情境中抽象出數學關系結構，而使答案變得清晰的問題表征則是解決好一個問題的前提.研究表明：學困生在解應用題時表現為不能正確理解題意和選擇適當的認知策略，缺少規則系統和必要的步驟，不會使用言語表征（自然語言、數學符號）、視覺化表征及進行它們之間的轉換，不能建立起這些表征和問題情境中數學關系的關聯.因此，解決數學應用題首先要正確理解問題情境，找出數量關系，難點在于把情境轉化為數學語言，關鍵在于問題的表征，而作為問題表征主要形式的視覺化表征有舉足輕重的作用.將隱含的數學關系從問題情境中剝離出來，實現問題情境向數學模型的轉化，是解決數學應用題的主要障礙.筆者認為視覺化表征能加強學生對問題的知覺性理解，降低認知負荷，通過概念圖、流程圖、線段圖、表格等圖表法視覺化表征工具，把問題直觀化，也可降低認知負荷.

2 視覺化表征在解決應用問題上的教學策略

2.1數學應用題中視覺化表征策略的一般思維過程

學生理解數學應用題的困難表現為不能合理采用言語表征、圖表表征、數學符號表征，不能建立起它們和條件之間的關系.研究表明，初中學生最有效的問題表征方式是圖式表征.解決數學應用題就是用自己的語言描述問題情境，運用視覺化工具把言語表征轉化為圖式化表征，接著轉化為數學符號語言，一般步驟：讀題意，復述，用圖式描述問題，用數學符號表征.Zazkis提出了數學問題解決中視覺化與分析表征相互作用的螺旋上升模型，該模型指出解題思維開始于第一步視覺化操作.運用圖式表征的一般步驟是依題意畫出圖式，在關鍵處畫上標記，將數字信息標在圖上，依已知與未知的關系列出數學表達式.基于以上分析，筆者提出運用圖式表征解決數學應用題的6步作圖法，也是數學應用題中視覺化表征策略的一般思維過程，如圖1.

2.2 解決數學應用問題的視覺化教學策略

基于多元表征及認知負荷理論，提出隱含條件視覺化、思想方法視覺化、思路視覺化、教學干預、信息打包五種

用視覺化表征解決數學應用題的策略.

2.2.1 隱含條件視覺化

找出題目中條件是解決數學應用題的前提.在數學應用題中，有些條件比較明顯，但有些條件很隱蔽，需要解題者從題目中挖掘、推理、變形等重新發現，這類隱含條件的深度和廣度是影響數學問題難易程度的主要因素.研究發現，初中學生解決數學應用題的主要障礙是不能很好地將問題中的隱含條件翻譯成數學語言.因此，在教學中，運用視覺化表征方式幫助學生分析題目，發現題目中隱含條件并用適當的視覺化工具呈現出來，減少文字閱讀中記憶的負荷，讓學生有足夠多的工作記憶來整合與理解有關信息，促進數學應用問題的解決[1].如在行程問題中，相向而行的原始距離是不變量，在同向而行的追及問題中，原始距離仍是不變量，在背向而行中原始距離也是不變量，解答時，通過畫線段圖理解“同時出發”“相向而行”“相遇”“原始距離”等術語.

例1""為了綠化校園，30名學生共種78棵樹苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，那么男生、女生各有多少人？

本問題隱含條件：男生與女生的總數和不變，男生種的樹數與女生所種樹數的和不變.方法1：設男生有x人，女生有y人，列出二元一次方程.方法2：設男生有x人，則女生有（30－x）人，列一元一次方程.方法3：用幾何法.如圖2，畫出滿足如下條件的長方形：①男生與女生的人數等于長方形的長；②男生每人種樹的棵數等于一個長方形的寬；③女生每人種樹的棵數等于另一個長方形的寬.利用幾何圖形的面積關系求解.

解：將男生與女生的人數作為長方形的長，男生或女生每人種樹的棵數作為長方形的寬.如圖2，整體來看，大長方形的兩鄰邊分別為30，3，面積是90；圖中陰影部分的面積是78，對應的數學關系是30名學生共種樹苗78棵，則空白部分的面積12，也就是女生人數，進而可知有18名男生.

另外，也可使用列表法（方法4）解決這個問題，如表1、表2所示.

用字母x代替男生數，則如表2所示.

方法1與方法2通過列方程來求解，要求學生有較強的抽象思維和想象力，能尋找出題目所隱含的等量關系，適用于數學認知、邏輯思維比較強的學生.方法3利用圖式求解，直觀形象.方法4使用列表工具清楚明了地呈現已知量、未知量及其關系，可以快速找出等量關系，適用于抽象思維和想象力較弱、數學基礎中等偏下的學生.因此可合理利用視覺化表征激活題目中隱含條件，促進數學問題的表征.

2.2.2 思想方法視覺化

解題的思想方法與具體的數學問題互相依存，是一個有機整體.數學的思想方法包含在問題解決的過程中，隱含在問題解決的內在表征中，具有內隱性.因此，在解決數學應用題的過程中，需要用適當的視覺化技術把蘊涵在問題中的解題思想方法揭示出來.下面以一個案例來說明.

例2"如圖3所示，拋物線y=1/2x2－3/2x-2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，若M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC面積的最大值，并求出此時點M的坐標.

不少學生誤認為在拋物線頂點處取點M，可使△MBC的面積最大.用幾何畫板拖動點M在線段BC下方的拋物線上運動，讓學生觀察△MBC的面積測量值的變化，使數值的變化可視、被觀察到，實現數學對象的動態視覺化，滲透數形結合的思想方法.基于幾何畫板動態圖式及對應的數據的變化，學生意識到圖形直覺的不可靠，容易產生錯誤的潛在假設，水到渠成地提出代數計算的解決策略，展示了認知的沖突與思維發展過程，引導學生展開對問題的反思，減小認知負荷，體現數形結合思想.

2.2.3 思路視覺化

解數學應用題首先從題目中提取有意義的信息，如關鍵詞、數字等，然后在大腦中激活一個合適的、已有的圖式去表征當前的問題，最后將它們有效重組變成邏輯結構.同時，解題過程包含著解題思路，解題思路指引解題過程，有些解題思路還常常隱藏在問題解決的表征中.因此，利用視覺化表征將隱藏的解題思路揭示出來，能使數學關系清晰可見，促進學生快速獲得解題思路.

例3""商店A型號電腦的售價是a元/臺.最近，該商店對A型號電腦舉行促銷活動，有兩種優惠方案．方案一：每臺按售價的九折銷售.方案二：若購買不超過5臺，每臺按售價銷售；若超過5臺，超過的部分每臺按售價的八折銷售．某公司一次性從該商店購買A型號電腦x臺．若該公司采用方案二購買更合算，求x的取值范圍.

引導學生畫出草圖，表達解題思路.

用示意圖（如圖4）將題目中的條件和問題呈現出來，將數量關系直觀化、具體化，引導學生分析數量關系，幫助學生明確解題思路，指引解題過程.

2.2.4 教學干預

學困生在解決應用問題上面臨的雙層困難：基本算術技能的困難，不能夠理解條件之間的邏輯關系.研究指出，優秀生在解題上較多使用圖式對問題進行表征，能準確抓住有助于解題的數學關系等信息.因此，教學中要幫助學困生使用圖式表征來解決問題，以視覺化表征幫助學生理解問題是對學困生有效的干預，做法主要有：向學生介紹圖表的分類和使用條件；向學生演示圖表的建構過程，幫助學生在圖表上做標記以突出問題的數量關系，讓學生能通過閱讀圖表的信息列出數學表達式，在一個變式問題上建構自己的圖表.如運動問題、方位問題、工程問題的應用題長期以來是學習的難點，可以通過畫線段圖、表格等視覺化表征工具幫助學生厘清問題情境中的數學關系.

2.2.5 信息打包策略

視覺化表征與言語表征互相轉譯，合理分配視覺化表征與言語表征，結合知識本身和教學需要動態地調配、組合、互譯，才能提高課堂效率.信息打包就是呈現的信息至少含有言語表征和視覺化表征，根據知識結構形成的需要設計成有意義的信息組塊，設計的信息與原有的心理圖式有內在聯系，為表征的轉換、轉譯等提供機會，均衡認知負荷.

3 有效運用視覺化表征解決數學應用題

3.1 使用視覺化表征策略的自覺性和適切性

使用視覺化表征的必要性與題目本身的特點有很大的關系，同時也與學生的邏輯思維強弱有關系，也就是說使用視覺化表征策略并不是最好的.因為邏輯思維能力強的學生，可以直接根據題目情境信息列出方程解決問題.如果學生覺得用數量關系分析更為簡單，或者利用圖表思考對解題幫助不大，教師就不要使用圖表指導了.優化了的數學視覺化表征教學具有一定的優越性，能降低學生在問題解決中的認知負荷，能顯著提高學生解決應用問題的能力.

3.2 消除圖象表征的干擾

不同類型的圖式表征的應用范圍不同，對數學問題的解決起到的作用也不同.只有抓住了問題中數量關系、位置關系的結構化圖式表征，才能有效地促進對數學問題的理解.因此，在視覺化表征的圖式上以簡潔的線條、標記代表問題中的數學關系即可.

3.3 建立元素之間的關聯

借助各類圖表用點、線、面來表征數學關系，建構思維圖式，是將不可見的數據轉化為可見的圖形符號，用自己能理解的圖形語言來描述數據的內涵.需要注意的是：學生要能認識到一個圖表實際上是一個表征，能理解各種表征之間的聯系，能根據題意和圖形表征提煉出數量關系.

3.4 學生自主建構

學生解決數學應用題包括獲取、整理、分析信息的過程，既需要教師的方法指導，更需要學生的自主建構.教師示范“運用圖式表征解決數學應用題的6步作圖法”，學生在變式問題中使用類似的方法畫出圖表，找出數學關系并列出數學式子.當然，學生的理解能力、認知基礎、邏輯思維強弱決定著圖表的抽象程度.

3.5 表征間的轉換

表征轉換主要指言語表征和視覺表征之間的轉換[2].表征轉換不會自動進行，特別是對數學學困生來講，表征轉換具有一定的難度.同時，解決問題的綜合知識與以往運用某種表征的經驗是成功選擇和建構適合的表征形式的決定因素.因此，在教學中要讓學生不斷地把文字轉變成圖式，靈活運用數字和符號表征，會在圖式上做標記，把數學問題的元素聯結起來，顯示關系.

4 結束語

視覺化表征教學有利于學生解決應用問題，有助于高效課堂的實現.學困生由于解題經驗和綜合運用知識的能力有些欠缺，難以理解初中數學應用題所表達的情境以及某些符號語句，這就要求教師盡量創設接近學生實際的圖式幫助他們理解題目文字的意思，引導他們向抽象思維過渡，提升數學問題解決能力.需要注意的是，應用視覺化表征初中數學應用題時應避免太過復雜的圖式，呈現的圖式及簡單標識能表征問題中的數學關系即可.

參考文獻：

[1]全波.數學問題解決視覺化教學策略研究[D].桂林：廣西師范大學，2008.

[2]崔文閏.如何運用圖式表征思考數學問題[J].小學教學參考，2013（24）：5-6.

項目信息：2022年廣東省廣州市教育科學規劃2022年度課題+一般課題項目“基于視覺化表征的初中數與代數教學的實踐研究”，項目編號為202214187.