活用數(shù)解方式 呈現(xiàn)代數(shù)魅力

摘要：隨著新課程改革的不斷深化，素質教育以及核心素養(yǎng)的培養(yǎng)成為當前教學改革重點.以數(shù)解形是一種重要的數(shù)學解題方式，在初中數(shù)學教學中，“數(shù)”和“形”經(jīng)常是數(shù)學研究對象的兩大部分，數(shù)與形有著直接關聯(lián)，我們可以稱之為數(shù)形結合.初中階段是數(shù)學教學重要的基礎階段，學生邏輯思維與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)以及對數(shù)學知識點的不斷思考與探索都為今后數(shù)學學習奠定了良好基礎.以數(shù)解形的思維模式讓學生不斷轉變內容思考角度，以多樣性線索完成問題探究，拓展認知思路，轉變固有思維，實現(xiàn)高質量數(shù)學知識學習.文章通過探究以數(shù)解形在初中數(shù)學中的教學意義，以代數(shù)教學為例，探究以數(shù)解形思想的滲透與應用策略.

關鍵詞：初中數(shù)學；以數(shù)解形；代數(shù)教學；靈活的方法

初中數(shù)學中代數(shù)知識是這一階段重要的學習內容，代數(shù)的研究對象不僅是數(shù)字，還有各種抽象化的結構，在其中我們更關心各種關系及其性質，而對于“數(shù)本身是什么”這樣的問題并不關心.近幾年中考試題中關于圖形的考查內容愈加廣泛，幾何問題有著較強的抽象性與思維性，是不少學生的學習難點.代數(shù)問題中存在較多幾何問題，對學生抽象思維、形式化知識以及數(shù)學知識體系結構的要求都更高，需要學生熟練掌握并運用代數(shù)符號的表達和規(guī)則，完成相關知識內容的探究.初中是培養(yǎng)學生邏輯思維、發(fā)散思維的關鍵時期，增加數(shù)形結合的思維教學能夠讓學生自主參與相關內容的探究，學會從數(shù)的角度思考形的變化，將數(shù)字關聯(lián)與空間形式相結合，尋找更多靈活解題思路.

1 “以數(shù)解形”教學應用意義

初中階段數(shù)學教學中，數(shù)形結合思想對學生學習以及教師教學有著十分重要的影響.學生在學習過程中會遇到較多理論性概念類知識，想要掌握數(shù)學概念與單一的數(shù)學知識點，數(shù)形結合思想可以讓學生以更加生動多樣的直觀形式完成對相關內容的理解，從代數(shù)思維角度出發(fā)構建圖形空間想象，實現(xiàn)想象力和空間能力的全面提升，激發(fā)學生探索數(shù)學知識的興趣，改變單一枯燥的教學課堂.其次，在初中數(shù)學學習過程中，學生常會遇到較為抽象的難以理解的知識內容，以數(shù)解形的思維可以讓學生轉化解決問題的思路，促進邏輯思維成長，提高對抽象內容的理解水平.初中數(shù)學教學中可將指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關系式等，與幾何圖形和函數(shù)圖象進行合理聯(lián)系，通過代數(shù)知識解決幾何圖形問題，提高教學質量.本文中以初中代數(shù)部分為例，探究“以數(shù)解形”思想在數(shù)學教學中的滲透與應用策略［1］.

2 “以數(shù)解形”在初中代數(shù)教學中的應用策略

2.1 利用函數(shù)解決圖形問題

“數(shù)”與“形”是初中數(shù)學中最基本的研究對象，數(shù)形結合思想將“數(shù)”和“形”結合起來，通過整合相關知識內容解決數(shù)學問題.以數(shù)解形，利用數(shù)字的精準解決圖形的抽象問題，提高解題效率.在八年級下冊“一次函數(shù)”的教學中，利用函數(shù)方法解決幾何圖形計算的問題屬于初中階段教學重點，通過函數(shù)思維解決幾何圖形問題，提高學生以數(shù)解形的能力［2］.

例1""一次函數(shù)y=-4/3x+4的圖象分別與x軸、y軸交于點C，D，如圖1，四邊ABCD為正方形，反比例函數(shù)y=k/x的圖象在第一象限經(jīng)過點A.求點A的坐標以及k的值.

由題意可知，點C和點D均在一次函數(shù)y=-4/3x+4的圖象上，

將x=0和y=0分別代入函數(shù)表達式可以得出，y=4，x=3.

在圖形中，C（3，0），D（0，4）.

在求解點A坐標的過程中，可以過點A作AE⊥y軸，交y軸于點E，得到△AED.

通過角度對比結合AD=DC，可以得出△ADE≌△DCO，由此得到AE=OD=4.

所以點A到x軸的距離OE=OD+DE=OD+OC=4+3=7，則點A坐標為（4，7）.

又點A在反比例函數(shù)y=k/x的圖象上，因此7=k/4，即k=28.

傳統(tǒng)數(shù)學教學中更多強調以形助數(shù)的教學形式，讓學生結合圖象研究函數(shù)內容，忽視了對函數(shù)本身的講解.本題通過函數(shù)探究圖形問題，引導學生了解坐標的變化與圖形關系，通過強化以數(shù)解形的方法學會利用函數(shù)內容解決幾何難題.

2.2 利用方程解決圖形問題

方程是以數(shù)解形的重要形式，一元二次方程是九年級的教學重點也是中考的?？家c，學生在方程的學習過程中不僅要掌握熟練求解方程的技巧，還應充分掌握利用方程解決幾何圖形的問題.這樣不僅可以有效提高學生應試能力，還可以全面提高學生利用數(shù)學知識解決生活中實際問題的能力.一元二次方程更多應用于解決最值、增長率的問題，學生很難想象方程式和幾何圖形的直接關系，但方程不僅僅屬于代數(shù)計算的內容，更是解決實際生活中有關圖形問題的一種重要的便捷工具.

例2""有一根長為40 cm的鐵絲，將它圍成一個矩形，使得矩形的面積為75 cm2，求矩形的長與寬.

本題如果僅利用幾何圖形思考問題，是很難快速得到答案的，但通過設未知數(shù)，以方程的形式進行解答，可以快速得出答案.

結合題意，設此矩形寬為x cm，此矩形的長為（20-x）cm，

則x（20-x）=75.

解方程可得x=5，故寬為5 cm，長為15 cm.

運用方程去解決幾何圖形問題可能更加便捷與簡單，在代數(shù)教學中，應強化“以數(shù)解形”的思想方法，提高學生對數(shù)學問題的獨立思考與解決能力.此類題目較常出現(xiàn)，考查學生是否可以結合問題中的動態(tài)因素找到內容的關聯(lián)性，并通過靈活的思維與分析，獲得解決問題的方法［3］.

2.3 利用代數(shù)式的恒等變形解決圖形問題

在初中數(shù)學學習中，學生更多通過空間形狀解決數(shù)字問題，但在代數(shù)教學中，以數(shù)解形的方式讓學生構建逆向思維，全面促進學生邏輯思維的培養(yǎng)，有利于學生抽象思維能力的提升.在數(shù)學問題實際解決過程中常會遇到一題多解的內容，這樣的問題需要學生打破固有思維以新的方式方法去解決.數(shù)形結合的教學，能夠讓學生學會從不同角度看待問題、解決問題，實現(xiàn)固態(tài)思維的動向轉化，充分體會數(shù)學知識的魅力與探索樂趣，進而構建高質量初中數(shù)學教學.

初中數(shù)學教學中，代數(shù)知識可以幫助我們解決各種數(shù)學問題，更可以提高圖形問題解決效率.除了上面提到的用方程解決圖形問題，在圖形相交問題中還可以利用線性代數(shù)直接求解兩條直線的交點.最常見的問題有，通過正常面積與圖形補割對應的圖形面積，通過代入具體數(shù)值求解相關問題.代數(shù)式的恒等變形可以讓學生通過對代數(shù)式結構的轉化找到幾何圖形問題的切入點，以此為突破口解決相關圖形問題.

2.4 代數(shù)法與數(shù)形結合法相結合，一題多解

從不同角度思考問題找到問題解決方案，并嘗試在知識銜接處轉換思維，實現(xiàn)學生邏輯思維的全面提升；嘗試不同的解題思路，探尋問題的不同要點，幫助學生增強思考興趣，并在知識轉化和應用過程中提高學生解題能力.

例3""如圖2，等腰直角三角形ABC中，且BC=BA，B是y軸上的動點，求OC的最小值.

本題過點C作CD⊥y軸于點D，可得△ABO≌BCD，則可以順利得到點C的坐標.要求OC的最小值，可以通過代數(shù)法與數(shù)形結合進行思考與解答.

解法1：代數(shù)法.

因為∠CBD+∠ABO=90°，∠CBD+∠BCD=90°，所以∠ABO=∠BCD.

又AB=BC，所以△ABO≌△BCD，則

BO=CD.

令B（0，n），則點C（n，n+2）或（-n，n-2）.

當C的坐標為（n，n+2）時，OC2=n2+（n+2）2=2（n2+2n+2）=2[（n+1）2+1]，則

n=-1時，OC取最小值2.

當C的坐標為（n，n-2）時，同理可知n=1時，OC取最小值2.

解法2：數(shù)形結合法.

由解法1可知，點C的軌跡方程為y=x+2或y=-x-2，點C的軌跡是兩條直線.

當點C在直線y=x+2上時，點O到直線的距離即垂線段最短，如圖3.

作OF⊥EC于點F，則可得，∠CEO=45°.

在Rt△OEF中，OE=2，所以OF=2，即當點C在點F的位置時OC取最小值為2.

當點C在直線y=-x-2上時，同理可得OC的最小值為2.

結合實例可以發(fā)現(xiàn)，初中數(shù)學數(shù)形結合的教學形式成為學生靈活掌握與應用數(shù)學知識的重要形式，一題多解的教學方法能讓學生對同一問題進行多角度思考，在數(shù)形結合的思考中提高知識應用效率［4］.

總而言之，數(shù)形結合思想在中學教學中有著重要作用，以數(shù)解形作為中考必考內容之一，教師應積極培養(yǎng)學生以數(shù)解形的意識與能力，讓學生在代數(shù)知識的學習中靈活利用以數(shù)解形思維將抽象問題形象化，復雜問題簡單化，提高理解能力，靈活解決問題.通過數(shù)與形的深入結合，構建高質量數(shù)學課堂.

參考文獻：

[1]康小鳳.數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題過程中的應用[J].百科知識，2020（21）：52-54.

[2]周冬梅.初中數(shù)學數(shù)形結合思想教學研究與案例探析[J].中學課程輔導（教師通訊），2020（5）：54.

[3]李跟星.以數(shù)解形"以形助數(shù)——數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中的應用[J].考試與評價，2019（6）：44.

[4]賈新寶.“以數(shù)解形”是解決幾何題的有效方法[J].數(shù)學學習與研究，2013（17）：96，98.