遵循原則巧分類，化整為零找技巧

摘要：分類討論是解決問題的一種重要方法，它要求在遵循分類原則的前提下，靈活運用“化整為零、分別對待、各個擊破”的策略與技巧；分類討論的過程，充分體現了“同中求異”與“異中求同”兩種思維方式的有機結合.本文中結合具體案例，給出了合理分類”三原則“，以及分類討論思想在解題中的運用技巧.

關鍵詞：分類三原則；常規類問題；不確定問題；動態圖形問題

分類思想，就是根據數學對象屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種重要的數學思想.所謂數學分類討論方法，就是指根據一定的原則和標準，采用“化整為零、分別對待、各個擊破”的策略，將數學對象分成幾類，通過分別討論來解決問題的一種數學方法.在具體的運用過程中，先抓住問題涉及的對象的不同特點，分為若干既不重復、又不遺漏的幾類，分別進行討論，這是同中求異的過程；然后將各類情況的共同特征加以綜合，得出結論，這又是異中求同的過程.

在初中數學的學習中，分類討論思想隨處可見：既有對“數”的分類，也有對“形”的分類；既有概念、公式、法則、性質上的分類，也有解題方法上的分類.例如，在代數中含有字母系數的方程、不等式、函數的解析式等問題常常需要分類討論.在幾何中，如果題目中給出直角三角形，那么需要討論哪個角是直角；如果給出等腰三角形的一條邊，那么就要討論這條邊是底還是腰[1]；如果是動態圖形，就要討論圖形的位置.由于分類討論是初中數學中的重要思想，因此也成為了近幾年各地中考命題的熱點.

1 合理分類“三原則”

將研究對象進行合理分類，需要遵循以下三條原則：

（1）分類要按同一標準（分類的一致性或同一性）

例如三角形，按角可分為直角三角形斜三角形銳角三角形鈍角三角形

按邊可分為非等腰三角形等腰三角形僅兩邊相等的三角形等邊三角形

（2）分類不能有遺漏（分類的完備性）

例如，已知a為任意實數，試比較a與2a的大小.

正確的解答是分三種情況討論：

當agt;0時，alt;2a；當alt;0時，agt;2a；

當a=0時，a=2a.

有些同學只答了agt;0和alt;0兩種情況，而遺漏了a=0的情況，這樣的分類就是不完備的.

（3）分類不能重復（分類的純粹性）

例如，有些同學把三角形錯誤地分成不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形.由于等邊三角形包含在等腰三角形中，因此，這種分類法就重復出現了等邊三角形.

2 分類討論思想在解題中的運用技巧

2.1 常規類型問題

例1""等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1∶2，則等腰三角形的頂角為（""）.

A.30°

B.60°

C.150°

D.30°或150°

解：如圖1，在銳角等腰三角形ABC中，CD為腰AB上的高，CD∶AB=1∶2.因為AB=AC，所以CD∶AC=1∶2.故在Rt△ADC中，∠A=30°.

如圖2，在鈍角等腰三角形ABC中，CD為腰AB上的高，交BA的延長線于點D.在Rt△ADC中，因為CD∶AC=1∶2，所以∠DAC=30°.因為∠BAC+∠DAC=180°，所以∠BAC=150°.

綜上所述，等腰三角形的頂角為30°或150°.

故答案應選：D.

思路與技巧：本題屬于常規類型問題.已知條件中只給出等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1∶2，而符合條件的等腰三角形可能是銳角等腰三角形，也可能是鈍角等腰三角形，這就要分兩種情況進行討論.由此可見，在解答有關三角形常規類問題，特別是求與角或邊有關的問題時，在沒有特別說明腰、底邊、頂角、底角的情況下，常要用到分類討論思想.

2.2 不確定因素問題

例2""已知點P到圓O的最近距離為3 cm，最遠距離為9 cm.求圓O的半徑.

解：（1）當點P在圓O外時，如圖3，PA=3 cm，PB=9 cm，則有AB=PB－PA=9－3=6（cm），所以圓O的半徑為3 cm.

（2）當點P在圓O內時，如圖4，PA=3 cm，PB=9 cm，則有AB=AP+PB=9+3=12（cm），所以圓O的半徑為6 cm.

綜上所述，圓O的半徑為3 cm或6 cm.

思路與技巧：本題已知條件中點P與圓O的位置關系不確定，因此需要分類討論.由已知可得點P不可能在圓O上，所以點P的位置可能在圓O內，也可能在圓O外.

2.3 動態圖形中的位置問題

例3""如圖5，正三角形ABC的邊長為1，點P在AB上運動（與點A，B不重合），PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB，Q，R，S分別為垂足，設BP=x，AS=y.

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）當點P到點S的距離為14時，求AP的長.

解：（1）由含30°角的直角三角形性質，可得AR=2y，則RC=1－2y，所以CQ=2CR=2－4y，BQ=1－CQ=4y－1，BP=2BQ=8y－2，即x=8y－2.

所以y=x8+14（0lt;xlt;1）.

（2）當點P到點S的距離為14時，有下列兩種情況.

①如圖5，當點S在線段AP上時，有y+14+x=1，則x8+14+14+x=1，解得x=49.

所以AP=1－BP=1－x=59.

②如圖6，當點S在線段BP上時，有y－14+x=1，則x8+14-14+x=1，解得x=89.

所以AP=1－BP=1－x=19.

綜上所述，當點P到點S的距離為14時，AP的長為59或19.

思路與技巧：在動態圖形中要抓住動點（動直線）與定點或定直線的不同位置進行分類討論.例如，本題中的點P可能在點S的兩側，所以要分“點S在線段AP上”“點S在線段BP上”兩種情況討論.

運用分類討論思想解題時，要注意標準統一，且不重不漏[2]；要遵循分類原則，明確分類標準，熟練掌握“化整為零、各個擊破”，“同中求異”與“異中求同”有機結合等方法與技巧；在解決不同類型的具體問題時，要靈活運用“轉化”策略，準確理解題意，認真分析題設條件，為我所用，達到快速、高效解題的目的.

參考文獻：

[1]顧艷.分類討論思想在數學教學中的滲透——以中考一輪復習課《等腰三角形問題》為例[J].教育研究與評論（課堂觀察），2019（4）：60-63.

[2]陳艷陽.分類討論思想在數學解題中的運用[J].數理化解題研究，2021（23）：30-31.