巧妙轉化 便捷解題：數形結合思想的應用

數形結合思想應用于基礎課堂教學，是革新數學理念、沖破傳統灌輸教學模式的有效途徑，也是拓展學生數學思維和解題思路的必然選擇.針對課堂教學而言，數形結合思想的應用能夠較為直觀地提高學生的數據信息處理能力，進而提高教學效果，通過引導學生找到更為便捷的解題方式，從而推動學生解決問題能力的提升.

1 以形助數，提高數學直觀思維

數學對學生的思維轉換意識具有較高要求，面對諸多知識點內容，部分學生對大段文字題目的考查方向，以及涉及到的具體公式不清晰.為提高學生的理解能力，教師可充分發揮圖形的作用，堅持“以形助數”，全面提升學生數學直觀思維.站在全局角度，為學生選擇適配性較強且容易理解的圖形表現方式，二者相互結合，深層次提高學生審題意識，在強化訓練的基礎上，有效延伸學生的數學直觀思維，有利于學生在解題過程中少走彎路，達到事半功倍的效果.

例1""函數y=ax2－2x+1和y=ax－a（a是常數，且a≠0）在同一平面直角坐標系的圖象可能是（""）.

對于二次函數y=ax2－2x+1，其對稱軸為x=22a=1a.而直線y=ax-a過點（1，0）.

從“以形助數” 角度，對選項進行假設分析.

對于選項A，若此選項正確，由一次函數y=ax－a圖象可知alt;0.對于二次函數，alt;0時開口向下，對稱軸x=1agt;0在y軸左側，且當x=0時，y=1，與選項A中圖象不相符.

同理，對其余選項也進行同上分析，最終得出正確選項B.

綜上，通過結合函數圖象的性質，利用 “以形助數” 的思想，能夠更直觀地分析問題，快速確定正確選項.

2 以數解形，增強數學轉化思維

數學具有不止一個龐大的知識體系，在解題過程中，學生會遇到千奇百怪的圖形，或簡單，或復雜，影響著學生的解題思維.要想提高對數學知識的理解能力，學生應該主動改變思維方式，將多變的圖形模式與數字建立聯系，以數解形，切實提高數學基礎知識和知識應用技巧之間的轉化力.“以數解形”思想的滲透，對學生的成長和發展大有裨益.

例2""如圖1，每個小格子均是邊長為1的正方形，則圖2的A，B，C，D四個圖形中與圖1中三角形ABC相似的陰影圖形為（""）.

初步閱讀例2，很多學生都有一種丈二和尚摸不著頭腦的感覺.僅從圖形上來看，A，B，C，D中的陰影三角形和圖1中的三角形樣式都十分接近，部分學生僅根據圖形提取不到與教材知識點相符合的信息.

此時，筆者利用“以數解形”思想對學生進行如下引導：首先，引導學生回顧相似三角形的判斷方法.從條件可知三角形的角不方便計算，但利用勾股定理很容易計算三角形的邊，因此可以考慮三邊對應成比例這個判斷方法.其次，引導學生從網格正方形的邊長為1，計算圖1中三角形的邊AB，BC，AC的長分別為2，2，10，其比例為1∶2∶5. 然后依次計算出A，B，C，D中各邊的長度.發現A選項中三角形的三邊長分別為1，2，5，與圖1的邊對應成比例，由此得到答案為選項A.

例3""如圖3，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于點D，AE是⊙O的切線，AE交OC的延長線于點E.若∠AOC=45°，BC=2，則線段AE的長為_____.

在這道題中，“以數解形”發揮著關鍵作用.首先，已知BC=2且OA⊥BC，由垂徑定理可得CD=1，將弦長的圖形條件轉化為具體數值，邁出解題第一步.接著，由∠AOC=45°，OA⊥BC，可知△COD是等腰直角三角形，所以OD=1，把角度的圖形特征轉化為線段長度，進一步明晰圖形中的數量關系.設圓的半徑為r，在Rt△COD中利用勾股定理，r2=12+12，算出r=2，即OA=2，通過定理將半徑這一圖形元素量化.最后，因為AE是切線，所以∠OAE=90°.又∠EOA=45°，Rt△OAE為等腰直角三角形，可知AE=OA=2.

整個過程，借助“以數解形”，把圖形條件不斷轉化為可運算的數量，將復雜幾何問題代數化，增強了轉化思維，讓學生能便捷地算出AE=2，凸顯其在解題中的重要價值.

3 形數互變，拓寬數學建構思維

由于初中數學知識點多且比較復雜，新課程標準強調，著重培養學生實踐力和創新力，拓寬數學建構思維，準確把握數學知識內涵，細致分析數形之間的變化與聯系.在探索階段，學生應該主動發揮直觀想象力，多角度分析初中數學課程中難以理解的知識內容，通過數形之間的有效轉化，逐步消除對數學學科的陌生感，更加形象地挖掘數學習題中的隱含條件，探究其規律，達到新課改素質教育的本質目的.

例4""如圖4，點A在x軸的正半軸上，且滿足OA=4，若將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置.

（1）求經過A，O，B三點的拋物線解析式；

（2）請判斷并說明在拋物線對稱軸上，是否存在點P，使得以P，O，B為頂點的三角形是等腰三角形？

此類題型已經給出了文字和圖形，是數形結合的經典習題.此時，要想得出第（1）（2）問的答案，需要根據已知條件，借助輔助線，形數互變，培養學生轉化、總結、遷移、應用素養.

在解析第（1）問時，首先要作出如圖5所示的輔助線，其中BC垂直于x軸，且與x軸交于點C，根據已知條件，可得∠BOC=60°，OB=4.其次，根據正弦、余弦定義，可以得出BC=4sin 60°=23，OC=4cos 60°=2，因此可知B（-2，-23）.最后，根據A，B，O三點的坐標，利用待定系數法，求出拋物線的解析式為y=-36x2+233x.

在探究第（2）問時，仍然要注重形數互變，分OP=OB，BO=BP，PO=PB三種情況，求得到點P的坐標分別為（2，23）或（2，-23），而當點P的坐標為（2，23）時，P，O，B三點共線，不含題意.所以在拋物線的對稱軸上存在點P（2，-23），使得以P，O，B為頂點的三角形是等腰三角形.

4 數形結合，激發數學遷移思維

初中是起承轉合的關鍵階段，因此培養初中生的數學思想，提高其問題解析能力尤為重要.數形結合作為實用性較強的思想方法，數與形的相互結合能夠降低數學知識的理解難度，激發學生數學遷移思維.

例5""如圖6，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，且滿足∠EDC+∠ECD=90°，求證：DA⊥AB.

此題主要考查角平分線的性質，從題目可以看出，有數有形，為后續巧妙解題提供了先決條件.因此，為提高教學效率，增強學生直觀理解能力，教師需要引導學生主動將數、形結合起來，相互對照分析，幫助學生熟練掌握“角平分線的定義和性質”.由“DE平分∠CDA，CE平分∠BCD”，可以得到∠EDC=∠ADE，∠ECD=∠BCE.由∠CDA+∠BCD=∠EDC+∠ADE+∠ECD+∠BCE，經過數形對照分析，得到∠CDA+∠BCD=2（∠EDC+∠ECD）=180°，進一步借助線段平行和垂直性質，得出DA⊥AB.

總而言之，在數學教學中，數無形不形象，形無數不清晰.對初中學生而言，以形助數、以數解形、數形結合是提高學習效果、提升數學核心素養的一種方法;對教師而言，數形結合也是整合傳統落后的教學模式、增強創新指導效果的有效途徑.為全面展現數形結合思想，拓寬學生數學知識結構，教師作為知識的傳授者，應該結合學生基礎水平，選擇適應性較強的數形模式，切實推動數學教學事業的發展.