三角函數與圓共奏和諧樂章

摘要：已知一個銳角的三角函數值求圓中有關線段長，大多數情況下已知銳角的三角函數值都不能直接應用，需將其轉化.轉化的方法較多，本文中介紹用等角轉化，轉化的策略包括通過同弧所對的圓周角相等轉化，通過平行線、圓的切線轉化，還可以通過等弧所對的圓周角相等轉化.

關鍵詞：銳角三角函數；圓中線段長；等角轉換

“圓”是初中幾何的核心內容，知識點繁多，圓中的角轉換靈活，方法技能多變，難以掌握.銳角三角函數是相似的一種特殊運用，是中考的重點內容.當這二者在中考試卷中相遇時，會共奏出怎樣的和諧樂章呢？下面介紹幾種通過等角的有效轉換求圓中線段長的幾種方法，供學生復習時參考.

1 通過“等弧所對的圓周角相等”轉化

例1""（2022·營口一模）如圖1，點E在以AB為直徑的⊙O上，C是BE的中點，過點C作CD⊥AE，交AE的延長線于點D，連接BE交AC于點F.

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若cos∠CAD＝45，BF＝15，求AC的長.

分析：（1）要證切線，需證OC⊥DC，所以連接OC，再用角平分線和等腰三角形的性質證得OC∥AD，而AD⊥DC，結論獲證.

（2）根據圓周角定理的推論知∠EAC＝∠CAB＝∠CBE，那么這些等角的余弦值也相等.在Rt△BCF中，由cos∠CBF求出BC的值.在Rt△ABC中，根據tan∠CAB求出AC的值.

（1）證明：如圖2，連接OC，BC.

因為C是BE的中點，所以由“等弧所對的圓周角相等”知∠EAC＝∠CAB＝∠CBE.

又∠CAB＝∠OCA，所以∠EAC=∠OCA.

所以AD∥OC.

又AD⊥CD，

所以OC⊥CD.

因此CD是⊙O的切線.

（2）解：

由（1）可知∠CBE＝∠CAD，

則

cos∠CBE＝cos∠CAD＝45.

在Rt△CBF中，cos∠CBF＝45，即CBBF＝45，又BF＝15，

所以BC＝12.

由cos∠CAD＝45，得tan∠CAD＝34.

所以tan∠CAB＝34＝BCAC.

又BC＝12，

所以AC＝16.

點評：第（2）問運用等弧與圓周角將圓中角合理轉化，得到三個角相等（即∠EAC＝∠CAB＝∠CBE），那么，這些角的余弦值或正切值也分別相等，再利用BF＝15，求出BC的值，則AC的值也迎刃而解.這其中合理運用了等角的余弦值和正切值，才使問題解答較為簡單.

2 通過圓的切線轉化

例2""（2022·遂寧模擬）如圖3，AB是⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點D，AM⊥CD于點M，BN⊥CD于點N.

（1）求證：AD2＝AM·AB；

（2）若AM＝185，sin∠ABD＝35，求線段BN的長.

分析：（1）將要證的等積式結論寫成比例式，這四條線段分散在兩個直角三角形中，只需證△DAM∽△BAD，而兩個直角相等易證，則只需證明∠MDA＝∠DBA，通過切線的性質可證得.

（2）線段BN在Rt△BDN中，cos∠NBD＝BNBD，知道sin∠NBD和BD的值即可求解.由切線性質和“同角的等角相等”知∠NBD＝∠MDA＝∠ABD，則cos∠NBD＝45，又由（1）的結論AD2＝AM·AB可求得AB的值，則BD可求得.

（1）證明：如圖4，連接OD.

因為CD是⊙O的切線，所以∠1＋∠5＝90°.

又AB是⊙O的直徑，所以∠2＋∠5＝90°.

所以∠1＝∠2.

又∠2＝∠3，則∠1＝∠3，

而∠AMD＝∠ADB＝90°，

所以△DAM∽△BAD.

因此ADAB＝AMAD，即AD2＝AM·AB.

（2）解：由同角（∠NDB）的余角相等，可知∠1＝∠4.

又由（1）的結論知∠1＝∠3，則

∠3＝∠4.

而sin∠ABD＝35，則cos∠NBD＝cos∠ABD＝45.

設AD＝3x，BD＝4x，則AB＝5x.

由（1）的結論AD2＝AM·AB，

得（3x）2＝185×5x，解得x＝2，那么BD＝4x＝8.

結合cos∠NBD＝45＝BNBD，可得BN＝325.

點評：解決本題的關鍵是用切線的性質和同角的余角相等得到∠3＝∠4，那么根據∠3的正弦值就可以得到∠3與∠4的余弦值，再由（1）的結論可求出線段BN的長.

3 通過“兩直線平行，同位角相等”轉化

例3""（2022·孝感模擬）如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分線，點O在AB上，⊙O經過B，D兩點，交BC于點E.

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若AB＝6，sin∠BAC＝23，求BE的長.

分析：（1）此問源于課本，改編自人教版九（上）課本102頁第12題.要證AC是⊙O的切線，連接OD，只需證明OD⊥AC，通過△OBD是等腰三角形和DC⊥BC可以解決.

（2）BE所在的圖形沒有直角三角形，為此設AB與⊙O的交點為F，連接EF，由直徑出現90°的圓周角，根據平行線的性質得同位角相等，即∠EFB＝∠CAB，由等角的三角函數值相等知sin∠EFB＝sin∠BAC＝23，因此只需求出直徑即可解決問題.

（1）證明：如圖6，連接OD.

由OD＝OB和BD是∠ABC的平分線，得∠ODB＝∠OBD＝∠DBC，

則OD∥BC.

又∠ACB＝90°，

所以OD⊥AC.

因此，AC是⊙O的切線.

（2）解：如圖6，設AB與⊙O的交點為F，連接EF.

在Rt△ABC中，由sin∠BAC＝23=BC/AB，AB＝6，可得BC＝4.

設⊙O的半徑為r，由（1）知OD⊥AD.

所以sin∠BAC＝ODAO=BCAB，即r6－r=46.

解得r＝12/5.

由AB過點O可知∠FEB＝90°，

則EF∥AC.

所以∠EFB＝∠CAB，則sin∠EFB＝sin∠CAB＝23.

所以BEFB＝23.

又FB＝2r＝24/5，所以BE＝16/5.

點評：由直徑所對的圓周角是直角，得到直角三角形，所求的線段BE即為直角三角形的直角邊.進一步挖掘，由平行線出現相等的同位角，那么等角的正弦值也相等，則問題破解便迎刃而解.

4 運用“同弧所對的圓周角相等”轉化

例4""（2022·武漢一模）如圖7，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，CO的延長線交AB于點D.

（1）求證：AO平分∠BAC；

（2）若BC＝6，sin∠BAC＝35，求AC和DC的長.

分析：（1）由等腰三角形的條件和所證結論，想到AO也是BC的中垂線，只需作出輔助線，即連接OB，延長AO交BC于一點，利用對稱性即可解決.

（2）∠BAC所在的三角形不是直角三角形，作CO所在的直徑CE，連接BE，根據圓周角定理，可知∠E＝∠BAC，進而用∠E的正弦值求得圓的半徑.要求DC的長，即只要求DO的長，又DO在“8字型”的圖形中，得到DODE=AOBE，即可獲得DO，解Rt△ACH即可求AC.

（1）證明：如圖8，延長AO交BC于點H，連接BO.

因為AB＝AC，OB＝OC，

所以A，O在線段BC的垂直平分線上，即AO⊥BC.

又AB＝AC，所以AO平分∠BAC.

（2）解：如圖8，延長CD交⊙O于點E，連接BE，則CE是⊙O的直徑，

所以BE⊥BC.

又AH⊥BC，所以BE∥AH.

由“同弧所對的的圓周角相等”知∠E＝∠BAC，

所以sin∠BEC＝sin∠BAC＝BCCE＝35.

又BC＝6，所以CE＝10，半徑r＝5.

在Rt△BCE中，BE＝CE2－BC2＝8.

由BE∥AH知OABE＝ODDE，即58＝OD5－OD，解得OD＝2513，

所以CD＝5＋2513＝9013.

由（1）知H為BC中點，而O是EC中點，則OH是△CEB的中位線，

所以OH＝12BE＝4.

又AO=r=5，所以AH＝9.

所以，在Rt△ACH中，AC＝AH2+CH2＝92+32＝310.

點評：本題的顯著特點是運用同弧所對的圓周角將∠BAC轉化成直角三角形的一個角，并用三角函數值求得線段OC的長，再利用相似三角形的對應邊成比例，求得線段OD的長，即可求線段CD的長.這種先分解整體，再求解問題的各個部分的解題方式，是常見的解題模式，值得我們借鑒.

通過以上幾個例題可以看出，銳角三角函數與圓“聯袂”的幾何試題，不僅用到了圓的相關知識解決問題，而且還豐富了解決有關圓問題的方法和技巧，很好地考查了圓、銳角三角函數、勾股定理、相似、方程、三角形等相關知識.將已知條件中的銳角通過幾何圖形的性質轉換成它的等角，即可將已知中的銳角三角函數值轉換為等角的三角函數值，這是轉化思想的重要體現，是一種重要的解題技能.運用這種轉化方法，可以溝通各已知條件與結論的關系，使隱含的聯系顯露出來，從而使問題巧妙而簡潔獲解.