曲徑通幽處，禪房花木深

摘要：本文中選取了2023年江蘇連云港的一道中考壓軸題（填空題）進行研究.給出了3種常見的解決辦法，并對這3種方法進行了詳細的剖析，指出了每種方法的難點、關鍵點之所在.探討了數學題的通性通法，研究如何引導學生建立數學模型，突破核心難點.通過一道題3種方法的演變，探索了其中的共性生長點、拓展點，力求使教學更加具有針對性.

關鍵詞：核心素養；配方；最值

《義務教育數學課程標準（2022年版）》關于學業考試的命題原則中指出：“堅持素養立意，凸顯育人導向.以核心素養為導向的考試命題，要關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查四基、四能與核心素養.”[1]中考是如何落實這一要求呢？本文中以一道2023年江蘇連云港中考試題的為例，展開研究.

1 試題呈現

（2023江蘇連云港第16題）若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3（x，y為實數），則W的最小值為_____.

本題為試卷上填空題的最后一題，難度之大幾乎為連云港近十年中考填空題之最，也是本試卷不折不扣的壓軸題.學生們紛紛感到一籌莫展，會做者甚少.中考閱卷時，此題被討論的熱度也頗高.基于此，筆者試著從不同的角度提出解法和思考.

2 試題解法

2.1 用配方法求最值

利用配方法，將條件變形為

W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3

=4x2-4xy+y2+4x-2y+x2+4x+3

=（2x-y）2+2（2x-y）+1+x2+4x+4-2

=（2x-y+1）2+（x+2）2-2.

因為（2x-y+1）2≥0，（x+2）2≥0，

所以W≥-2，當且僅當x=-2，y=-3時，等號成立.

所以W的最小值為-2.

配方法是解決此類題目的最常規方法，但是此題比一般的配方法問題難度大了許多.首先是因為W的表達式中有兩個字母x和y（一般的配方法問題中只有一個字母），其次是反復配方，特別是還用到了整體法配方，即通過拆項把原式配成了（2x-y+1）2+（x+2）2-2為核心難點所在.相信學生在考場上大多選擇此種方法解題，但是由于拆項、多次配方等，難度大，往往以失敗告終.

2.2 用二次函數知識求最值

將條件變形為

W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3

=y2-2（2x+1）y+5x2+8x+3.

當y=2x+1時，W取得最小值，即

W≥4（5x2+8x+3）-［2（2x+1）］2/4

=x2+4x+2

=（x+2）2-2.

因為（x+2）2≥0，所以（x+2）2-2≥-2，當且僅當x=-2，y=-3時，等號成立.

所以W≥-2.

故W的最小值為-2.

對比前一種方法，此種方法做起來要簡單不少.它的關鍵是要學會把W看成y的函數（也可以稱y為主元，x為次元或參數）.要先把原式改寫為W=y2-2（2x+1）y+5x2+8x+3（以y為未知數的一般式），這樣把W看成y的二次函數，這是一個開口向上的拋物線，當y=2x+1時有最低點（即W取得最小值）.再代入二次函數頂點的縱坐標公式得到x2+4x+2，再進行一次簡單的配方得到（x+2）2-2即可.特別要注意的是，這里盡量不要用配方法求頂點縱坐標，因為會非常復雜，直接用頂點縱坐標公式則相對簡單不少.在考場上想到此種方法解題的學生較少.

2.3 用判別式求最值

將W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3變形，得

y2-2（2x+1）y+5x2+8x+3-W=0.

①

方程①可看成關于y的一元二次方程，因為有實數根，

所以

[2（2x-1）]2-4（5x2+8x+3-W）≥0.

所以W≥x2+4x+2=（x+2）2-2≥2.

所以當x=-2，y=-3時，W取最小值-2.

從過程上講，對比前面兩種方法，此種方法顯然簡單得多，但也是學生最難想到的.首先要把原式看成關于y（或x也行）的一元二次方程，然后再化為一般式y2-2（2x+1）y+5x2+8x+3-W=0.同時，還要能發現題目的隱含條件：既然要求W的最小值，就說明原式中x，y是存在（或有意義）的，所以將其看成關于y（或x也行）的一元二次方程后Δ≥0，從而整理得到W≥x2+4x+2，再配方得W的最小值為-2.

3 解后思考

前面所介紹的三種方法是按照學生的認知規律來排序的，但是難易程度的順序卻恰恰是相反的，這就不得不引發我們必要的思考.

配方法的關鍵是把所給代數式化為平方的形式，再利用平方的非負性求出最值.同時，配方法也是解一元二次方程的一種通法，學生總體掌握較好，但是本文所探討的題目用配方法來做的話，顯然既“難”又“繁”，這就對學生的解題能力提出了很高的要求，能在考場上用配方法算出本題的學生應該具備了較高的數學核心素養.

二次函數是初中數學的核心難點之一，課程標準也對此部分有較高的能力要求.學好二次函數的知識，也就具備了解決相關數學問題的能力.利用二次函數求最值，一般要具備3個條件：（1）圖象的開口方向；（2）對稱軸（頂點橫坐標）；（3）自變量的取值范圍.本題顯然這3個條件都具備，所以是可以用二次函數來解決問題的.但本題字母較多，學生心里容易“亂”，不會把W看成y或x的二次函數.把y或x看成未知數（主元）都可以，關鍵是要確定一個下來（通常可以根據式子特點，選擇簡單一點的確定下來），從而利用二次函數的頂點坐標等知識解決問題.

由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式知識我們知道：如果原方程有兩個實數根，則必滿足條件b2-4ac≥0.從形式上看，本題不是一元二次方程，用此方法的關鍵是學生要能大膽把原式看成關于y（或x也行）的一元二次方程，然后再化為一般式，還要能發現既然是求W的最小值，就說明原式中x，y是存在（或有意義）的，從而可以利用該隱含條件快速求出答案.

4 總結

配方法是初中學生需要熟練掌握的一種重要“武器”，也一直是近年中考的熱點所在，只是2023年連云港的的中考試卷該題難度達到了新的高度.

縱觀解答本題所用到的這3種方法，本質上也都用到了配方.第一種方法是“純粹”的配方，但是需要作必要的拆項變形，怎么拆以及利用整體思想配方、多次配方會難倒相當部分學生.這就需要我們一線教師在平時的教學中把配方法講深、講透.

最值問題，用二次函數來解決也是常見的思路.但本題卻不是“常規”的二次函數問題，學生需要能從該題中看到二次函數的“身影”，把W看成y或x的二次函數，從而用二次函數知識解決問題，這其實也是課程標準中提到的建模思想.學生學會建模，就掌握了一項重要解題的技能.對學生建模能力等核心素養的培養，我們廣大一線教師應在平時的教學中予以足夠的重視.

本文中所提出的解決問題的第3種方法——根的判別式法，顯然是最簡單的，但很少有學生能想到.究其原因，首先學生不易把原式“看成”一元二次方程，其次不易挖掘出本題的隱含條件“既然要求W的最小值，就說明原式中x，y是存在（或有意義）的，所以將原式看成關于y（或x）的一元二次方程后Δ≥0，從而整理得到W的最小值”.因此，教師除要培養學生前文提到的建模能力外，還要在平時的教學中引導學生學會挖掘題目的隱含條件，如果學生能做到這一點，往往會感覺題目的難度大幅下降了，本題就是最好的詮釋.

本題的難度很大，解法也很多，作為壓軸題也符合初中畢業考試選拔人才的要求，所以這是一道值得研究的好題.對于初中階段的學生而言，筆者認為以上3種解法最為典型.到了高中甚至大學階段的數學學習，我們還可以用偏導數、拉格朗日定理等很多方法，到了那個時候，學生如果還能想起本題的話，也是一件趣事.

落實新課程標準提出的培養學生的核心素養的要求，我們一直在路上.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.