二次函數區間上的最值求參問題探究

摘要：已知含參數的二次函數在一個閉區間上有最值，求其參數問題是一類常見題型，解題的主要思路是分類討論，由于參數的位置不同，可產生許多變化，本文中對四類經典題型的解題策略進行了分析探討．

關鍵詞：二次函數；閉區間；最值

我們知道，已知二次函數在閉區間上的最值求相關的參數（或參數范圍）問題，有若干種類型，主要涉及到對三個參數變動情況的考查，即二次函數的開口方向、二次函數的對稱軸以及對應的區間，但無論是哪種類型，解決問題的核心都是通過分析二次函數的對稱軸與所給區間的關系，然后再進行適當的分類討論并建立有關等式解決參數問題.

一般地，對于二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在閉區間［α，β］的最值，可進行如下分析.

先考慮當agt;0時的最小值.因為二次函數圖象的開口向上，其對稱軸為x=－b2a，此時需分三類討論：

①若－b2a≤α，則［f（x）］min=f（α）；

②若αlt;－b2alt;β，則［f（x）］min=f－b2a；

③若－b2a≥β，則［f（x）］min=f（β）．

而當agt;0時的最大值只需分兩類討論：

①若－b2a≤α+β2，則［f（x）］max=f（β）；

②若－b2agt;α+β2，則［f（x）］max=f（α）．

對于alt;0時的情況，可類似前面的討論得到相應的結論，這里留給讀者朋友自己探討．

前面是一般情況下問題的理論分析，而在解決具體問題時，還可以根據頂點、對稱軸、區間的具體變化情況細分為若干種特定的情況.下面給出四類比較典型例題的分析研判，為大家提供不同題型所對應的解題策略，僅供參考．

1 區間固定且開口方向確定

例1""已知函數f（x）=x2－4x+a2－2a+1在區間［0，1］上的最小值為1，求a的值．

分析：因為二次函數f（x）=x2－4x+a2－2a+1，圖象開口向上，對稱軸為直線x=2，所以f（x）在區間［0，1］上單調遞減，故此二次函數最小值為f（1）.依題意有a2－2a－2=1，由此解得a=－1或a=3，經檢驗，都滿足題意．

點評：此例是二次函數中一類簡單的已知最值求參問題，只需比較對稱軸x=－b2a與區間端點α，β的位置關系就能解決問題，特別要注意的是，必須通過回代驗證才能確定所求參數值．

例2""已知函數f（x）=－x2+2ax+1－a在區間［0，1］上有最大值2，求a的值.

分析：因為函數f（x）=－x2+2ax+1－a=－（x－a）2+a2－a+1，所以函數圖象的開口向下，對稱軸方程為x=a.

①當alt;0時，［f（x）］max=f（0）=1－a，所以1－a=2，得a=－1.

②當0≤a≤1時，［f（x）］max=f（a）=a2－a+1，則a2－a+1=2，即a2－a－1=0，解得a=1±52［0，1］（舍）.

③當agt;1時，［f（x）］max=f（1）=a，所以a=2.

綜上可知，a=－1或a=2.

點評：此題的特點是參數在二次函數式的一次式和常數項上，所以對應的二次函數圖象的對稱軸在移動，通過分類討論判斷對稱軸所處的位置，就能確定函數所取的最值情況，由此建立關于參數的方程求出參數的值．

2 區間固定但開口方向不確定

例3""已知二次函數f（x）=ax2－2ax+3在［－2，3］上有最大值4，求a的值．

分析：依題意知a≠0，f（x）=a（x－1）2+3－a，其函數圖象的對稱軸為直線x=1，且1∈［－2，3］.

當agt;0時，拋物線開口向上，所以函數的最大值為f（－2）=8a+3.由8a+3=4，得a=18.

當alt;0時，拋物線開口向下，所以函數的最大值為f（1）=3－a.令3－a=4，得a=－1.

當a=0時，f（x）=3，不合題意．

綜上可知，a=18或a=－1．

點評：此題的特點是二次函數的二次項系數含有參數，故先要對二次函數圖象開口方向進行分類討論，即對a分三類討論來解決，然后結合對稱軸的位置確定函數的最大值，最后得出結論．

例4""已知函數f（x）=|x2－2x－t|在區間［0，3］上的最大值為2，求參數t的值.

分析：先采用分類討論的方法去掉絕對值符號，再由二次函數的性質求t的值，這是一個常規思路，但求解過程肯定非常繁瑣.注意到二次函數y=x2－2x－t的一個極值點x=1∈［0，3］，且x=1也是函數f（x）=|x2－2x－t|的一個極值點，所以f（x）在［0，3］上的最大值只可能在x=0，1或3時取得，于是［f（x）］max=maxf（0），f（1），f（3），這樣，就可以賦值，再由f（0）=2，f（1）=2，f（3）=2解出t的值，然后逐一檢驗，即可得出滿足條件的參數t=1.

點評：已知函數表達式，欲求其中的參數，賦值法是最基本的解題措施，但本題中是已知函數在某個區間上的最值，需重點分析何時能夠取到最值，這是解題的核心.

3 區間固定但開口方向和對稱軸都變動

例5""已知函數f（x）=ax2－2x+1在區間［0，1］上有最小值為－1，求a的值．

分析：由于本題中的拋物線開口方向不確定，因此首先需要討論二次項系數，然后再對稱軸移動的不同情況進行二級討論.

（1）當a=0時，f（x）=－2x+1，此函數在［0，1］上單調遞減，所以［f（x）］min=f（1）=－1，所以a=0滿足題意.

（2）當agt;0時，二次函數f（x）=ax2－2x+1圖象的開口向上，且對稱軸為直線x=1a.

①當0lt;1a≤1，即a≥1時，f（x）圖象的對稱軸在［0，1］內，所以f（x）在[JB（/0，1a[JB）］]上單調遞減，在[JB（/1a，1[JB）］]上單調遞增，則［f（x）］min=f1a=－1a+1．由－1a+1=－1，得a=1/2，滿足題意.

②當1agt;1，即0lt;alt;1時，f（x）圖象的對稱軸在［0，1］的右側，所以f（x）在［0，1］上單調遞減，則［f（x）］min=f（1）=a－1．由a－1=－1，得a=0，不合題意，舍去.

（3）當alt;0時，f（x）圖象的開口向下，且對稱軸x=1alt;0，即在y軸的左側，所以函數f（x）在［0，1］上單調遞減，則［f（x）］min=f（1）=a－1．由a－1=－1，得a=0，也不合題意，舍去．

綜上可知，a=0或a=1/2．

點評：由于區間確定、對稱軸與開口方向都可變的函數最值問題是一類非常復雜的問題，一般情況下，需要對開口方向和對稱軸進行兩級討論，分類標準必須清晰合理．

例6""已知函數f（x）=ax2+（2a－1）x+1在區間［－1，1］上的最大值為2，求a的值．

分析：當a=0時，函數f（x）=－x+1，在區間［－1，1］上單調遞減，而f（－1）=2，滿足題意.

當a≠0時，此二次函數的最值只能在區間端點或函數圖象的頂點處取得．

①令f（1）=2，則a+（2a－1）+1=2，得a=23，此時f（x）=23x2+13x+1，對稱軸為直線x=－14，所以在x=1處取最大值，故a=23符合題意；

②令f（－1）=2，于是a-（2a－1）+1=2，得a=0，不合題意；

③令f1－2a2a=2，于是可得1－4a+4a24a+（2a－1）（1－2a）2a+1=2，化簡得4a2+1=0，此方程無解.

綜上可得，a=0或a=23．

點評：本題如果先討論開口方向，再討論對稱軸，那么解題過程可能非常復雜，而此解法是從整體上考慮，按照何時能夠取得最大值的思路，大大降低了問題思考的難度和縮減了分類討論的過程．

4 二次函數的圖象確定而區間變動

例7""已知函數f（x）=|x2－2x－1|在動區間［0，a］上的最大值為2，求實數a的值.

分析：易知函數f（x）=|x2－2x－1|的圖象是將二次函數y=x2－2x－1的圖象在x軸上方的部分保持不變，而x軸下方的部分對稱地翻折到x軸上方去.通過畫出圖象分析可知（圖略），當0lt;alt;1時，函數在動區間［0，a］上取不到最大值2；當1≤a≤3時，在動區間［0，a］上，當a=1或a=3時，函數取得最大值為2；當agt;3時，在動區間［0，a］上函數的最大值為f（a），此時f（a）gt;2，不合題意.所以，滿足條件的實數a的值為1或3.

點評；該題中由二次函數的圖象容易畫出函數f（x）的圖象，因為動區間隨著參數a的變化而變化，所以對參數進行討論分析，容易得到函數取最大值2時的特殊位置.由于只有一個可變參數，因此問題的難度不大，抓住何時取最大值的條件就容易解決了．

例8"設函數f（x）=x2－2x+2，若x∈［t，t+1］，且f（x）的最小值為5，求t的值．

分析：因為二次函數f（x）=（x－1）2+1，所以函數圖象的對稱軸為直線x=1.

當t+1lt;1，即tlt;0時，函數圖象如圖1所示，可知函數f（x）在區間［t，t+1］上為單調遞減，所以［f（x）］min=f（t+1）=t2+1.由t2+1=5，得t=－2滿足題意.

當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，

函數圖象如圖2所示，在對稱軸x=1處取得最小值，則［f（x）］min=f（1）=1，不合題意.

當tgt;1時，函數圖象如圖3所示，函數f（x）在區間［t，t+1］上為增函數，所以［f（x）］min=f（t）=t2－2t+2.由t2－2t+2=5，得t=3滿足題意.

綜上，t=－2或t=3.

點評：本解法抓住了區間端點與拋物線頂點位置關系進行討論，利用函數在所對應區間內的單調性，找到對應的最小值，這就是解決二次函數最值問題的通性通法．

在某些具體問題中，由于條件和待求的結論不同，因而會出現各類不同類型的題目，在解題過程中，要在通法的基礎上抓住特點，建立符合題目條件的解題思路，從而確定精準、簡潔、實用的求解方案，體現出簡化思維、精確思考的數學素養．