聚焦“配方法”，提升初中數學解題能力

摘要：配方法是初中數學中經常用到的一種方法，主要借助“完全平方式”或幾個“完全平方式”的變形，進行降次或者判斷最值問題，本文中從整式因式分解、代數式求最值、二次根式化簡、一元二次方程求解、不等式、二次函數以及幾何圖形判斷等方面舉例分析運用.

關鍵詞：初中數學；配方法；解題方法

數學方法是我們常見的解決問題的一種手段，它往往借助推導、驗算和具體的分析，從而形成對需要解決問題的解釋與判斷途徑.其中配方法是初中數學代數問題中經常用到的一種方法，常用于代數式恒等變形問題的處理中，是一種非常重要的數學方法，本文中簡單分析配方法在數學解題過程中的具體應用.

1 配方法的理解與特性把握

配方法，重在“配方”，就是把一個代數式借助變形的手段，將其中的某些多項式轉化形成一種或幾種正整數冪和的形式，再借助式子的特點進行具體分析.

數學方法在具體運用過程中往往體現了以下幾個基本特征.其一是具有高度的抽象性和概括性，涉及的問題明顯有格式特點；其二是處理問題具有精確性，具有非常強的邏輯嚴密性和問題結論的確定性，準確性；其三是在應用過程中具有普遍性和操作性.因此，在使用配方法這一數學方法解答問題的過程中，要注意關注問題的特點，是否可用配方法，是否符合配方法的基本格式要求，從而再借助其特點進行研究與解答問題[1].

2 配方法在初中數學中的具體應用

配方法在初中數學中的運用非常普遍，主要有以下幾個方面.

2.1 運用在整式因式分解方面

配方法在因式分解方面的運用主要是結合完全平方式進行轉化，將形如“ax2+bx+c”的代數式轉化為（mx+n）2的形式，從而借助平方差公式或者完全平方公式進行因式分解.

例1""用配方法因式分解a2+8a+7．

解：原式＝a2+8a+16－9=（a+4）2－9=（a+4－3）（a+4+3）=（a+1）（a+7）.

當然，如果遇到形如“ax2+bxy+cy2”的多項式，可以將其中的一個未知數x或y看作一個常數，利用上述配方法進行因式分解.針對復雜整式的因式分解，注意先整體代換有共同特點的式子，然后再利用配方法進行因式分解，例如（x+y）4－4（x+y）2+4－（x－y）2可以先將（x+y）2看成一個整體，之后再按照要求分解.

2.2 運用在代數式求最值問題上

對于含有字母參數的代數式，我們通常很難一下子判斷整個式子能否取到最大（小）值，有時借助配方法將代數式進行變形，利用平方的非負性來判斷取值，得到其最值.常見的最值模型有（a+b）2+c≥c和－（a+b）2+c≤c.

例2""判斷M=a2－2ab+2b2－2b+2有最大值還是最小值，說明你的理由.

解：M=a2－2ab+b2+b2－2b+1+1=（a－b）2+（b－1）2+1，因為（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，所以當a=b=1時，M有最小值1．

如果在整理過程中出現多個代數式的平方，我們就判斷幾個非負數的和為零時能否取得最值進行研究，當完全平方式的系數為正時往往有最小值，系數為負時往往有最大值.

2.3 運用在二次根式化簡方面

對于復雜的二次根式，被開方數往往是代數式或者比較復雜的式子，往往利用配方法將其化為（mx+n）2的形式，問題即可解決.

例3""已知（x－4）2=4－x，化簡代數式x2－12x+36－x2－8x+16.

解：易得x2－12x+36－x2－8x+16=（x－6）2－（x－4）2=|x－6|－|x－4|.

由（x－4）2=4－x，得4－x≥0

，即x≤4.

故原式=6-x-（4-x）=2.

顯然，要想化簡二次根式，就要將其中的被開方式進行轉化，形成完全平方式的結構，這樣才能去掉根號，化到最簡，但同時也要注意自變量的取值范圍，切勿馬虎大意.

對于復雜形式的二次根式化簡問題，注意觀察二次根式特點進行處理.

例如化簡a－2ab+ba－b+a－ba+b，看起來很復雜，但是如果能夠發現分子中a－2ab+b具有完全平方式的特點，可以轉化為（a－b）2，同時注意到a－b=（a－b）（a+b），整個化簡問題就容易多了[2].

2.4 運用在一元二次方程方面

解一元二次方程中運用配方法的目的之一是便于“降次”，將一元二次方程轉化為（ax+b）2=c的形式，利用直接開平方法求解方程.

例4""用配方法解方程：2x2－x－4=0.

解：移項，得2x2－x=4.

系數化為1，得x2－12x=2.

配方，得

x－142=3316.

開方，得x－14=334或x－14=－334，

解得x1=14+334，x2=14－334．

我們也可以進一步拓展延伸“二次方程”中的問題，如“化簡x2－2xy+y2－4=0”，上式配方為（x－y）2=4，則x－y=2或x-y=－2.

當然，配方法相比公式法或因式分解法有一定的復雜性，但是這種方法是一般式子變形的根本方法，學習把握有一定的好處[3].

2.5 運用在不等式方面

在有些不等式判斷過程中需要明確相應代數式的取值范圍，對于二次多項式可借助配方法將一般形式轉化為帶有完全平方式的代數式，從而確定其取值范圍.

例5""關于x的方程

x2－（2m－1）x+（m－3）=0，求證：無論m為何實數值，該方程總有兩個不相等的實數根.

證明：

因為Δ=［－（2m－1）］2－4（m－3）=4m2－8m+13=4（m－1）2+9gt;0，所以可以判斷該方程總有兩個不相等的實數根.

拓展運用：用配方法解一元二次不等式.

例如：求不等式－x2－9x+22≤0的解集.顯然，本題對于初中生來說是超綱問題，但是掌握了配方法，問題就能順利解決.將不等式轉化為x+922≥1694，利用直接開平方法得到兩個一元一次不等式，降次解決[4].

在判斷兩個二次代數式大小問題時，也可以用作差的方法，借助配方法比較大小.

2.6 運用在二次函數問題上

在求解有關二次函數問題時，常用配方法將函數關系式轉化為“頂點式”，容易得到頂點坐標或者對稱軸.

例6""已知二次函數y＝ax2+2ax-2（a＞0），求其頂點坐標和對稱軸.

解：由y＝ax2+2ax-2＝a（x+1）2-a-2，可知其頂點坐標為（-1，-a-2），對稱軸是直線x＝-1．

2.7 運用在三角形邊之間的數量關系方面

對于給出三角形三邊長度滿足一定的關系式，通過計算判斷三角形的形狀問題，當所給關系式比較復雜很難直接解答得到三邊長度時，往往考慮利用配方法進行轉化，形成多個平方和的形式，再利用其非負性得到三邊的長度，從而確定三角形的形狀.

例7""已知a，b，c是△ABC的三條邊長，且滿足a2+19b2+10=6a+23b-|c-3|，試判斷△ABC的形狀，并說明你的理由.

解：△ABC為等邊三角形，理由如下.

由a2+19b2+10=6a+23b－|c－3|，得

a2+19b2+10－6a－23b+|c－3|=0.

整理為（a－3）2+13b－12+|c－3|=0.

所以a＝3，b＝3，c＝3，即a＝b＝c=3.

故△ABC為等邊三角形.

類似此題，我們將三邊長度的關系式借助配方法轉化為具有非負性的特性式子，輕易解答.

數學問題的突破，配方法的巧妙運用對初中階段學生來說非常重要，因此要不斷在學習中積累配方法的使用技巧，熟練把握，這樣才能更好地加快解題速度，提高學習效率，更好地鍛煉我們的數學思維，提升數學素養.

參考文獻：

［1］劉夢.配方法在解題中的運用[J].初中數學教與學，2021（13）：20-21，14.

［2］王亞峰.配方法在初中數學解題中的應用[J].理科考試研究，2016，23（8）：1.

［3］曾永發.配方法在數學解題中的有效應用探究[J].成才之路，2020（34）：118-119.

［4］董丹穎.配方法在初中數學解題中的應用[J].現代中學生（初中版），2021（18）：42-43，48.