巧用“雞爪模型”妙解初中數學幾何難題

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》在初中數學階段核心素養方面的要求主要體現在幾何直觀和模型觀念兩方面，如何充分利用“數學模型”來解決幾何難題，成了師生面對的一個重要課題.本文中以“雞爪模型”問題為例，借助模型解決一種或幾種特征問題，從而更好地提高學生的綜合解題能力，并為提升學生的核心素養奠定基礎.

關鍵詞：初中數學；雞爪模型；幾何壓軸題

在日常數學教學過程中，學生在解答各種類型的問題時，往往一下子找不到快速突破的妙招.如果能將一類問題轉化為一個數學特征問題，進而體現出某種模型，會給我們帶來很大的啟示，這也是學習數學模型的重要性.本文中以“雞爪模型”為例來說明借助模型解決一種或幾種特征問題的基本思路.

1 數學“雞爪模型”的內涵了解

1.1 數學模型基本意義和使用價值

數學模型從科學角度來講，是借助數理方面的邏輯方法和具體的數學語言建構而形成的的科學或工程方面的基本模型.具體來講，數學模型就是為了快速識別某種問題或者達到某個目的，用人們比較熟悉的字母、符號或者數學形式形成的一種可以描述客觀事物特征或者內在聯系的表達形式.

把握住了某種數學模型，可以更好地解決一些問題.這樣在處理具體的數學問題過程中，可以抓住它所體現的特點，借助數學模型，快速解決遇到的實際問題[1].

數學模型建構常見的基本步驟是：模型準備—模型假設—模型構成—模型求解—模型分析—模型檢驗—模型應用.數學模型的建立成為我們解決實際問題與數學工具運用之間的必然聯系，更是一座走向問題突破的橋梁.

1.2 “雞爪模型”的構建思路

如圖1所示的三個圖形，三條線段PA，PB，PC交于同一點P，其中線段PA=PC，形狀像雞爪樣子，“雞爪模型”顧名思義，我們將滿足這樣的條件的圖形稱為“雞爪模型”.

這種模型，往往是遇到共點等線段情況時，可以考慮在共點等線組成的角內部找一條過角頂點的線段，此時我們把該線段繞著角的頂點旋轉一個與兩相等邊之間的夾角相同的角度，構造“等角套”形式，前后兩個圖形必然形成一對全等三角形，再結合全等的性質去解決問題.運用模型分析，解題過程事半功倍.我們可以借助口訣簡稱為：共頂點，等線段，繞著頂點來旋轉；雞爪圖，三線段，抓住定角也旋轉[2].

1.3 “雞爪模型”的應用技巧

“雞爪模型”在多邊形中的運用，主要體現在以下幾個關鍵點：其一是旋轉中心是三條線段的公共點；其二是旋轉角一定是兩條線段的夾角；其三是旋轉線段一定是那條“孤零零”的線段，即旋轉兩條相等線段之外的那條“獨立”線段;其四是一定要連接不相等的兩條線段，構成兩個“手拉手”的三角形，此時兩個三角形滿足“SAS”條件下的全等，如圖2所示的三幅圖形的變化.

當然，“雞爪模型”在圓中的運用主要體現在特定形式下出現的特定結論.如圖3，△ABC是圓O的內接三角形，D是弧BC上的一點，若BD=DC，則可得∠BAD=∠CAD等，充分體現了等弧對等角且對等弦的性質，同時結合圓內接三角形的角平分線及內心可得到有關線段的關系等.

2 “雞爪模型”在幾何問題中的運用

2.1 “雞爪模型”在多邊形問題中的運用技巧

2.1.1 “雞爪模型”在三角形中的運用

例1""如圖4，△ABC是等邊三角形，D是邊AB上一點，連接CD，點E在線段CD上，連接AE，BE，若∠AED=60°，AE=3，BE=19，求CE的長.

【模型特征】針對此題，我們發現邊AC=AB≠AE，抓住這三條邊的特征，可以考慮“雞爪模型”，根據所給定的條件利用“雞爪模型”來突破.

【模型求解】如圖5所示，將短邊AE繞著點A順時針旋轉60°（兩長邊之間的夾角為60°）至AF，則有△AEC≌△AFB，△AEF是等邊三角形，此時完全符合“雞爪模型”，再過點E作EG⊥BF于點G，根據∠AED=60°，AE=3，BE=19，利用相關條件求解即可.

2.1.2 “雞爪模型”在四邊形中的運用

例2""如圖6，四邊形ABCD是正方形，其內部一點P到頂點A，B，C的距離分別是43，22，8，試求該正方形ABCD的面積.

【模型特征】分析此題，我們發現邊BA=BC≠BP，在正方形ABCD內部，這三條邊符合“雞爪模型”的特征，因此考慮結合給定的三邊之間的關系利用“雞爪模型”來解答[3].

【模型求解】如圖7所示，將邊BP繞著點B順時針旋轉90°至BE處，由BP=BE，得△BPE是等腰直角三角形，容易得到△BPA≌△BEC，則有AP=CE.根據PB=22，得PE=2PB=4.在△PEC中，根據三邊關系可以判斷其為直角三角形，∠PEC=90°，這樣得到∠BEC=135°.過點C作CF⊥BE交BE延長線于點F，結合PA=CE，可求得CF=EF=22CE，這樣利用勾股定理可得到BC2，即該正方形的面積.

2.2 “雞爪模型”在有關圓問題中的運用技巧

例3""如圖8，在⊙O內，△ABC為其內接三角形，P是△ABC的內心，連接AP并延長交⊙O于點D，連接BD，CD，試判斷BD，PD和CD三條線段的數量關系.

【模型特征】結合題意，發現P是△ABC三條角平分線的交點，于是∠BAD=∠CAD，可得DB=DC≠AD，此時符合關于圓的“雞爪模型”特征.那么涉及圓的雞爪模型又有哪些特征呢？如圖9，連接BP，可以得到∠DAC=∠DAB=∠DBC=∠DCB.又∠CBP=∠ABP，∠BPD=∠BAD+∠ABP=∠DBC+∠CBP，容易得到∠BPD=∠DBP，則DB=DP.又BD=CD，故BD=PD=CD.

【模型求解】在解決一些涉及圓內接三角形的“內心”“角平分線”等問題時，我們可以根據幾條線段的關系，考慮使用“雞爪模型”來處理[4].

例4""如圖10，△ABC的三邊滿足BC=12（AB+AC），O，I分別是△ABC的外心、內心，AI的延長線交⊙O于點D，

∠BAC的外角平分線交⊙O于點E，DE交BC于點H.求證：（1）DE為⊙O的直徑；（2）AI=BD;（3）OI=12AE.

【模型運用】（1）結合題意中的O，I分別是△ABC的外心、內心，根據∠BAC的外角平分線，可判斷得到∠DAE=90°，則DE為⊙O的直徑.

（2）如圖11，作IG⊥AB于點G，連接BI，則AG＝12（AB+AC-BC），而BC＝12（AB+AC），可得到AG＝12BC，又ED為⊙O的直徑，可知ED垂直平分BC，因此AG＝BH，從而可得到Rt△AGI≌Rt△BHD，則AI＝BD.

（3）由BD=DI，體現了“雞爪模型”，此時可以直接得到BD=DI=DC，

從而AI=DI，即I是AD的中點，利用中位線定理容易的得到OI=12AE.

用“雞爪模型”解決日常學習中的相關問題，可以讓學生體會到數學模型的實際應用價值，更能感受到所學知識的用途與實際意義.數學模型的建立與學習，進一步培養了學生應用數學的意識與問題突破的創新能力，讓學生在解題過程中真正體會到用知識解決問題帶來的一種快樂，從而激發學習興趣，培養創新創造能力.

參考文獻：

［1］葉子，蔡衛兵.例談“探究遷移型試題”的求解[J].中學生數學，2015（18）：31-32.

［2］劉華為.轉換視角 挖掘本質——對“一道耐人尋味的面積問題”的新思考[J].中學教研（數學），2020（3）：19-22.

［3］錢麗華.模型思想運用于數學教學中的策略研究——以蘇教版小學數學五年級下冊“簡易方程”為例[J].數學學習與研究，2017（2）：113.

［4］戴文亞.讓課堂煥發“模”力——談小學數學課堂教學嘗試建模的策略[J].江蘇教育研究，2014（4）：72-76.