探究本質(zhì) 提煉方法：二次函數(shù)最值問題的探究

摘要：二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中占據(jù)著舉足輕重的地位，在解決有關(guān)二次函數(shù)的最值問題時，應(yīng)著重強調(diào)思維方法的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生在實踐中不斷嘗試、反思與總結(jié)，從而真正實現(xiàn)知識的內(nèi)化與遷移.尤其是圍繞最值問題的探討，不僅是對學(xué)生數(shù)形結(jié)合與分類討論思維能力的深刻考驗，也是日常學(xué)習(xí)與考試中頻繁亮相的難點與亮點.掌握二次函數(shù)最值問題的求解策略，不僅是深化對初中數(shù)學(xué)的理解的關(guān)鍵一步，更是為學(xué)生將來在高中階段深入學(xué)習(xí)更復(fù)雜的函數(shù)理論鋪設(shè)了堅實的基石，為未來的學(xué)習(xí)鋪就更加寬廣的道路.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；分類討論；最值

1 對稱軸定且自變量取值范圍定

在探討二次函數(shù)的最值問題時，一個常見的情境是“軸定區(qū)間定”，即已知或可推導(dǎo)出二次函數(shù)的解析式，并明確了該函數(shù)的定義域為給定的區(qū)間.面對這樣的題目，解題的關(guān)鍵在于結(jié)合二次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)，深入分析該函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的行為表現(xiàn)，從而準(zhǔn)確求出其最值.

另外還需要注意一些特殊情況，比如定義域恰好包含對稱軸但又不完全對稱的情況，此時需要仔細(xì)比較區(qū)間端點與頂點處的函數(shù)值，以確定最值的具體位置.

例1""（2024·江蘇南京初三檢測）已知二次函數(shù)y=12x2－3x+4．

（1）在如圖1所示的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，并指出當(dāng)ylt;0時x的取值范圍；

（2）當(dāng)0≤x≤4時，求出y的最小值及最大值．

解析：（1）根據(jù)已知條件，y=12x2－3x+4

=12（x2－6x）+4=12（x－3）2－12，所以拋物線的開口向上，頂點為3，－12，對稱軸為直線x=3.

函數(shù)圖象如圖2所示.由圖象可知，當(dāng)ylt;0時，x的取值范圍為2lt;xlt;4．

（2）根據(jù)已知可得，當(dāng)0≤x≤4時，圖象的最低點為3，－12，最高點為（0，4）.所以當(dāng)x=0時，y有最大值4，當(dāng)x=3時，y有最小值－12．

點評：“軸定區(qū)間定”的二次函數(shù)最值問題，實質(zhì)上是通過綜合運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、單調(diào)性的判斷以及代數(shù)運算等知識，對函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的特點進行深入剖析，從而準(zhǔn)確求解出函數(shù)的最值.

2 對稱軸動且自變量取值范圍定

在解決“軸動區(qū)間定”的二次函數(shù)最值問題時，雖然根據(jù)已知條件求得了二次函數(shù)的解析式，但自變量x的取值范圍包含了一個或多個參變量，這些參變量的不同取值會直接影響到截取的二次函數(shù)圖象部分，進而改變函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的最值情況.

另外在求解的過程中，還需要注意對一些特殊情況的處理，比如當(dāng)對稱軸恰好穿過區(qū)間中點但函數(shù)圖象又不完全對稱時，或者當(dāng)區(qū)間端點恰好位于對稱軸上時，這些情況都可能對最值的求解產(chǎn)生特殊影響.

例2""（2024·浙江杭州初三聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=－12x2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點A（4+a，0），其中a≥0．

（1）當(dāng)a=0時，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求出當(dāng)x為何值時y有最大值，以及最大值是多少？

（2）當(dāng)agt;0時，在0≤x≤4范圍內(nèi)，y是否存在最大值10？若存在，求出相應(yīng)的a和x的值；若不存在，請說明理由．

解析：（1）當(dāng)a=0時，點A（4，0），把O（0，0），A（4，0）的坐標(biāo)代入y=－12x2+bx+c中，得c=0，－8+4b+c=0，解得b=2，c=0，所以y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y=－12x2+2x.

因為y=－12（x－2）2+2，

所以當(dāng)x=2時，y有最大值，最大值為2．

（2）在0≤x≤4范圍內(nèi)，y存在最大值10.理由如下：因為二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點O和點A（4+a，0），a＞0，所以c=0，－12×（4+a）2+b（4+a）+c=0，也即b=12（4+a），c=0.故y=－12x2+12（4+a）x=－12×x－4+a22+（4+a）28．所以拋物線的對稱軸為直線x=a+42．又a＞0，所以a+42≥2.

①若a+42≥4，即a≥4，則當(dāng)x=4時，函數(shù)y=－12x2+12（4+a）x取得最大值．

所以－12×42+12（4+a）×4=10，解得a=5．

所以當(dāng)a的值為5，x的值為4時，y取得最大值10.

②若0lt;a+42lt;4，即0lt;alt;4，則

當(dāng)x=a+42時，函數(shù)y=－12x2+12（4+a）x取得最大值．

所以（4+a）28=10，解得a=－4－45（小于0，舍去）或a=－4+45（大于4，舍去）.

綜上所述，當(dāng)a的值為5，x的值為4時，y取得最大值10．

點評：“軸動區(qū)間定”的二次函數(shù)最值問題要求學(xué)生具備較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題技巧，包括但不限于對函數(shù)圖象特征的深刻理解、對參數(shù)討論的熟練掌握，以及對復(fù)雜問題的分類討論和特殊情況處理能力.

3 對稱軸定且自變量取值范圍動

在“軸定區(qū)間動”的二次函數(shù)最值問題中，我們面對的是一個既有一定確定性又充滿變化性的挑戰(zhàn).由于解析式中含有參數(shù)，這些參數(shù)的不同取值會導(dǎo)致二次函數(shù)的圖象發(fā)生變化，進而可能影響函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值情況，解題過程中需要特別注意.

例3""（2024·山東臨沂初三模擬）如圖3，拋物線y=ax2－4ax+3a交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸的正半軸于點C，OB=OC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)t≤x≤t+4時，函數(shù)的最大值是α，最小值是β，α－β=6，求t的值．

解析：（1）令y=0，

即ax2－4ax+3a=0，解得x1=1，x2=3.

所以O(shè)A=1，OB=3.

因為OB=OC，所以點C（0，3）.將點C的坐標(biāo)代入y=ax2－4ax+3a中，可得a=1，所以拋物線的解析式為y=x2－4x+3．

（2）根據(jù)（1）可知，拋物線的解析式為y=x2－4x+3，故對稱軸為直線x=2，頂點坐標(biāo)為（2，－1），

函數(shù)圖象開口向上.

當(dāng)t≤x≤t+4時，函數(shù)的最大值是α，最小值是β，a－β=6.

①當(dāng)對稱軸在x=t的左側(cè)，即tgt;2時，

可知最小值β=t2－4t+3，最大值α=（t+4）2－4（t+4）+3，此時a－β=（t+4）2－4（t+4）+3－（t2－4t+3）=6，

解得t=34（舍去）.

②當(dāng)對稱軸在x=t+4的右側(cè)，即t+4lt;2，tlt;－2時，最小值β=（t+4）2－4（t+4）+3，最大值α=t2－4t+3，此時有α－β=t2－4t+3－［（t+4）2－4（t+4）+3］=6，

解得t=－34（舍去）.

③當(dāng)對稱軸在x=t與x=t+4之間，即tlt;2lt;t+4，即－2lt;tlt;2，此時最小值β=－1，最大值α=t2－4t+3或α=（t+4）2－4（t+4）+3，則t2－4t+3－（－1）=6或（t+4）2－4（t+4）+3－（－1）=6，

解得t=6－2或－6－2（舍去）或t=6+2（舍去）或－6+2.

綜上，t=6－2或－6+2．

點評：在解答過程中要特別關(guān)注那些使二次函數(shù)圖象發(fā)生“質(zhì)變”的參數(shù)取值點，如對稱軸與區(qū)間邊界重合、開口方向改變等.這些點往往是分類討論的臨界點，也是求解最值的關(guān)鍵所在.

4 歸納總結(jié)

對于二次函數(shù)在不同條件下的最值求解問題，不僅考查學(xué)生對二次函數(shù)基本性質(zhì)的理解，還要學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合法，將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形問題，從而更清晰地看到問題的本質(zhì).

總之，熟練掌握二次函數(shù)在不同條件下的最值求解問題不僅對學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)有幫助，還能為他們?nèi)蘸髮W(xué)習(xí)

更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識奠定基礎(chǔ).因此，我們應(yīng)該重視這類問題的教學(xué)和研究工作，努力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力.