多點共圓類試題解法探究

幾何圖形與圓融為一體的問題常出現在中考數學卷的幾何壓軸題中，考查學生觀察、分析和概括的數學幾何能力[1]，因此，是數學試卷中區分度和難點都較大的試題.如何在考場上穩操勝券，不失此分呢？下面就以2024年江蘇連云港中考試卷中的第27題為例，構建多點共圓壓軸題解題方法.

1 試題再現

【問題情境】

（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉45°（如圖2），這時候就容易發現大正方形面積是小正方形面積的_____倍.由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略.

【操作實踐】

（2）如圖3，圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a，b，c，d之間存在某種數量關系．小昕按所示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內一點P為端點的四條線段之間的數量關系.

【探究應用】

（3）如圖5，在圖3中④的基礎上，小昕將△PDC繞點P逆時針旋轉，發現旋轉過程中∠DAP存在最大值．若PE=8，PF=5，當∠DAP最大時，求AD的長.

（4）如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D，E分別在邊AC和BC上，連接DE，AE，BD．若AC+CD=5，BC+CE=8，求AE+BD的最小值．

2 試題分析

問題（1）屬于圓與正方形的位置關系，為了便于說明，在圖2中標示字母，如圖7，該圓是正方形ABCD的內切圓、是正方形EFGH的外接圓.

若正方形ABCD的邊長為a，則圓的半徑為1/2a，正方形EFGH的對角線長為a.△EFG是等腰直角三角形，EF=FG，由勾股定理得出2EF2=EG2=a2.正方形ABCD的面積是AB2=a2，正方形EFGH的面積是EF2=1/2a2.因此，大正方形的面積是小正方形面積的2倍.

從分析來看，本問題運用的是“數形結合”的數學方法，解決問題時需要利用圓和多邊形的性質.將圖1中小正方形繞圓心旋轉45°，使得兩個正方形的“數量”關系更為直觀.試題難度不大，解法也不唯一，比如，還可以直接利用圖1標示圓的半徑r，如圖8，則圓的外切正方形（即大正方形）的邊長為2r，面積為4r2；而圓的內接正方形（小正方形）可以看作是兩個底邊為2r、高為r的三角形拼接而成的，則面積是2×1/2×2r×r=2r2.故大正方形的面積是小正方形面積的2倍.

解法總結："當題干給出的圖形沒有給出“數量”，而又涉及數的推斷結論時，需要假設某一個能在幾何圖形中互相聯系的長度，然后根據圓和幾何圖形的有關性質演算與推斷所要得到的結論.如本問題可以假設大正方形的邊長、小正方形的邊長或圓的半徑，因為這三者是互相聯系的.

問題（2）屬于圖形的拆分與重組，在這一過程中，幾何“碎片”的形狀、大小都沒有改變，只是拆分前與重組后的幾何圖形發生了改變.因此，圖4中的圖形與圖3①中的圖形對應的數量關系是PD=a，PC=b，PB=c，PA=d.圖①可以看作是四個直角三角形由直角邊拼接而成的，若各三角形的直角邊長度如圖9所示，則由勾股定理得x2+y2=a2，y2+z2=b2，x2+w2=d2，z2+w2=c2，可知x2+y2+z2+w2=a2+c2=b2+d2，從而得出PA2+PC2=PB2+PD2.

解法總結："幾何圖形的拆分與重組，其幾何“碎片”是對應全等的.當“碎片”重組圖形難以確定數量關系時，可以回到拆分前的圖形中去解決問題，然后等量代換.其實，“碎片”重組的幾何圖形并非不能解決問題，可以將圖3④中的數據直接加到圖4上，并給出一些中間參數，變為圖10的形式，再利用勾股定理（與上述分析中的方法相同），問題也可以迎刃而解.

問題（3）是與動點有關的最值問題，屬于試題的拔高部分.將△PDC繞點P逆時針旋轉，點D在以P為圓心，PD為半徑的圓上運動，還原該過程的起始態與終態.

根據A為圓外一個定點，當AD與⊙P相切時，∠DAP最大，即PD⊥AD，其終態如圖11所示.由△PDC未繞點P旋轉（起始態如圖12所示），可知AE=DF.根據勾股定理，AD2=AP2-PD2=PE2+AE2-（PF2+DF2）=PE2-PF2.將PE=8，PF=5代入，可得AD2=82-52=39.故AD=39.

解法總結："幾何圖形繞固定點旋轉時，只有該點位置不變，其他點或線在旋轉，旋轉后的圖形中對應的線段長度、角度都不變化，當不清楚時，可以將圖形復原到原始圖形，對比觀察和分析.

問題（4）屬于與已知線段和有關的最值問題，也是這套試卷中難度最大的問題.突破問題時，可以類似（2）中幾何圖形的拆分與重組：由圖6和AC+CD=5，BC+CE=8，可以發現AC與CD，BC與CE分別共線，而AE和BD是相交線段.為此，可以將線段和演變為同一線段，然后采用延長或反向延長的方法重組圖形，使AE和BD至少成為共點線段.因此，反向延長CE至點E′，使CE=CE′；反向延長AC至點C′，使AC=DC′；過點C′作BC的平行線，使B′C′=BC，C′F=CE′；連接E′F.如圖13，實際上是將△ACE沿AC對折成△ACE′，將△BDC沿BC對折后向左平移至△AC′B′.AE+BD=AE′+AB′，當B′，A，E′三點共線時其值最小.

因為AE+BD=AE′+AB′，當B′，A，E′三點共線，即為B′E′的長度.而|B′E′|=B′F2+E′F2=52+82=89.所以AE+BD的最小值是89.

解法總結："當試題中給出共線的線段和時，一般將圖形中的直角三角形沿直角邊對折，或平移，或對折后平移，使線段和變為同一線段.當線段和的值最小時，應設法使兩條線段共點，一般采用“兩點間的距離最短”判斷結果.

3 教學反思

通過以上試題的評析可以發現，涉及圓內容的“數形結合”問題可以轉化為線或直角三角形的問題[2].無論是將幾何圖形拆分或重組，還是旋轉、對折或平移，其變動的“碎片”與初始時是全等的.重組的目的是便于觀察與推理，同時是這類試題的解題方法.

參考文獻：

[1]張春霞.挖掘試題內涵 發展學生素養——一道中考題的解法探究及反思[J].中學數學教學參考，2023（6）：55-58.

[2]徐樂.指向高階思維的初中數學解題教學——以某中考試題為例[J].數理天地（初中版），2024（1）：27-28.