逆向思維 出其不意：初中數學反證法解題探究

所謂反證法，即從否定論斷（構建相反假設）著手，將這個相反的假設視作已知前提，在嚴謹的邏輯推導下，引出邏輯上的沖突，依據（邏輯學中的）矛盾原則，認識到該假設性判斷是錯誤的，再依據（邏輯學上的）排他原則，從而確認原論點的判斷本身是準確無誤的.反證法是是中學數學里一種常用的證明方法，而且這種證明方法以其獨特的證明方式與思維模式，對培養學生的邏輯推理能力和創新思維具有深遠的意義.

1 在平面幾何中的應用

在證明平面幾何問題時，運用反證法是一種重要的方法，尤其是在判斷線線、線面、面面之間的位置關系時，通?？梢圆捎枚x法或反證法來判斷.然而，有時使用定義法進行證明可能會相對困難，此時運用反證法便展現出其獨特的優勢.反證法的核心在于，首先假設待證明的結論不成立，然后通過嚴密的邏輯推理，推導出與已知條件或已知的定義、定理、公理相矛盾的結果，從而確認待證明的結論成立.將來在學生步入高中階段后，無論是立體幾何還是代數，反證法的應用都相當頻繁，如果在初中階段沒有學好反證法，可能會對高中階段的數學學習產生影響.因此，我們應該幫助學生深入理解在幾何中的應用，培養他們的批判性思維和解決問題的能力.

例1""（2024·江蘇徐州自主招生）如圖1，半徑為10的圓形紙片的圓心為O，F是圓內一定點，且OF=8，把紙片折疊，折痕為AB（AFlt;AB），此時AB平行于OF，且弧AB過點F．

（1）求弦AB的長度．

（2）已知點P1在線段AB上，且滿足對任意點P在線段AB上，都有OP+PF≥OP1+P1F，已知M是圓周上的動點，如圖2，把紙片折疊使M與F重合，然后撫平紙片，折痕為CD（不與AB重合），證明：O，P1，F在直線CD的同側．

思路分析：（1）作點F關于AB的對稱點F′，連接FF′交AB于點E，則AB是FF′的垂直平分線，由勾股定理得FF′=6，則EF=3，過點O作OD⊥AB，由此可知四邊形EFOD是矩形，則OD=EF=3，ED=OF=8.在Rt△AOD中，運用勾股定理求得AD=91.由垂徑定理即可求得AB=291.

（2）根據條件，可以假設點DC將P1，O，F三點中點P1，F分割在一側，點O在另一側，則CD與線段OF相交，交點記為點N，連接MN，OM，此時不難得到MN=NF.又因為△OMN中，MN+ONgt;OM，即FN+ONgt;OM，即OFgt;MN，與OFlt;MN矛盾，故假設不成立，同理可證即可解決問題．

解析：（1）根據題意，首先作點F關于AB的對稱點F′，連接FF′，交AB于點E，如圖3.

因為把紙片折疊，折痕為AB（AFlt;AB），此時AB平行于OF，且弧AB過點F，

所以點F′一定在AB[TX（]上，連接OA，OF′.易知

AB是線段FF′的垂直平分線.

在Rt△OF′F中，OF′=10，OF=8，

所以FF′=OF′2－OF2=6，則EF=12F′F=3.

過點O作OD⊥AB于點D，則∠EDO=90°.

因為AB平行于OF，∠FED=90°，所以∠EFO=90°，

可知四邊形EFOD是矩形，則OD=EF=3，ED=OF=8.

在Rt△AOD中，AO=10，OD=3，則

AD=AO2－OD2=91.

因為OD⊥AB，OD經過圓心，所以AB=2AD=291.

（2）假設DC將P1，O，F三點中的點P1，F分割在一側，點O在另一側，則CD與線段OF相交，交點記為點N，連接MN，OM，如圖4.

由題意可得MN=NF，則在△OMN中，MN+ONgt;OM，所以FN+ONgt;OM，即OFgt;MN，與OFlt;MN矛盾，故假設不成立.同理可證，點P1，O和點F分別位于CD兩側以及點O，F和點P1位于CD兩側都不成立.

綜上可得，O，P1，F在直線CD的同側．

評析：本題考查內容為折疊的性質，垂直平分線的性質定理、勾股定理、矩形的判定與性質、三角形的三邊關系等知識，在理解題意的基礎上，熟練應用所學知識點解決問題是關鍵.

2 在有理數證明中的應用

反證法是有理數問題的證明中一種非常重要的方法，它從命題結論的對立面著手，把這個對立的判斷視作已知前提，步步推進，歷經一連串合理且縝密的邏輯推導，得出與已知定義、定理、公理及題目設定條件相矛盾的結果，進而確認該假設不成立，而得到原命題的正確性.在證明有關有理數命題正確與否的問題中，當直接運用題目中的已知前提來論證命題的難度較大或無從著手時，我們不妨轉換證明問題的角度，采取逆向思維，巧妙運用逆證法，或許問題會化難為易.

例2""（2024·江蘇南京自主招生）對一個正整數n，我們進行如下操作：若它是奇數，則乘3再加1；若是偶數，則除以2．

（1）對于n=17，37，進行若干次上述操作后，是否有一數是4的倍數？

（2）求證：對任意正整數n，進行有限次上述操作后，必有一數是4的倍數．

思路分析：（1）根據題目給出的信息和定義進行判斷和證明即可；（2）根據題意，由于奇數經過一次操作后一定會變為偶數，因此只需要證明偶數經過操作后有一數是4的倍數即可.若偶數為4的倍數，則問題得證.若偶數不是4的倍數，則該偶數可以表示為4m+2（m為整數），當m=2k（k為整數）時，4m+2=8k+2，4m+2經過操作后可變為4（3k+1），問題得證；當m=2k+1（k為整數）時，4m+2經過操作后可得18k+16，對于18k+16，要使18k+16不是4的倍數，那么k一定要是奇數，則可推出m=2k+1=4p+3……，接此種方式計算下去，需要繼續成立，即m+12k對于任意的k的結果都是整數，顯然這是不可能的.故命題得證．

解析：（1）當n=17時，根據題意可知

17×3+1=52，且52是4的倍數，所以n=17進行一次上述操作后，有一數是4的倍數.

當n=37時，因為37×3+1=112，且112是4的倍數，

所以n=37進行一次上述操作后，有一數是4的倍數.

（2）根據題目條件可知，因為奇數乘3再加1后一定會變為偶數，而偶數除以一定數量的2之后一定會變為奇數，所以經過有限步后奇數一定會變為偶數.

若操作后得到的偶數為4的倍數，則問題得證.

若所得偶數不是4的倍數，則該偶數可以表示為4m+2（m為整數）.

當m=2k（k為整數）時，4m+2=8k+2.

（8k+2）÷2=4k+1，

3（4k+1）+1=12k+4=4（3k+1）.

所以3（4k+1）+1一定是4的倍數，則當m為偶數時，滿足題意.

當m=2k+1（k為整數）時，4m+2=8k+6.

（8k+6）÷2=4k+3，3（4k+3）+1=12k+10，

（12k+10）÷2=6k+5，

3（6k+5）+1=18k+16，

（18k+16）÷2=9k+8.

對于18k+16，要使18k+16不是4的倍數，那么k一定要是奇數.

設k=2p+1（p為整數），則18k+16=36p+34.

（36p+34）÷2=18p+17，（18p+17）×3+1=54p+52，（54p+52）÷2=27p+26.

同理要使27p+26不是4的倍數，則p一定是奇數.

如此反復，在此過程中，若有一個環節中出現了偶數，那么環節中必有4的倍數.

所以假設不存在4的倍數，那么m=2k+1=4p+3……要一直成立，即m+12k對于任意的k的結果都是整數，顯然這是不可能的，于是假設不成立，故原結論正確．

評析：本題考查反證法和有理數的四則運算.雖然它們是數學中兩個不同的概念，但是它們在數學學習和解題過程中都發揮著重要的作用，尤其是有理數四則運算很多時候可以作為反證法的推理工具，二者相互輔助，對培養學生的數學思維具有重要意義.

3 結語

反證法是數學推理過程中頻繁采用的一種策略，它基于假設待求證命題為謬誤，進而推導出矛盾性的結論，以此來證實原命題的正確性.在日常的數學學習與解題練習中，因為學生需要解決的數學問題日益廣泛，涉及的內容逐漸深入，題型也愈發多樣，學生可能會遇到各種問題，其中許多看似棘手的問題，實則通過逆否論證便能迎刃而解，而且合理運用反證法，能夠有效鍛煉學生的邏輯思維能力，并增強其問題解決技巧.在初中數學的學習過程中，反證法可用于驗證關于方程及幾何圖形的某些性質.此外，它還能協助學生發掘并解決一系列復雜問題.因此，只要學生能夠洞悉反證法的本質，掌握其解題流程，并熟練構建問題的矛盾假設，便能以清晰的思路迅速解決問題，特別是在運用反證法來思考平面幾何問題、唯一性命題、不可能性命題及無窮性命題時，這種方法對學生的解題幫助尤為重要.