中考數(shù)學(xué)作圖題的應(yīng)對(duì)策略

摘要：作圖試題是中考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，師生應(yīng)當(dāng)予以關(guān)注.文章以2024年無(wú)錫卷考查的一道作圖題為研究對(duì)象，探究試題特征及題錯(cuò)點(diǎn)，基于此，得出相應(yīng)的應(yīng)對(duì)策略，為教師更好教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；作圖試題；應(yīng)對(duì)策略

作圖試題在中考中的地位和重要性不容忽視.它不僅考查學(xué)生對(duì)基本幾何知識(shí)的掌握情況，還涉及學(xué)生空間想象力和邏輯思維能力的培養(yǎng)［1］.通過(guò)作圖，學(xué)生能更好地理解幾何概念、掌握解題方法，提高綜合應(yīng)用能力.同時(shí)，作圖試題在中考中具有較強(qiáng)的區(qū)分度，能有效區(qū)分出不同層次的學(xué)生，幫助教師評(píng)估學(xué)生的真實(shí)水平.因此，作圖試題在中考中起著重要的作用，既是基礎(chǔ)知識(shí)的檢測(cè)手段，也是培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的重要途徑.

1 試題及解析

如圖1所示，己知等邊三角形ABC，請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按以下要求作圖（不要求寫(xiě)作法，但要保存作圖痕跡）：

（1）作△ABC的外心O；

（2）設(shè)D是AB邊上一點(diǎn)，在圖中作出一個(gè)正六邊形DEFGHI，使點(diǎn)F，點(diǎn)H分別在邊BC和AC上.

試題解析：（1）依據(jù)垂直平分線的作法作出AB，AC的垂直平分線交于點(diǎn)O即為所求；（2）過(guò)點(diǎn)D作DI∥BC交AC于點(diǎn)I，分別以D，I為圓心，DI長(zhǎng)為半徑作圓弧，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)H作HG∥AB交BC于點(diǎn)G，六邊形DEFGHI即為所求正六邊形.

解：（1）如圖2，點(diǎn)O即為所求.

（2）如圖3，六邊形DEFGHI即為所求正六邊形.

2 試題分析

2.1 特征分析

（1）基礎(chǔ)技能的考查

中考作圖試題對(duì)基礎(chǔ)技能的考查包括兩個(gè)方面：

①基本圖形的繪制：試題通常會(huì)要求學(xué)生繪制基本的幾何圖形，如三角形、四邊形、圓等.本題要求學(xué)生作出三角形的外心及所需的正六邊形.這些題目主要考查學(xué)生對(duì)基本幾何圖形性質(zhì)的理解和熟練度.

②作圖工具的使用：在作圖過(guò)程中，學(xué)生需要熟練使用直尺、量角器、圓規(guī)等作圖工具，以確保圖形的精確性和規(guī)范性.以本道題的第二問(wèn)為例，要求學(xué)生利用圓規(guī)，根據(jù)相應(yīng)的半徑，畫(huà)出相應(yīng)的交點(diǎn)，這是正確作出正六邊形的關(guān)鍵.

（2）應(yīng)用能力的考查

作圖試題不是簡(jiǎn)單地考查學(xué)生的操作能力，還會(huì)綜合考查多種知識(shí)點(diǎn)，如利用幾何變換（如平移、旋轉(zhuǎn)、反射）繪制圖形，或結(jié)合函數(shù)知識(shí)進(jìn)行圖象的變換與調(diào)整.結(jié)合本題來(lái)看，要求學(xué)生熟練掌握三角形的垂直平分線及圓的性質(zhì).這要求學(xué)生具備較強(qiáng)的綜合分析和解決問(wèn)題的能力.

（3）審美與規(guī)范性的考查

在作圖題中，學(xué)生不僅需要保證圖形的準(zhǔn)確性，還需要注重圖形的美觀和規(guī)范.清晰、整潔的圖形表達(dá)能夠展示學(xué)生良好的作圖習(xí)慣和認(rèn)真態(tài)度.對(duì)于一些細(xì)節(jié)的要求，如角度的大小、線段的長(zhǎng)度、圓的半徑等，學(xué)生需要做到精確無(wú)誤.在本題中，學(xué)生需要準(zhǔn)確作出垂直平分線和根據(jù)正確的半徑作出相應(yīng)的弧.這不僅體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解深度，也展示了他們的嚴(yán)謹(jǐn)性和細(xì)心程度.同時(shí)，學(xué)生在作圖過(guò)程中需要遵循一定的邏輯步驟和規(guī)范，確保每一步都有理有據(jù).在本題的解答中，這既是正確答題的保證，又是中考評(píng)分的重要依據(jù).

2.2 易錯(cuò)點(diǎn)分析

（1）基本作圖步驟不規(guī)范

學(xué)生在作圖過(guò)程中常常忽略了基本的作圖步驟，如不按要求使用直尺和圓規(guī)，導(dǎo)致圖形不準(zhǔn)確或不美觀.結(jié)合本題來(lái)看，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)不用工具作圖，作圖的隨意性大大降低了解答的正確性和規(guī)范性.從實(shí)際來(lái)看，部分學(xué)生缺乏對(duì)基本幾何作圖工具的熟練掌握，導(dǎo)致無(wú)法準(zhǔn)確繪制出要求的幾何圖形，如垂直平分線、角平分線等.另外，部分學(xué)生繪圖過(guò)程中沒(méi)有標(biāo)注必要的輔助線和關(guān)鍵點(diǎn)，導(dǎo)致圖形信息不完整.

（2）對(duì)題目要求理解不清

學(xué)生有時(shí)會(huì)忽略題目中的細(xì)節(jié)要求，如圖形的比例、關(guān)鍵點(diǎn)的位置、角度的大小等，導(dǎo)致繪制的圖形不符合題目要求.在本題中，部分學(xué)生在作圖時(shí)容易忽視△ABC的外心及點(diǎn)F、點(diǎn)H分別在邊BC和AC上這兩個(gè)條件.此外，部分學(xué)生對(duì)于復(fù)雜圖形的作圖步驟和順序不明確，導(dǎo)致繪圖過(guò)程中出現(xiàn)混亂，甚至繪制出錯(cuò)誤的圖形.

（3）繪圖精度和美觀度不足

繪圖精度和美觀度也是作圖類試題考查的重要方面.結(jié)合教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，學(xué)生在繪圖過(guò)程中常常缺乏精度，如繪制的線段不直、圓弧不光滑，導(dǎo)致圖形不夠準(zhǔn)確.值得關(guān)注的是，有的學(xué)生不注意圖形的整潔性和美觀性，作圖時(shí)線條粗細(xì)不均、交叉點(diǎn)模糊，影響整體圖形的效果，或缺乏必要的標(biāo)注，如線段長(zhǎng)度、角度大小、重要點(diǎn)的名稱等，在本題中表現(xiàn)為正六邊形DEFGHI未標(biāo)識(shí)，導(dǎo)致圖形信息表達(dá)不清楚.

3 教學(xué)策略

3.1 綜合課程內(nèi)容和考試要求，分析尺規(guī)作圖趨向

尺規(guī)作圖是初中幾何中一個(gè)重要的內(nèi)容，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的要求包括：使用直尺和圓規(guī)繪制基本幾何圖形，如線段、角、圓、平行線和垂直線等；通過(guò)作圖理解和應(yīng)用幾何定理，如平行線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)（如切線性質(zhì)）等；通過(guò)作圖掌握平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等幾何變換的基本性質(zhì)和應(yīng)用；通過(guò)作圖構(gòu)造幾何圖形，并結(jié)合幾何定理進(jìn)行證明，培養(yǎng)邏輯推理和幾何直觀能力.

根據(jù)近年中考數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn)和趨勢(shì)，可以對(duì)尺規(guī)作圖題目進(jìn)行預(yù)測(cè)和分析：試題通常會(huì)要求學(xué)生繪制一些基本的幾何圖形，如線段、角、圓等.這類題目考查學(xué)生的基本作圖技能和對(duì)幾何概念的理解；試題可能會(huì)結(jié)合幾何定理，要求學(xué)生通過(guò)作圖證明某些幾何性質(zhì)或解決幾何問(wèn)題.這類題目考查學(xué)生對(duì)幾何定理的理解和應(yīng)用能力.近年，中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)了更多綜合性強(qiáng)的作圖題，要求學(xué)生在作圖過(guò)程中應(yīng)用多個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)雜的圖形構(gòu)造和問(wèn)題解決，這類題目不僅考查學(xué)生的作圖技能，還考查其綜合應(yīng)用和邏輯推理能力，未來(lái)，這種趨勢(shì)和特征可能會(huì)進(jìn)一步強(qiáng)化.

3.2 夯實(shí)作圖基礎(chǔ)，促進(jìn)知識(shí)與能力的融合

為夯實(shí)作圖基礎(chǔ)，教師需要系統(tǒng)教授并反復(fù)訓(xùn)練基本的尺規(guī)作圖方法和技巧，如線段的平分、角的平分、垂直線和平行線的作圖，圓和圓弧的作圖，等等.通過(guò)多種形式的練習(xí)題，幫助學(xué)生熟練掌握這些基本作圖方法，培養(yǎng)學(xué)生的手眼協(xié)調(diào)能力和作圖的準(zhǔn)確性.

同時(shí)，應(yīng)通過(guò)作圖掌握并應(yīng)用幾何定理和性質(zhì)，如角平分線定理、垂直平分線定理、平行線的性質(zhì)、三角形的全等和相似性質(zhì)等，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)與能力的融合.學(xué)生應(yīng)通過(guò)大量的例題和習(xí)題練習(xí)，深入理解這些幾何定理和性質(zhì)，并能在作圖過(guò)程中靈活運(yùn)用.

3.3 關(guān)注知識(shí)本質(zhì)，明晰作圖題的內(nèi)在邏輯

學(xué)生應(yīng)全面掌握幾何學(xué)中的基本概念和定理，如點(diǎn)、線、角、圓等的性質(zhì)和關(guān)系，這是應(yīng)對(duì)作圖題的重要前提.理解這些概念和定理是準(zhǔn)確作圖的基礎(chǔ).例如，了解角平分線的定義和性質(zhì)有助于正確地作圖和解決相關(guān)問(wèn)題.

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探究幾何作圖背后的邏輯和原理，幫助學(xué)生明晰作圖題的內(nèi)在邏輯和數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)［2］.例如，在作垂直平分線時(shí)，學(xué)生應(yīng)理解為什么垂直平分線垂直于該線段且其上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.通過(guò)探究這些邏輯，學(xué)生可以更加深刻地理解作圖的原理，避免機(jī)械操作.

3.4 教授作圖全過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和過(guò)程意識(shí)

在教授作圖時(shí)，教師應(yīng)將整個(gè)作圖過(guò)程細(xì)化為多個(gè)步驟，每一步驟都進(jìn)行詳細(xì)講解和示范.例如，作垂直平分線時(shí)，步驟可以包括：確定線段的兩個(gè)端點(diǎn)、用圓規(guī)以兩個(gè)端點(diǎn)為圓心畫(huà)兩個(gè)半徑相等的圓、連接兩個(gè)圓的交點(diǎn)、畫(huà)出垂直平分線.通過(guò)這種分步驟講解，學(xué)生可以清楚地理解每一步的操作方法和邏輯依據(jù).

在作圖過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理，思考每一步驟的理由和目的.例如，在作角平分線時(shí)，學(xué)生需要思考為什么要以角的頂點(diǎn)為圓心、以任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，再以弧與兩邊的交點(diǎn)為圓心畫(huà)弧，為什么兩弧的交點(diǎn)可以確定角平分線.通過(guò)這種邏輯推理訓(xùn)練，學(xué)生可以更深刻地理解作圖的內(nèi)在原理，培養(yǎng)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維.

最后，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在作圖過(guò)程中記錄每一個(gè)的操作步驟和思考過(guò)程.例如，學(xué)生可以在作圖紙上標(biāo)注每一步驟的操作說(shuō)明，或者在作圖完成后寫(xiě)出簡(jiǎn)要的作圖過(guò)程說(shuō)明.通過(guò)這種記錄和反思，學(xué)生可以加深對(duì)作圖過(guò)程的理解，發(fā)現(xiàn)并改進(jìn)自己的作圖方法和技巧.同時(shí)，這種過(guò)程記錄有助于培養(yǎng)學(xué)生的過(guò)程意識(shí)，使其在解題時(shí)更加注重過(guò)程的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

參考文獻(xiàn)：

[1]吳凱紅.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于“尺規(guī)作圖”的相關(guān)嘗試[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬），2023（6）：68-70.

[2]朱國(guó)榮，朱術(shù)磊.小學(xué)數(shù)學(xué)“尺規(guī)作圖”的學(xué)理意蘊(yùn)與教學(xué)路徑[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2022（Z2）：32-35.