例談尺規作圖的應用

摘要： 尺規作圖是只使用沒有刻度的直尺和圓規作圖，利用尺規作圖可以確定點的位置，還可以作出特殊的三角形特殊四邊形以及分割圖形的面積，有利于培養了學生的動手操作能力和邏輯推理能力.

關鍵詞：尺規作圖；邏輯推理；動手操作

尺規作圖是只使用沒有刻度的直尺和圓規作圖，利用尺規作圖可以解決生活中的實際問題［1］，也可以解決許多幾何問題，如作特殊的三角形、特殊四邊形、正多邊形、特殊角度以及分割圖形的面積.它培養了學生的動手操作能力和邏輯推理能力，凸顯了幾何的嚴謹性與邏輯性［2］.

1 利用尺規作圖確定點的位置

尺規作圖在生活中有著廣泛的應用.例如：三條公路相交成三角形地帶，如何找到一點到三條公路的距離相等.作這個三角形的三個角平分線，角平分線的交點到三條公路的距離相等.如何找一點到這個三角形地帶三個頂點的距離相等？作這個三角形三邊的垂直平分線，垂直平分線的交點到三個頂點的距離就相等.如何修一條公路與原來的公路平行呢？作一組相等的同位角，也就是利用作一個角等于已知角來解決.

例1 如圖1，要在S區建一個集貿市場P，使它到兩條公路l1，l2的距離相等，并且到兩個村莊A，B的距離也相等，請你通過作圖來確定點P的位置．

解析：因為點P到兩條公路l1，l2的距離相等，

根據到角兩邊距離相等的點在角平分線上，所以點P在l1，l2夾角的平分線上.

因為點P到兩個村莊A，B的距離也相等，

根據到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，所以點P在線段AB的垂直平分線上.因此線段AB的垂直平分線與l1，l2夾角平分線的交點就是點P的位置.如圖2所示，連接AB，作出兩條公路l1，l2夾角的平分線及線段AB的垂直平分線，兩線的交點P即為所求．

評注：本題使用的尺規作圖方法我們稱之為“交軌法”，即從一個條件出發得到一條直線或射線，再從另一個條件出發得到另一條直線或射線，兩條直線或射線的交點即為所求作的點.當然每得到一條直線或射線，都需要進行前期分析與推理，根據圖形的性質與所求進行分析與嘗試.

2 利用尺規作圖作特殊三角形

利用尺規作圖可以以已知線段為邊作等邊三角形，首先作一條線段等于已知線段，然后再分別以線段的兩個端點為圓心，以已知線段長為半徑畫弧，兩弧的交點就是第三個頂點；也可以以兩條線段分別為等腰三角形的底邊和底邊上的高作等腰三角形，首先作一條線段等于已知線段，再作這條線段的垂直平分線，然后在垂直平分線上截取一條線段作為底邊上的高，得到第三個端點后連接即可得求作的等腰三角形.利用尺規作圖還可以以兩條已知線段為直角邊和斜邊作直角三角形等.

例2 "已知矩形ABCD，請用直尺和圓規在BC上方作一個以BC為斜邊的Rt△BPC，其中∠PBC＝30°．

解析：因為直徑所對的圓周角是直角，所以以BC為直徑作圓，構造BC所對的圓周角就是直角；根據在直角三角形中，30°角所對直角邊等于斜邊的一半，所以以斜邊的一半即半徑構造一條直角邊.

作法：如圖4，先作BC的垂直平分線得到BC的中點O，再以O為圓心，BC為直徑作⊙O，然后以點C為圓心，CO為半徑畫弧，交BC上方的圓弧于點P，則點P滿足條件．

評注：在直角三角形BCP中，當連接OP后，可得等腰三角形BOP與等邊三角形OPC，發現圖形中存在等邊三角形，所以本題也可采用“三角形奠基法”，即以線段BC的一半為邊長作等邊三角形OCP，這樣就確定了第三個頂點P，連接BP，則三角形BPC就是所求作的直角三角形.

3 利用尺規作圖作特殊四邊形

利用尺規作圖可以由一個已知角和一條線段畫菱形，即先利用作一個角等于已知角畫出菱形的一個角，然后在該角的兩邊上截取相等的線段，最后再畫弧，弧的交點就是第四個頂點.同理可以作出平行四邊形和矩形等.

例3 如圖5，已知平行四邊形ABCD.

（1）以BD為對角線，作菱形MBND，使得M，N分別在BA，DC的延長線上．

（2）證明所作四邊形MBND是菱形．

解析：（1）因為菱形的對角線互相垂直平分，所以找到BD的中點后再作BD的垂線，垂線與BA，DC延長線的交點就是另兩個頂點.如圖6，連接BD，AC，令它們交于點O，再過點O作MN⊥BD分別交BA和DC的延長線于點M，N，則四邊形MBND即為所求作的菱形.

（2）由作圖可得到MN垂直平分BD，再證明△AOM≌△CON，得到OM＝ON，所以MN和BD互相垂直平分，于是可判斷四邊形MBND是菱形．

由作圖可知MN垂直平分BD.

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OA＝OC，AB∥CD.

∴∠MAO＝∠NCO.

∵∠AOM＝∠CON，

∴△AOM≌△CON（ASA）.

∴OM＝ON.

∴MN和BD互相垂直平分.

∴四邊形MBND是菱形．

評注：本題屬于復雜作圖.復雜作圖是指在五種基本作圖的基礎上作圖，一般綜合了幾何圖形的性質和基本作圖方法.解決此類問題的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．本題也考查了平行四邊形的性質和菱形的判定．

4 利用尺規作圖分割圖形面積

利用尺規作圖可以將一個三角形面積二等分，方法是利用作已知線段垂直平分線的方法作三角形任一條邊的中點，然后連接中點與對角頂點；也可以將一個三角形面積四等分、八等分，方法仍是利用作已知線段垂直平分線的方法，首先四等分、八等分三角形任一條邊，然后連接分點與對角頂點即可.這樣作圖的理論依據是等底同高的兩個三角形面積相等.

例4 如圖7，已知△ABC中，AB＝6，AC＝4，D為BC邊上一點，請用尺規過點A作一條直線AD，使S△ABD∶S△ADC＝3∶2.

解析：因為AB∶AC=3∶2，若將這兩邊作為三角形的底邊，當它們的高相等時，則它們的面積比就是3∶2，而角平分線上的點到角兩邊的距離相等，即高相等，所以作∠BAC的角平分線交BC于點D，則直線AD即為所求，如圖8．

評注：此題也可以直接考慮將邊BC分成3∶2的兩部分.因為∠BAC的兩邊之比為3∶2，根據在三角形中，角平分線分對邊所成的兩條線段的比等于這個角的兩邊之比，作∠BAC的角平分線，則角平分線與對邊的交點即是對邊3∶2的分點.

利用尺規作圖也可以作與三角形兩邊都相切的圓，在半圓內作特殊角度如45°，在等邊三角形中作正六邊形，等等.在尺規作圖問題中，為了找到具體的作圖方案，可以先假設圖形已經畫出，并畫出草圖，在草圖中分析，結合圖形性質，將尺規作圖分解成幾個基本作圖.尺規作圖題一方面考查尺規作圖的基本操作，另一方面考查幾何圖形的一些性質［3］.

參考文獻：

[1]劉志鳳.加強尺規作圖 發展核心素養[J].中學數學教學參考，2022（27）：19-22.

[2]張萬梅.“得法”更要“明理”，追求有邏輯的作圖——從中考答卷談尺規作圖教學[J].中國數學教育，2019（23）：31-33，42.

[3]秦小雙. 初中生尺規作圖能力水平劃分及提升研究[D].蘇州：蘇州大學，2020.