一道中考二次函數圖象與性質試題的分析拓展

1 真題呈現

（2024年濟南市中考第25題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=x2－4x+c的圖象與y軸的交點坐標為（0，5），圖象的頂點為M.矩形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸、y軸上，頂點B的坐標為（1，5）.

（1）求c的值及頂點M的坐標.

（2）如圖2，將矩形ABCD沿x軸的正方向平移t個單位（0lt;tlt;3）得到對應的矩形A′B′C′D′.已知邊C′D′，A′B′分別與函數y=x2－4x+c的圖象交于點P，Q，連接PQ，過點P作PG⊥A′B′于點G.

①當t=2時，求QG的長.

②當點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得△PGQ的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由.

此題是以二次函數的圖象為背景，結合圖象與坐標軸交點的坐標，求解有關二次函數中的參數值，然后根據頂點式方程求得頂點坐標的問題.

實際處理有關類似本題線段的長度問題時，可以利用條件求得某些點的坐標，然后根據兩點間距離公式求解，或者根據圖形的性質特點，構造相應的直角或者等腰三角形，然后求得線段長度即可；而對于有關面積問題的求解，要大膽設出參數，然后根據題意列出帶有參數的方程式，在注意參數范圍的同時，解參數方程求得參數值即可解決問題.

解：（1）因為二次函數y=x2－4x+c的圖象與y軸的交點坐標為（0，5），所以c=5，則y=x2－4x+5=（x－2）2+1，故頂點M的坐標是（2，1）.

（2）①因為點A在x軸上，點B的坐標為（1，5），所以點A的坐標是（1，0）.

當t=2時，點D′，A′的坐標分別是（2，0），（3，0）.

當x=3時，y=（3－2）2+1=2，即點Q的縱坐標是2；當x=2時，y=（2－2）2+1=1，即點P的縱坐標是1.因為PG⊥A′B′，所以點G的縱坐標是1，故QG=2－1=1.

②存在.理由如下：

因為△PGQ的面積為1，PG=1，所以QG=2.

點評：在解答有關二次函數圖象和性質的題目時，要通過分析和認識圖形，向學生滲透數形結合思想，注意函數圖象的開口方向、頂點坐標、對稱軸、增減性等，從而根據特點和技巧找到解決問題的最佳途徑，讓學生在掌握知識的基礎上，提高對二次函數圖象和性質、在解決問題中的應用等內容的理解和掌握，達到學以致用，培養學生的解題策略，提高解題效率.

2 變式拓展

變式1 已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（－3，0），B（1，0），與y軸交于點C（0，3），其對稱軸與x軸交于點H.

（1）求拋物線的頂點坐標.

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PHC是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

解：（1）因為拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（－3，0），B（1，0），故設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x－1）（a≠0）.將C（0，3）代入，得－3a=3，解得a=－1，所以y=－（x+3）（x－1）=－x2－2x+3=－（x+1）2+4.

故拋物線的頂點坐標為（－1，4）.

（2）由（1）可得拋物線的對稱軸為直線x=－1，則H（－1，0）.

設點P（－1，m），則PH2=m2，HC2=10，PC2=1+（m－3）2.

由題意知，當△PHC是等腰三角形時有三種情況：①PH=HC，②PH=PC，③HC=PC.

當HC=PC時，10=1+（m－3）2，解得m=6或m=0（舍去），所以點P的坐標為（－1，6）.

變式2 在平面直角坐標系中，拋物線y=－x2+bx+c（b，c為常數）的對稱軸為直線x=1，且此拋物線經過點（－1，－1），點A，B均在此拋物線上，點A，B的橫坐標分別為m，m+1，過點B作y軸的垂線交此拋物線于點C，連接AC，以AC，BC為邊作ACBD.

（1）求此拋物線對應的函數表達式；

（2）當線段BC長為2時，求點A的坐標；

（3）當平行四邊形ACBD的頂點落在拋物線y=－x2+bx+c的對稱軸上時，求ACBD的面積；

所以拋物線的函數表達式為y=－x2+2x+2.

（2）①如圖5，當點C在點B右側時，由題意得點B，C關于直線x=1對稱，因為點B的橫坐標為m+1，所以點C的橫坐標為1－m.因為BC=2，所以1－m－（m+1）=2，解得m=－1，此時點A的坐標為（－1，－1）.

②如圖6，當點C在點B右側時，由題意得點B，C關于直線x=1對稱，因為點B的橫坐標為m+1，所以點C的橫坐標為1－m.因為BC=2，所以m+1－（1－m）=2，解得m=1，此時點A（1，3）.

綜上可知，點A（－1，－1）或A（1，3）.

（3）因為過點B作y軸的垂線交此拋物線于點C，又點B，C在拋物線對稱軸兩側，所以分兩種情況討論：

②如圖8，當點A在對稱軸上時，m=1，則點A（1，3）.因為點B的橫坐標為2，所以點C的坐標為（0，2），所以BC=2.故SACDB=BC×（yA－yC）=2×（3－2）=2.

對于有關二次函數圖象與性質的問題，通過數形結合法，對二次函數開口方向、對稱軸、頂點坐標等進行分析，探究二次函數的性質與解析式之間的內在聯系，建立二者之間的橋梁，引導學生探究解答過程，尋找解答策略，從而找到解決問題的突破口.