中小學數學課堂留白的研究綜述及實踐建議

摘 要：在中國知網中，檢索得到237篇關于中小學數學課堂留白的文獻。采用文獻計量法統計各年的發文量，利用CiteSpace軟件繪制研究機構、論文作者和論文關鍵詞共現、突現的知識圖譜，進行分析；采用內容分析法，分理論基礎、內涵、原則、方式、存在的問題、優化的策略六個主題梳理論文的主要觀點。進而，對中小學數學課堂留白的實踐提出建議；巧借數學史料，豐富留白內容；構建評價體系，調控留白行為。

關鍵詞：數學課堂；留白；研究綜述；文獻計量；內容分析

隨著基礎教育課程改革的不斷推進，“以學生發展為本”理念的逐步增強，留白在數學課堂中顯得越來越重要，課堂留白成為數學教育領域的一個重要話題。目前，中小學數學課堂留白的研究成果豐碩，但是，該領域研究成果的綜述還很少。尹超采用質性研究的方法，從內涵、價值、教學策略、教學原則等方面回顧了中小學數學課堂留白的研究成果，并展望了未來的研究方向，但是，沒有深入剖析課堂留白的理論基礎以及存在的問題，也缺少更加量化和直觀的梳理。［1］

基于此，筆者在中國知網的高級檢索中輸入“數學課堂留白”“數學課堂布白”“數學課堂空白”三個主題，用“or”連接，設置截止時間為2023年12月31日（不設置起始時間），進行“主題”檢索，得到294篇文獻；剔除關于職業教育的和主要內容不是數學課堂留白的文獻，得到237篇關于中小學數學課堂留白的文獻。對此，采用文獻計量法統計各年的發文量，利用CiteSpace軟件繪制研究機構、論文作者和論文關鍵詞的知識圖譜，進行分析；采用內容分析法，分主題梳理論文的主要觀點。進而，對中小學數學課堂留白的實踐提出一些建議。

一、 研究綜述

（一） 年發文量分析

統計各年的發文量，可以整體把握研究的變化趨勢。有關文獻的年發文量的折線統計圖如圖1所示。由圖可知，1996—2023年，國內對數學課堂留白的研究總體呈現“先波動增加，后波動下降”的趨勢，具體可以分為三個階段：（1） 穩定保持期（1996—2008年），這一階段年發文量都很小，保持在1—2篇；（2） 快速增長期（2009—2014年），這一階段年發文量開始大幅增加，6年內增加到28篇；（3） 波動下降期（2015—2023年），這一階段年發文量起伏較大，且整體呈現下降趨勢。

（二） 研究機構和論文作者分析

分析研究機構和論文作者，可以明確主要研究力量的分布及合作關系，對進一步關注相應領域的研究發展方向具有重要意義。

繪制研究機構的知識圖譜（圖略），分析發現，研究機構主要有兩大類。第一類是中小學，其占比更高，集中在江蘇地區，偶爾有廣西地區和福建地區的；第二類是高等院校，其占比較低，所在的地區較為廣泛，主要有蘇州大學、南京師范大學、重慶師范大學、西南大學、華中師范大學等。同時，研究機構之間的合作關系較為薄弱。

繪制論文作者的知識圖譜（圖略），分析發現，論文作者主要包括中小學教師、碩士研究生。中小學教師是數學課堂留白研究的核心力量，其研究成果大多數與課堂實例相結合，具有實踐性；碩士研究生主要對中學數學課堂留白進行獨立研究，其研究內容各具特色。綜合看來，研究者對數學課堂留白的研究較為獨立、分散，研究者之間的協作程度有待提高。

（三） 論文關鍵詞分析

關鍵詞共現知識圖譜中，節點和字體越大，說明相應關鍵詞出現的頻次越多，即受到的關注越多；連線越多，說明相應關鍵詞的中心性越大，即重要性（影響力）越大。分析關鍵詞出現的頻次和中心性，可以明確研究的熱點和重點。有關文獻的關鍵詞共現知識圖譜如圖2所示。其中，出現頻次居于前20位的關鍵詞（出現的頻次、中心性）分別是留白（56、0.29）、課堂留白（44、0.35）、課堂教學（31、0.41）、高中數學（27、0.17）、小學數學（25、0.83）、初中數學（20、0.48）、留白藝術（13、0.56）、數學教學（13.0.50）、數學（10、0.16）、數學課堂（7、0.09）、課堂（7.0.05）、教學策略（7、0.14）、空白（5、0.08）、空白藝術（5、0.27）、藝術（5、0.02）、策略（5、0.10）、數學思維（5、0.02）、深度學習（3、0.09）、探究（3、0.10）、反思（3、0.13）。合并同義/近義詞，分析發現，研究者主要關注課堂留白（藝術）、課堂教學、數學教學等關鍵詞，并對留白進行了顯性、隱性、綜合等的分類，導入、提問、探究、評價、反思、總結等方式的介紹，促進深度學習、鍛煉數學思維、激發求知欲望等價值的論述，同時研究全面關注了小學、初中、高中數學課堂的留白（藝術）。

關鍵詞突現知識圖譜能夠顯示關鍵詞出現的時間分布和動態變化，可以用來預測研究的發展趨勢。有關文獻突現強度居于前12位的關鍵詞的突現知識圖譜如圖3所示。合并同義/近義詞，分析發現，數學課堂留白領域的核心研究內容幾乎沒有改變；2011年以后突現的關鍵詞逐漸增多，主要原因可能是數學課堂留白研究開始進入激增階段；近4年突現的關鍵詞“數學思維”“深度學習”等是數學教育研究的熱點話題，體現出研究者開始關注現代教育理念下數學課堂留白的發展，從不同的視角對數學課堂留白進行了深入的研究。

（四） 論文內容分析

有關文獻的研究內容各有側重，主要涉及數學課堂留白的理論基礎、內涵、原則、方式、存在的問題、優化的策略等。下面，分別對這些方面的研究內容進行分析。

1. 理論基礎分析

數學課堂留白的理論基礎深厚，包括美學、心理學、教育學三個角度的理論依據。美學的角度：中國傳統繪畫注重虛實的辯證統一與相生相襯，為數學課堂留白賦予了美學底蘊；數學課堂中的虛虛實實留下了無盡的想象空間［23］。心理學的角度：格式塔心理學派的“完形壓強”理論揭示，有空白或缺陷的事物會推動大腦積極活動，以填補這些空白和缺陷［45］；當作者在作品中有意留下空白，觀者會主動填補空白，這種心理活動叫作“連情心理”［6］；蔡格尼克效應揭示，面對數學課堂中留而未講的空白，學生會保持深刻的記憶［7］；留白后需等待學生回答，回答后需等待教師（同學）評價，課堂教學中的合理留白是“等待時間”理論的一種重要運用［8］。教育學角度：新課改理念強調，教師應該提供豐富

的數學活動機會，讓學生在自主探究與合作交流中，深刻理解和掌握數學基礎知識與技能，培養數學基本思想和方法，積累數學基本活動經驗［910］；“參與者知識觀”強調，數學知識不是結論性產品，而是需要個人參與建構、探索的生產性過程——課堂留白留給了學生親身從事數學活動和自主建構數學知識體系的機會［11］。

總體而言，數學課堂留白的理論基礎在于：美學中，留白創造了自由想象的空間；心理學中，自主補白能完善有缺陷的事物；教育學中，留白提供了活動的機會，發展了多元的能力。

2. 內涵分析

數學課堂留白的內涵沒有統一的表述，但是，其實質都是留下時間和空間給學生。有研究認為：數學課堂留白是指，數學教師在課堂教學的某些環節，有意留出時間和空間，讓學生自主思考、感悟，為學生建構數學認知結構，從事數學探究活動，表達對數學的理解提供機會［12］；或者說，在課堂上不把所有內容塞給學生，而故意留下理解的“缺口”，給學生時間和空間填入自己思考的結果，不以確定的學習內容填滿整個教學時段，而有意識地留下一段時間，讓學生思考屬于自己的數學［13］。

總體而言，數學課堂留白是一種“雖無但有”的教學方式：在沒有教師滿堂灌，而有空間時間、學習主體、思考探索的情形下，引導學生建構對數學知識的理解，提升數學思維能力和自主學習能力。

3. 原則分析

為避免無效的課堂留白，很多研究者都提出了課堂留白應當遵循的基本原則。總體看來，研究者圍繞課堂留白實踐中出現的問題，從教學和師生的角度提出了相應的原則，觀點比較一致。具體來看，主要包括四大原則：

第一，目的性原則。這是針對留白目標不夠明確、教學任務隨意更改、教師放任學生自流提出的。留白是課堂教學的組成部分，是為教學目標服務的。因此，課堂留白要遵循目的性原則，有明確的目的性和鮮明的針對性。［14］

第二，適度性原則。包括留白難度、留白次數、留白時間三個方面的適度。課堂留白的難度要落在學生認知的“最近發展區”內，符合學生認知的發展規律；可采取階梯式問題串的形式，逐步提升課堂留白的難度。［15］課堂需要留白，但是不能處處留白；留白次數過多，會使學生疲于應對，無法提升思維深度；要根據不同課型、不同教學重難點，調整留白的次數。［16］留白的時間也要適度，例如：回憶舊知、理解概念、運用公式時，留白的時間可相對縮短；探究、變式、拓展時，留白的時間可相對延長。［17］

第三，主體與主導相協調原則。在強調學生主體性的同時，不能忽視教師的主導性。課堂留白時，學生自主、合作的“探究”活動增多，學生的主體性得到充分體現。但是，這不否認教師在課堂中的主導作用。因此，學生的主體地位和教師的主導作用在交往互動的課堂中缺一不可。［18］

第四，差異性原則。教學對象是具有差異性和獨特性的學生群體，課堂留白要尊重學生之間的差異。通過課堂留白，要使不同層次的學生在原有的基礎上得到提升，而不要求所有學生達到同一高度。因此，課堂留白要面向全體學生，關注每一個學生的發展，進行合理分組，設置適當差異，引發不同數學思維之間的碰撞。［19］

4. 方式分析

數學課堂留白方式的研究成果最為豐富。現有研究對“方式”的含義給出了不同的表述，如“時機”“形式”“方式”“種類”等。分析有關文獻發現，“數學課堂留白的方式”這一表述更具有包容性，不同表述所關注的問題都是在何時、何處以怎樣的方式留白，最終指向學生的補白。對此，可以從教學環節、課型、呈現形式三個角度分類。

數學課堂留白是數學課堂教學的方式，因此，根據數學課堂教學環節留白，具有一定的科學性。從教學環節的角度，數學課堂留白可分為新課導入時、設問（提問）后、運算時、板書時、重難點處、拓展探究時、課堂評價時、課堂小結時、布置作業時的留白。［20］導入留白激發求知欲，設問留白引發思考，運算留白提升計算力，板書留白助力回顧，重難點留白突破認知，拓展探究留白增強主體意識，評價留白促進自我反思，小結留白深化理解，作業留白尊重差異。此外，“錯誤”也是研究者關注的關鍵留白之處。數學學習中，學生不可避免地會出現一些審題、概念、計算錯誤。此時，要給學生留下能主動發現并糾正錯誤的空白。［2123］特別是，相似的概念易使學生混淆。因此，還要在知識模糊處留白，讓學生自主反思、對比，從而澄清模糊認識，正確理解知識。［2425］

數學課因為教學內容的不同，可以分為概念課、定理課、法則課、復習課、習題課、試卷講評課等。不同課型所使用的留白方式也有所差異。有研究指出：概念課，要在概念生成時采用停頓留白，讓學生自己抽象概括出概念［2627］，還要在新舊概念聯系處、混淆處和概念特征處留白［28］；定理課，要在定理推導和定理運用時留白，經過推導知道定理的由來，運用定理時將更加靈活［2930］；習題課，要在難點處和變式處留白，幫助學生取得突破；復習課，要在基礎知識和典型例題上留白，幫助學生建構體系；試卷講評課，要在薄弱處和難點處留白，幫助學生查漏補缺［31］。

數學課堂留白還可以按呈現形式分類。例如：根據是否存在明顯停頓和沉默的留白痕跡，將數學課堂留白分為顯性留白、隱性留白、綜合留白［3233］；從數學課堂教學藝術的維度，提出要留出時間空白給學生思考，留出空間空白給學生想象，留出情感空白豐富學生體驗，留出結果空白尊重學生個性［34］；從教師語言和動作的維度，提出引導性語言、聲音的短暫中斷、簡約的手勢等留白方式［3536］。

5. 存在的問題分析

在數學課堂留白的研究中，很多研究者還關注了教學實踐中存在的共性問題，主要表現在四個方面：

第一，數學課堂留白的時間難以把握。留白時間過長會導致教學活動停滯，學生思維流暢性受到影響；留白時間過短會導致教學活動匆忙，學生補白的過程受阻。對此，有研究提出：切忌留白時間過長，讓學生毫無所獲地干耗。［37］也有研究提出：要讓學生的補白有一定的深度，不能一味地為了教學進度或課堂節奏壓縮學生的思考時間。［38］

第二，數學課堂留白的目標不夠明確。課堂教學本身帶有目的性，課堂留白也是為了更好地達到課堂教學目的。因此，完全以留白為目的、沒有科學組織、徒有形式、放任自流的留白都應當合理摒棄。［39］

第三，數學課堂留白的思維含量難以把握。數學課堂中，過于簡單和過于困難的問題都不適合用于留白。過于簡單的問題不能發展學生的數學思維，如事實性知識的問答；過于困難的問題會打擊學生學習的信心，如抽象概念的直接概括。課堂留白的思維含量應該在學生的“最近發展區”內，讓學生通過“跳一跳”的積極思考，最終能有效補白。［4041］

第四，數學課堂留白數量偏少，且具有偏向性。在實際的教學中，由于時間緊張、進度緊湊，很多教師雖然有課堂留白的意識，但是沒有課堂留白的機會，常常只能自留自補。還有的教師習慣于在導入時、設問后留白，而在重難點處、評價時不留白。因此，有研究者提出：教師應當有意識地在數學課堂中運用留白藝術，避免在學生還未充分思考時就給予不必要的提示。［42］同時，課堂留白時，學生作為學習的主體，其思維的發散性和差異性會導致課堂處于動態生成的過程中。因此，教師不可能預料到學生的所有想法，而應該發揮教育機智，利用課堂生成資源進行生成性留白。［43］

6. 優化的策略分析

數學課堂留白存在的問題沒有簡單機械的解決辦法，因為教學是一項靈動的藝術，其對象是具有無限可能的學生。但是，一些研究者還是基于數學課堂留白的內涵、原則、方式等，提出了多種優化策略。具體可概括為以下幾點：

第一，注意留白時機，采用多種留白方式。數學課堂教學可在導入、小結、探究等多個環節留白，同時采用知識性留白、語言留白、手勢留白、情感留白、評價留白等多樣的留白方式，調動學生的積極性。

第二，創設高質量問題，在主問題上多花時間。高質量問題基于學生已有的知識經驗，貼近學生的“最近發展區”，指向教學重難點，蘊含數學思想方法。［44］主問題是教師為了突破教學的重難點，更好地達到教學目標所提出的問題。［45］高質量問題能給學生提供更多的思考空間，是有效留白的前提；在主問題上多花時間，則是課堂留白達到教學目標的必要保證。

第三，樹立正確的留白觀念，增強留白的組織能力。首先，教師要摒棄滿堂灌的傳統教學模式，充分認識數學課堂留白的價值，給予學生獨立思考的機會。其次，由于課型、知識的難易程度和學生對知識的掌握水平等方面的不同，教師既要在備課的過程中，全面、深入地理解和思考，預設課堂留白，又要在上課的過程中，利用自然生成的資源，隨時進行課堂留白。

二、 實踐建議

（一） 巧借數學史料，豐富留白內容

教師可以借助數學史料設計問題，為學生提供廣闊的思維空間和足夠的探究機會，以培養數學素養和創新能力。［46］數學史料為數學課堂留白提供了取之不盡、用之不竭的資源，使教師在知識的產生、發展、應用過程中都可以進行留白設計。在新知引入環節，可以結合數學史料中的問題背景引發學生的思考，例如，引入等比數列時，給出“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”的史料。在定理（公式）證明環節，可以結合數學史料中的多種方法進行補充評價，例如，證明勾股定理時，給出歷史上的多種方法。總之，巧借數學史料，豐富留白內容，是提高課堂留白效果的有效策略。

（二） 構建評價體系，調控留白行為

數學課堂留白評價體系是在教學過程中對留白的內容、時間、次數和學生的學習狀態、參與程度、思維深度等方面進行評價的體系。通過合理的評價，教師可以及時了解學生的學習情況，發現教學中存在的問題，從而有效調整教學策略，調控課堂行為。汪曉勤等提出了留白創造式教學評價的指標體系。借助這個評價體系，可以判斷教師留白設計的目標是否明確、流程是否合理，學生在學習過程中是否有獨立思考、合作交流、資源利用、自我監控，最終的課堂留白成效如何。此外，因為課堂時間有限，所以，留白評價的指標要對留白時間和留白次數有所考量。

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（瞿文菊，南京師范大學教師教育學院。）