驅動橋擺線準雙曲面齒輪嚙合效率優化設計

摘要：基于齒輪摩擦加載接觸分析（FLTCA）方法，提出了擺線準雙曲面齒輪嚙合效率優化設計方法。首先，通過預設空載傳動誤差峰峰值和接觸區位置，實現了對擺線準雙曲面齒輪正、反車齒面的修形設計。然后基于修形面設計，以行駛工況下齒輪嚙合效率最大為優化目標，并綜合考慮齒輪副加載傳動誤差峰峰值、雙側齒面滿載接觸印跡分布以及最大接觸應力建立了優化分析模型。為了提高優化模型的求解速度，采用Kriging代理模型結合多島遺傳算法對優化模型進行了求解。最后，對某型號商用驅動橋擺線準雙曲面齒輪副進行了實例設計和試驗驗證，通過空載接觸印跡試驗和整橋傳動效率試驗驗證了所提優化方法的有效性。

關鍵詞：驅動橋；擺線準雙曲面齒輪；接觸分析；嚙合效率；優化

中圖分類號：TH132.422

DOI：10.3969/j.issn.1004 132X.2024.11.003

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Optimal Design of Face-hobbed Hypoid Gear Meshing Efficiency in

Drive Axles

WANG Qin1 HE Di1 XUE Jianhua2 PENG Jin3 FAN Zijie1

1.State Key Laboratory of Automotive Safety and Energy，Tsinghua University，Beijing，100084

2.Shaanxi Hande Axle Co.，Ltd.，Xi’an，710201

3.Hande Axle（Zhuzhou） Gear Co.，Ltd.，Zhuzhou，Hunan，412000

Abstract： Based on the gear friction loaded tooth contact analysis（FLTCA） method， an optimal design method was proposed for the meshing efficiency of face-hobbed hypoid gears. Firstly， a method was employed to preset the peak-to-peak values of unloaded transmission errors and the positions of the contact zones， facilitating the modification design of the positive and negative tooth surfaces of face-hobbed hypoid gears. Then， building upon the modified tooth surface design， an optimization objective was set to maximize gear meshing efficiency under driving conditions. And the optimization analysis model was established by comprehensively considering factors such as the peak-to-peak values of gear pair loaded transmission errors， distribution of full-load contact pattern on both sides of the tooth surfaces and the maximum contact stresses. To enhance the solution speed of the optimization model， the Kriging surrogate model was employed in conjunction with a multi-island genetic algorithm to address and solve the optimization model. Finally， a case design and test validation were conducted on a commercial drive axle with a face-hobbed hypoid gear pair. The effectivenesses of the optimization method proposed were verified through unloaded contact pattern tests and whole-axle transmission efficiency tests.

Key words： drive axle;face-bobbed hypoid gear; tooth contact analysis; meshing efficiency; optimization

0 引言

具有連續分度加工特點的擺線準雙曲面齒輪以其高效的生產效率在商用車驅動橋領域得到了廣泛的推廣和應用。伴隨汽車工業高速、高質量發展進程不斷推進，提高驅動橋傳動效率成為實現節能減排和綠色經濟的重要途徑。實踐表明，擺線準雙曲面齒輪齒面修形狀態對嚙合效率、加載傳動誤差、接觸應力以及接觸印跡等性能影響顯著。為了獲得滿足工程使用要求的修形齒面及加工參數，相關學者針對擺線準雙曲面齒輪齒面修形設計方法和接觸分析方法已開展了相關研究。

擺線準雙曲面齒輪正、反車齒面一次加工成形中，齒面修形設計需同時考慮雙側齒面狀態。SHIH^［1］基于機床運動關系，通過預設Ease-off修形面并結合機床加工參數靈敏度矩陣實現了擺線準雙曲面齒輪齒面的修形設計。聶少武等^［2］考慮擺線錐齒輪軸向位置變動的影響提出了能夠實現預設齒面接觸位置的分析方法。宣佳敏等^［3］通過對擺線準雙曲面齒輪接觸區長度系數的控制對Spirac切齒調整參數進行了計算。杜進輔等^［4-5］在LITVIN等^［6］提出的局部綜合法基礎上，通過引入權系數實現了對雙側齒面嚙合性能的主動設計與控制。張衛青等^［7］考慮齒面參考點位置及接觸區域形態，實現了對端面滾齒法加工齒輪的接觸性能控制。

齒面修形設計方法主要關注齒輪的空載接觸性能，工程實踐中齒輪的加載接觸性能也是產品的重要指標之一。KOLIVAND等^［8-9］基于殼單元建立了半解析的齒輪加載接觸分析模型，實現了對擺線準雙曲面齒輪的接觸應力、傳動誤差以及嚙合效率的計算分析。魏冰陽等^［10］通過加載接觸分析方法對高減速比準雙曲面齒輪的摩擦功耗和嚙合效率計算方法進行了討論。王欽等^［11］考慮齒輪副加載后的錯位量以及齒面摩擦的影響，提出了考慮摩擦的齒輪加載接觸分析（friction loaded tooth contact analysis，FLTCA）方法，并在此基礎上對齒輪副的嚙合效率計算方法進行了研究。ARTONI等^［12-13］以齒面微觀修形參數為優化變量，建立了以最大化嚙合效率、最小化加載傳動誤差以及最小化齒面接觸應力的多目標優化分析模型，但優化模型中未能同時對雙側齒面接觸性能予以考慮。SIMON^［14-15］以最小化齒面接觸應力和加載傳動誤差為優化目標，以齒輪加工刀具和機床參數為優化變量建立了多目標優化分析模型，模型中也未能同時考慮雙側齒面的加載接觸性能以及齒輪嚙合效率。

現有研究在對擺線準雙曲面齒輪加載接觸性能進行優化分析時，側重于單側齒面嚙合性能的改進，綜合考慮雙側齒面工況的加載接觸性能以及齒輪嚙合效率的研究報道相對較少。工程實踐中，重卡車輛在反拖或滿載倒車工況下反車齒面載荷較大，易發生齒面脫出或擦傷等類型故障。針對上述問題，本文結合工程實踐需求，以行駛工況齒輪嚙合效率為優化目標，以齒輪加載傳動誤差峰峰值、雙側齒面滿載工況接觸印跡以及最大接觸應力為約束建立了考慮多種工況的擺線準雙曲面齒輪嚙合效率優化分析模型。并通過Kriging方法結合多島遺傳算法（multi-island genetic algorithm， MIGA）對所建立的優化模型進行了求解，在滿足齒輪正、反車齒面滿載極限性能的同時，實現了對行駛工況下齒輪嚙合效率的優化。最后，對優化得到的齒輪參數進行加工制造，并通過空載接觸印跡試驗和整橋傳動效率試驗對所提優化方法的有效性進行了驗證。

1 擺線準雙曲面齒輪齒面設計方法

為了降低齒輪故障率，擺線準雙曲面齒輪齒面設計過程中需要同時考慮雙側齒面的嚙合狀態。同時，實際工程中傳動系統在運行過程中會發生負載變形導致齒輪副之間產生嚙合錯位，重載工況下嚙合錯位對齒輪接觸性能影響顯著，因此在齒面設計過程中需要考慮嚙合錯位的影響。本文采用預設齒輪空載傳動誤差峰峰值和空載接觸印跡的方法實現了對擺線準雙曲面齒輪的齒面設計^［1，4］。圖 1為考慮嚙合錯位量的齒面設計流程圖。

首先，根據從動齒輪的初始設計加工參數^［16］計算對應主動齒輪共軛齒面。由從動齒輪初始設計加工參數可計算得到在輪坯坐標系下正、反車齒面的離散點徑向坐標r2和法向坐標n2為

r2=fr（θd，φd，ξc）

n2=fn（θd，φd，ξc）（1）

式中，fr為齒面離散點徑向坐標方程；fn為齒面離散點法向坐標方程；θd為刀盤轉角；φd為刀盤中心繞機床搖臺轉角；ξc為齒輪加工參數。

式（1）得到的齒面為理想狀態下的離散齒面點，考慮齒輪嚙合錯位量后，從動齒輪齒面點坐標變換為

r2mis=M2M1r2

n2mis=M2M1n2（2）

M1=100ΔP010ΔW001ΔE0001

M2=cos（ΔΣ）sin（ΔΣ）00－sin（ΔΣ）cos（ΔΣ）0000100001

式中，r2mis、n2mis分別為考慮錯位量后齒面點徑向坐標和法向坐標；M1、M2為與錯位量相關的坐標變換矩陣；ΔP為小輪軸線方向錯位量；ΔW為大輪軸線方向錯位量；ΔE為齒輪副偏置方向錯位量；ΔΣ為齒輪副軸交角方向相對角錯位量。

與從動齒輪滿足共軛關系的齒面稱為共軛齒面，共軛齒面和從動齒輪齒面在每一嚙合時刻下滿足如下傳動比關系和嚙合方程：

φ2－φ20=1i12（φ1－φ10）

n2mis·v12=f（θ2，φ2，φd2）=0（3）

式中，φ1、φ2分別為主動齒輪和從動齒輪的轉動角度；φ10、φ20分別為主動齒輪和從動齒輪的初始轉角；i12為傳動比；v12為齒輪副相對速度矢量；θ2為從動齒輪刀盤轉角；φd2為從動齒輪刀盤中心繞機床搖臺轉角；

f（·）表示由齒輪嚙合方程得到的函數關系。

工程實踐中，齒面修形設計通常在完全共軛主動齒輪齒面上定義。以正車齒面為例，圖2給出了修形齒面的定義方法，通過接觸區位置和預設空載傳動誤差峰峰值PTE確定了目標修形面，以實現空載接觸性能的控制^［1，4］。為了便于定義接觸區域位置，將齒輪齒面投影在二維平面內，齒面預設接觸區域定義在該投影面內。接觸區域的控制變量包括預設接觸線斜率kc和kv，預設接觸中心位置Pc（xc，yc）和Pv（xv，yv）以及預設接觸橢圓半長軸bc和bv，其中下標c、v分別表示正車面和反車面。將預設參數對應的齒面定義為目標修形齒面Γobj，c和Γobj，v。工程實踐要求齒輪負載產生嚙合錯位后，

接觸印跡依然能保持在齒面中部，因此目標齒面的接觸中心通常設置在齒面中部。修形后主動齒輪和從動齒輪齒面不再滿足共軛關系，齒輪轉動角度之間滿足如下關系：

φ2－φ20=1i12（φ1－φ10）－PTE（z1πφ1）2（4）

式中，z1為主動齒輪齒數。

工程實踐中針對不同的產品需求，對擺線準雙曲面齒輪雙側齒面性能的要求不同，因此，本文在齒面設計過程中通過引入加權系數對正、反車兩側齒面嚙合性能進行控制^［5］，通過計算目標修形面所對應的機床加工參數修正量，在初始機床加工參數的基礎上疊加所求參數修正量即可得到符合設計要求的目標齒面機床加工參數，其表達式如下：

find {Δξc}

min |wcΣc+wvΣv|

s.t. Σv=Sv·Δξc+Γobj，v

Σc=Sc·Δξc+Γobj，c

wc+wv=1（5）

式中，Δξc為機床加工參數修正量；Sc、Sv分別為正、反車齒面誤差的靈敏度矩陣；Σc、Σv分別為正、反車當前計算齒面與目標齒面之間的偏差；wc、wv分別為正、反車齒面的加權系數，設計過程中可以通過對兩個齒面的偏惠程度自主設定，本文中wc和wv均取0.5。

2 優化建模

2.1 優化分析數學模型

本文所分析的擺線準雙曲面齒輪優化設計變量共6個控制參數，包括：正、反車預設接觸線斜率kc和kv（其上下界分別為k01和k02）；正、反車預設接觸橢圓半長軸bc和bv（其上下界分別為b01和b02）；正、反車預設傳動誤差峰峰值PTE，c和PTE，v（其上下界分別為PTE01和PTE02）。

以行駛工況下齒輪嚙合效率η最大為目標函數建立優化模型來實現對齒輪嚙合效率的改進。行駛工況下齒輪加載傳動誤差與驅動橋整橋振動噪聲性能相關，因此在齒面設計過程中需要將行駛工況下的加載傳動誤差峰峰值PLTE約束在設計值PLTE0內。齒面接觸應力與齒輪接觸疲勞性能相關，過大的接觸應力將會導致齒輪過早損壞，因此正、反車齒面的滿載接觸應力σpc和σpv需約束在設計值σpc0和σpv0內。此外，在滿載工況下通常要求齒輪避免發生邊緣接觸，因此需要對齒輪正、反車滿載接觸印跡進行控制。圖3為齒輪加載時齒面接觸印跡區域示意圖，圖中黑色實線為理論齒面邊界；黑色虛線為根據實際需求設定的設計齒面邊界，本文設計齒面邊界為齒頂、齒根向內縮進理論齒高5%，齒輪小端向內縮進理論齒寬4%，齒輪大端向內縮進理論齒寬2%；紅色實線為加載接觸時齒輪接觸印跡范圍；陰影部分即為超出設計區域的接觸印跡面積，定義變量ΔSc、ΔSv分別為正、反車齒面超出設計邊界的接觸印跡面積，通過約束該面積小于設計許用值ΔSc0和ΔSv0來保證齒輪在加載工況下不發生邊緣接觸。根據上述設計變量、目標函數以及約束函數的要求，建立優化模型如下：

find {kc，bc，PTE，c，kv，bv，PTE，v}

max η

s.t.PLTE≤PLTE0

σpc，σpv≤σpc0，σpv0

ΔSc，ΔSv≤ΔSc0，ΔSv0

k01≤kc，kv≤k02

b01≤bc，bv≤b02

PTE01≤PTE，c，PTE，v≤PTE02（6）

2.2 齒輪摩擦加載接觸分析方法

在式（6）所建立的優化模型中，目標函數為最大化齒輪的嚙合效率η，約束函數包括控制加載傳動誤差峰峰值PLTE不超過設計值PLTE0、齒面接觸應力σpc和σpv不超過設計值σpc0和σpv0以及超出設計邊界的接觸印跡面積ΔSc和ΔSv不超過設計值ΔSc0和ΔSv0。本文通過圖4所示的考慮摩擦的齒輪加載接觸分析（FLTCA）方法對上述接觸性能指標進行了分析計算^［11］。主要計算過程如下：

（1）確定計算輸入參數，包括齒輪副基本幾何參數、齒輪運行工況參數以及潤滑參數。

（2）根據齒輪副基本幾何參數、機床加工參數以及刀具參數，通過模擬實際機床加工過程，計算得到主、從動齒輪實際齒面，并進行齒輪空載接觸分析（TCA），計算得到理想狀態下的齒面接觸點。

（3）計算齒面縮減剛度矩陣，判斷每一嚙合時刻是否滿足變形協調方程、轉矩平衡方程以及接觸的應力收斂方程，上述三個方程的表達式分別如下：

‖δb+δs+δc－（Z－d0）‖2lt;ε1（7）

∑mi=1∑nj=1（Ffij+FNij）rijp－Tloadlt;ε2（8）

Δσp=‖σp，k－σp，k－1‖2lt;ε3（9）

其中，ε1（10^-4）、ε2（10^-4）、ε3（10^-3）分別為三組平衡方程的收斂容差。變形協調方程中，δb為齒輪彎曲變形，δs為齒輪剪切變形，δc為齒輪接觸變形^［17］，Z為輪體剛體位移，d0為齒面初始間距。轉矩平衡方程中，m為計算嚙合時刻參與嚙合的齒數，n為齒面接觸橢圓沿長軸方向的離散點數，FNij為第i個齒上第j個點的接觸法向力，Ffij為第i個齒上第j個點的接觸摩擦力，rij為參與嚙合第i個齒上第j個點位矢，p為從動齒輪轉動中心軸線方向矢量，Tload為從動齒輪負載扭矩。接觸應力收斂方程中，σp，k、σp，k-1分別為第k和k-1迭代步每一齒面點的最大赫茲接觸應力，Δσp為相鄰兩迭代步齒面最大赫茲接觸應力差值。

（4）采用基于加權函數的混合潤滑摩擦因數模型對高速重載準雙曲面齒輪副齒面摩擦狀態進行描述，可表示為

μML=μFLf^1.2λ+μDC（1－fλ）（10）

fλ=1.21λ^0.641+0.37λ^1.26

λ=h0S" S=S2r1+S2r2

μFL=exp（f（RS，σp，υ0，S））σ^b2p|RS|^b3v^b6eυ^b70ρ^b8

f（RS，σp，υ0，S）=b1+b4|RS|σplg υ0+

b5exp（－|RS|σplg υ0）+b9exp（S）

RS=2vs/vr

式中，μML為混合潤滑摩擦因數；μFL為流體潤滑摩擦因數^［18］；μDC為邊界潤滑摩擦因數；fλ為載荷分擔系數^［19］；h0為齒面中心油膜厚度；Sr1、Sr2分別為主、從動齒輪齒面粗糙度；S為等效粗糙度；λ為齒面中心油膜厚度h0與等效粗糙度S的比值；b1～b9為回歸系數，取值見表1；υ0為潤滑油黏度；ve為齒面卷吸速度；ρ為齒面接觸點處相對曲率半徑；RS為由嚙合點處相對滑動速度vs和相對滾動速度vr定義的相對滑滾比，齒面相對運動速度依據嚙合點處的相對運動關系計算得到^［9］。

（5）對步驟（3）和步驟（4）迭代求解得到齒輪嚙合效率、嚙合功率損耗、加載傳動誤差、接觸應力以及接觸印跡等指標，直至一個完整的嚙合周期結束。

3 優化模型求解

對式（6）所建立的優化模型求解時，需要多次調用2.2節的FLTCA計算方法，計算量較大，直接進行優化求解將會大幅增加計算時間，不適用于解決工程實際問題，因此為縮短優化模型的求解時間，提高優化效率，本文通過Kriging代理模型方法結合改善期望（EI）的優化加點準則，對上述優化問題進行近似建模，然后采用多島遺傳算法（MIGA）對模型進行求解。采用該方法能夠準確高效地使計算結果收斂于最優齒面。

3.1 樣本抽樣與代理模型的建立

首先需要在設計變量的范圍內進行樣本抽樣得到初始代理模型，本文采用優化拉丁超立方采樣（optimal Latin hypercube sampling， OLHS） 方法進行樣本采樣，獲得初始樣本點。

Kriging代理模型對非線性問題的近似效果好，能得到近似值和誤差估計，在工程中得到了廣泛應用^［20］。模型由全局近似和局部偏差兩部分組成，可表示為

Y（X）=f（X）β+Z（X）（11）

式中，Y（X）為所建立Kriging代理模型；f（X）為基函數；β為基函數對應的回歸系數；Z（X）表示均值為0、方差為σ2的靜態隨機過程。

空間不同點處的協方差矩陣可表示為

cov［Z（Xi），Z（Xj）］=σ2R［Xi，Xj］（12）

其中，σ2為Z（X）的方差；R表示相關函數，本文選擇高斯相關函數：

R［Xi，Xj］=exp（－∑tk=1θk|x^（i）k－x^（j）k|2）（13）

式中，t為樣本變量數目；x^（i）k、x^（j）k為第k個變量的任意兩個樣本點；θk為參數，采用極大似然估計方法計算得到。

3.2 優化代理模型求解

針對工程實踐中的復雜問題，由初始樣本點得到的初始代理模型往往不能滿足精度要求，為解決這一問題，許多學者提出了不同類型的優化加點準則來提高Kriging代理模型的擬合精度。本文采用改進期望準則的樣本點補充方法對模型進行求解^［21］。對于一般的優化問題，采用Kriging方法得到當前代理模型最小值fmin后，定義目標函數的改進量為

I（x）=max（fmin－Y^（x），0）（14）

其中，Y^（x）為當前采樣點得到的代理模型在任一點x處的估計值，該估計值滿足Y^（x）∈N（y^，s2）的正態分布，其中y^為均值，s2為方差，則改進量的期望值為

E［I（x）］=

（fmin－y^）Φ（fmin－y^s）+s（fmin－y^s）" sgt;0

0s=0

式中，s為模型在點x處的預測均方根誤差;Φ（·）表示累計分布函數；（·）表示概率密度函數。

在對代理模型優化求解時，將EI值最大處的點作為樣本補充點加入到初始樣本集中。當目標函數的EI值滿足設計要求后，得到最終的代理模型，采用MIGA算法對代理模型求解，得到優化問題解。

代理模型建立與計算過程如圖5所示，主要步驟如下：

（1）在設計變量范圍內進行OLHS方法采樣，并對每個采樣點進行FLTCA計算，得到每個采樣點處對應的齒輪接觸性能生成初始樣本集。

（2）對步驟（1）得到的樣本集按照式（6）所建立的優化方程分別擬合優化目標函數和約束函數的初始Kriging代理模型。

（3）采用MIGA算法對所建立的代理模型進行求解，在滿足約束函數的條件下，搜索目標函數對應的最大EI值與對應的設計點。若EI值滿足設計要求，則跳至步驟（5），若不滿足要求則進行步驟（4）計算。

（4）在EI值最大的設計點處進行FLTCA計算，并將計算結果補充至步驟（2）所建立的初始樣本集，對樣本集進行更新，然后返回步驟（3）進行計算。

（5）最終得到滿足計算要求的代理模型，采用MIGA算法對模型進行求解，得到最終優化解。

4 算例與試驗驗證

本節以某商用驅動橋主減速器擺線準雙曲面齒輪為例，為了改進齒輪的嚙合效率，采用本文提出的齒面優化設計方法對齒輪加工參數進行了優化設計，并對優化后的齒輪參數進行了加工制造與試驗驗證。表2所示為齒輪副的基本參數。

上述優化問題包括6個設計變量，初始樣本點設為65個，對初始樣本點分別進行FLTCA計算得到初始樣本集，并采用圖5所示的代理模型建模方法針上述優化問題進行計算。最大EI值閾值設置為1。迭代求解得到滿意的代理模型后，采用MIGA算法對代理模型求解。計算得到的優化結果為：kc=3.22，kv=6.532，bc=0.232，bv=0.256，PTE，c=0.000 112，PTE，v=0.000 12。代理模型計算結果和FLTCA計算結果的對比如表3所示，可知代理模型計算結果和FLTCA計算結果的最大誤差小于2%，代理模型精度滿足計算要求。

表4和表5給出了采用優化方法計算得到的齒輪副機床加工參數。

4.1 空載接觸印跡試驗

采用齒輪空載對滾試驗對加工后齒輪副齒面和理論設計齒面的印跡一致性進行了試驗驗證。圖6分別對比了正、反車齒輪副空載接觸印跡，可以觀察到理論計算空載接觸印跡和實際加工齒面對滾試驗印跡一致。

4.2 整橋傳動效率試驗

在圖7所示的驅動橋系統加載試驗臺架上，對優化后齒輪副整橋傳動效率進行試驗，并與優化前齒輪設計方案^［11］的整橋效率進行了對比，兩組試驗除齒輪外其他試驗設置保持一致。試驗功率為10 ～100 kW，試驗車速為10 ～80 km/h。試驗過程中將驅動橋固定于驅動橋支座上；驅動橋輸入軸與輸入端測功機連接，用于測試系統輸入功率；驅動橋的兩端半軸分別與負載端測功機相連接，用于測試系統負載功率。按照試驗工況要求控制負載功率為試驗功率，同時測試不同工況下的系統輸入功率。負載功率與輸入功率的比值即為驅動橋系統的測試效率。

圖8分別對比了不同車速下系統負載功率為20，40，60，80 kW時，本文優化方法得到的齒輪設計方案和優化前原始設計方案的驅動橋系統功率損耗和系統效率。研究結果表明，優化設計方案的整橋功率損耗相較原始設計方案得到了降低，系統效率得到了提高。本文試驗驅動橋的關注巡航工況為負載功率80 kW、

行駛車速80 km/h，在該工況點處整橋功率損耗降低約300 W，整橋效率提高約0.4%。試驗結果表明本文提出的優化方法能夠有效地提高驅動橋整橋效率。

5 結論

本文通過預設齒輪空載傳動誤差峰峰值和接觸區位置的方法，考慮了齒輪嚙合過程中系統變形導致齒輪嚙合錯位的影響，實現了對擺線準雙曲面齒輪齒面設計，并在此基礎上通過考慮摩擦的齒輪加載接觸分析 （FLTCA） 方法，以齒輪行駛工況嚙合效率最大為優化目標，以齒輪加載傳動誤差峰峰值，正、反車滿載工況接觸印跡以及最大接觸應力等為約束函數建立了優化分析模型。通過改進期望準則的Kriging代理模型并結合多島遺傳算法對所建立的優化模型進行了求解，得到了符合工程使用要求的齒輪加工參數，并進行了加工制造與試驗驗證。

臺架試驗結果表明，相較于原始設計方案，本文優化方法得到的齒面設計方案在驅動橋關注巡航工況點處功率損耗降低約300 W，系統效率提高約0.4%，因此，采用本文建立的齒輪優化設計方法能夠有效地實現擺線準雙曲面齒輪齒面修形設計，提高產品性能。同時快速準確的自動化計算程序降低了對工程師設計經驗的依賴，有效縮短了產品開發周期。

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（編輯 胡佳慧）

作者簡介：

王 欽，男，1994年生，博士研究生。研究方向為驅動橋系統建模與傳動效率分析。發表論文4篇。E-mail：wangq17@mails.tsinghua.edu.cn。

范子杰（通信作者），男，1958年生，教授、博士研究生導師。研究方向為汽車結構分析、優化設計及CAE方法。發表論文120余篇。E-mail：zjfan@tsinghua.edu.cn。