立足問題引領 促進深度理解

1.問題提出

問題串教學是以問題貫穿整個課堂教學，讓學生在思考問題、解決問題的過程中提高學習的動力，逐步形成良好的學習習慣，在教學過程中逐漸優化學習方法，提升了學習能力.數學是一門基礎性的學科，數學教學就是通過發現問題，然后解決問題，最終促進學生的全面發展.在數學教學過程中，教師以問題組織課堂，通過思維藝術將教學內容與學生的興趣結合起來，為學生創造獨立的思考空間.問題串教學恰好可以為數學教學營造良好的問題情境，激發學生的問題意識，增強學生的求知欲，促進學生的深度學習.

兩角差的余弦公式為問題串教學提供豐富的素材.很多學者對其教學設計做出研究.新版高中數學人教A版教材從幾何的角度，借助于平面直角坐標系與單位圓，將角α、β、α－β的終邊與單位圓的交點坐標分別用其相應角度的正弦或余弦表示，然后從幾何圖形上尋求等量關系，再根據點到直線的距離公式列出相應的等式，進而得出兩角差的余弦公式.教材對這一過程的設計十分刻板，將該公式的證明過程直接呈現出來，忽視了學生的主體性.因此，教師要通過設置“好”的問題［1］，進行啟發式地教學.啟發式數學教學具有較好的教育作用，是實現有效數學教學的優化途徑與方法，它能調動學生學習的主動性和積極性，促使他們生動活潑地進行數學學習與發現［2］.下列是問題串教學的課堂教學示例.

2.教學過程

2.1復習舊知，引入課題

問題1 上述四個式子化簡的最終結果是什么？

設計意圖：教師通過復習誘導公式的知識導入課題，符合學生的認知發展規律，可以激發學生數學學習的興趣，建立新舊知識的聯系，明確學習目的.

2.2猜想探究，自主建構

問題2 觀察①②③④，你有什么發現？

設計意圖：教師通過引導學生自主觀察發現這四個等式的共同點，進而抽象出cosα－β⑤的表達式.

問題3 能否采用從特殊到一般的思想，即用角α代替這四個角，可以得到關于⑤的公式？

設計意圖：數學知識的獲得更不是教師直接強加給學生，教師在教學過程中應不斷強化數學思想方法，促使學生充分感受從特殊到一般的數學思想.

生3：……

問題4 大家觀察這四個式子，你能猜想出公式⑤中可能含有的元素嗎？

設計意圖：數學課的教學從來都不是教師一人唱獨角戲、自導自演，學生是學習的主體，教師是學生學習的引導者、促進者、合作者，教師不應該將知識直接拋給學生，而是要不斷地啟發學生，引發學生思考，從而促進學生猜測出公式⑤中可能含有的元素.

生4：公式⑤一定含有cosβ，sinβ.

問題5 你是如何猜想的？

設計意圖：循序漸進、步步深入，啟發學生思考，培養學生分析問題和解決問題的能力.

問題6 除了cosβ，sinβ這兩個元素外，⑤中還存在其它元素嗎？同學們思考一下.

設計意圖：真正做到將課堂還給學生，讓學生做學習的主人.培養學生獨立思考、自主探究的能力，繼續深入探索⑤中可能存在的其它元素.

生5：還含有cosα，sinα這兩個元素.

問題7 你是怎么想的？

設計意圖：學生是發展中的人，具有巨大的發展潛力.教師要善于引導、發現學生的想法，充分暴露學生的數學思維過程，幫助學生分析和探索公式⑤中還可能存在的元素.這對學生數學知識結構的建立、推廣、發展具有巨大作用.

問題8 接下來就要探索cosβ，sinβ，cosα，sinα四個元素之間的運算關系.

設計意圖：教師步步深入，啟發、引導學生探索出公式⑤中含有的元素，接下來研究四者之間的運算關系便順理成章.

生6：肯定沒有除法結構，因為sinπ=0，如果有除法結構，公式⑤可能沒有意義.

問題9 既然誘導公式①中的結果只含有元素sinβ，那么其它三個元素是不是通過某種運算結構消去了？

設計意圖：通過設置問題，層層提問，利用提問法和引導法引導學生對四個元素之間可能存在的運算關系進行思考并進一步討論，體現了以“教師為主導、學生為主體”的課堂教學理念.

問題10 生8已經將四者的運算關系推測出只有⑥⑦兩種情況，這樣我們距離目標越來越近了，那可不可以繼續通過賦值的方法進行排除以猜測出正確的表達式？

生9：將α=π代入公式⑥中，得到cosπ－β=sinπsinβ+cosπcosβ=0·sinβ+－1·cosβ=－cosβ，滿足公式②，同理，將α=π代入公式⑦中，得到cosπ－β=sinπsinβ－cosπcosβ=0·sinβ－－1·cosβ=cosβ，顯然不滿足公式⑦.

問題11 通過自主探究、觀察分析，排除⑦式，我們只剩下唯一一個表達式⑥，類比上述的分析過程，誘導公式③④是否也滿足⑥式呢？如果對任意一個角α是否依然都滿足⑥式？

設計意圖：探究發現或理解式的數學學習是本真意義上的數學學習方式，旨在學習主體在獲得探究發現或理解式的數學學習內容的基礎上，體驗數學學習過程，進而基于此激發或增強數學的學習興趣等.既然已經對公式①②進行了驗證，接下來自然需要驗證公式③④以及對任意的角α是否也滿足⑥式，促使學生充分感受從特殊到一般的數學思想.

2.3故技重演，公式證明

問題12 通過猜想我們得出兩角差的余弦公式⑧，那么我們如何嚴格地去證明該公式呢？

設計意圖：數學是一門抽象嚴謹、講道理的學科，每個定理、公式的由來都要有理有據.猜想的過程固然重要，但是沒有理論依據作支撐，就如墻上畫餅，中看不中用，因此，從某種意義上來說它就不具有說服力，也無法直接進行應用.

生：單位圓.

問題13 我們借助單位圓，不妨令α≠2kπ+β，k∈Z.設單位圓與x軸的正半軸相交于點A1，0，

以x軸非負半軸為始邊作角α，β，α－β，它們的終圖1邊分別與單位圓相交于點P1cosα，sinα，A1cosβ，sinβ，P（cos（α－β），sin（α－β）），圖1中α－β可以用哪兩個角表示？

設計意圖：引導學生自主發現、尋找圖中涉及的等量關系，培養學生的圖形直觀與觀察發現的能力，體會數形結合的思想.

生13：∠POA和∠P1OA1.

問題14 由這兩個角相等你可以得出什么？

設計意圖：充分發揮學生的主體意識，幫助學生聯想回憶“同一個圓中相等的角所對的弧和弦相等”這一知識.

問題15 由AP=A1P1，你可聯想到什么？

設計意圖：學生對于知識的掌握不是一蹴而就的，教師在教學中只有不斷地復習舊知，幫助學生建立新舊知識的聯系，才能更好地促使學生加深對知識的理解與鞏固.

生15：兩點間的距離公式.因為AP=A1P1，

所以cosα－β－12+sin2α－β=（cosα－cosβ）2+（sinα－sinβ）2，整理得cosα－β=cosαcosβ+sinαsinβ.

2.4知識運用，深化理解

范表達.

問題16 如何運用所學知識去證明公式（2）呢？

設計意圖：落實新知識與方法，增強學生運用數學的能力，加強運用新知識的意識，培養學生解決問題的能力和學習數學的興趣.此處設計教師先進行例題講解，加深學生對知識的理解與應用.學生在黑板上進行板演，教師可以及時了解學生對于本節課所學知識的掌握情況，同時可以注意到學生在書寫時的數學語言表達是否規范，以及時糾正其錯誤.

生16（板演過程）：cosπ－α=cosπcosα+sinπsinα=－1×cosα+0=－cosα.

問題17 大家對這道題有什么想法嗎？

設計意圖：學生是獨特的人，每個學生都有自身的獨特性.對于數學例題的講解，不是教師以“填鴨式”或“滿堂灌”的方式講給學生，而是站在學生的角度，充分地尊重學生，了解學生的想法，因地制宜，因材施教.

生17：可以利用兩角差的余弦公式⑤求解.

生18：sinα，cosβ是已知的，但是公式⑤中cosα，sinβ未知.

問題18 我們能根據題目的已知條件求出cosα，sinβ的值嗎？如果不能，如何求cosα，sinβ的值呢？

設計意圖：以問題的方式促進學生思考、聯想如何運用之前所學的知識解決問題.

生19：可以利用公式sin2α+cos2α=1來求解.

設計意圖：教師要特別強調學生在解決問題時最容易犯的錯誤.此題學生很容易忽略題目中給出的角α、β的取值范圍，因而使得計算的結果不唯一.這里教師通過提問的方式促使學生注意今后在解題的過程中一定要養成認真閱讀題干的好習慣.

問題20 生20觀察得很仔細，通過這道例題，你覺得在運用公式⑤去求兩角差的余弦值時需要注意什么？

設計意圖：讓學生自己去發現、去總結.對于學生解題的要求是，不僅會解此題，還要學會解這一類題，以達到觸類旁通、舉一反三的效果.解題關鍵之處不在于解決問題本身，而是發現問題、分析問題的過程.通過解題，總結經驗，體會題目中蘊含的數學思想，以備今后在解決三角函數類似的相關問題時變得有跡可尋.

生21：要認真閱讀題干，注意給定角的取值范圍.

2.5 知識升華，總結反思

課堂總結是在教師的指導下，由學生自主歸納：（1）數形結合推到出兩角差的余弦；（2）兩角差余弦公式的記憶口訣；（3）公式的靈活運用；（4）通過本節課的學習，掌握了一些探究問題的數學方法.

3.回顧反思

3.1 把握教材結構 立足問題引領

根據三角函數定義導出所有誘導公式，很好的反映了有道公式的本質，因此，筆者在設置問題引入時，從教教結構出發，設置相關問題串，然學生從誘導公式出發，去發現不一樣的東西，自主建構公式，然后利用圓的旋轉對稱性去推導公式，回歸教材整體性.因此，學生在學習過程中，如果把握了知識間的內在結構，學習方法的結構，就有可能借助整體結構的支撐，解決許許多多看似陌生但實際密切聯系的問題，從而能夠從整體的高度把握知識的本質，形成對知識、思想和方法的正確認識和深度理解.

3.2 滲透思想方法 揭示數學本質

數學概念、數學結構和數學方法的本質是數學的靈魂，它蘊含在數學知識形成、發展和運用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象和概括. 數學思想方法存在問題解決的過程中，數學問題的轉化都是遵循數學思想方法的指導，因此在問題教學中，問題串的涉及要體現數學思想方法的滲透，本節課問題2到問題11的設計讓學生充分感受從特殊到一般的數學思想.問題12到問題15設計讓學生體會類比思想證明公式，從證明的過程揭示兩角差余弦公式的本質.

參考文獻

［1］李雪， 張昆. 指向“以學定教”的數學教學設計示例——透過“兩角差的余弦公式”的視點［J］. 中學數學研究（江西師大）， 2021（03）： 1-4.

［2］張昆， 張乃達. 啟發發現方式數學教學設計研究［J］. 中學數學雜志， 2017（07）： 9-12.

［3］布魯納. 教育過程［M］. 文化教育出版社， 1982：28，31-32.