立足必備知識，探究問題本質

1.引言

（0，+∞）？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由.

一位學生與我討論這道題的第（2）小問.

首先他認為不等式f（x）≥a是超越不等式，從函數的觀點解不等式，應該是求函數的單調區間，找函數的零點，但這個函數好像沒有零點，無法直接解出答案.另外，他看了教輔用書的解答，對這個解答不太懂，也不太理解：為什么要這樣解？這種解法又是怎么想到的？

面對學生的疑問，我先簡單的跟學生解釋了這種解法的基本思想，把這道題目及其解法分享給全班同學.經過我的設計，就有了下面的關于2008年遼寧卷理科第22題的解題教學案例.

2.解題教學案例主要環節

2.1 問題呈現

通過PPT出示問題1，并讓學生讀題與審題.

教師：問題1是2008年高考數學遼寧卷的理科第22題，請同學們先考慮并求解第（1）問.

x∈1，+∞時，f′（x）lt;0，f（x）單調遞減．

由此知f（x）在0，+∞上的極大值為f1=ln2，沒有極小值．

教師：學生1不僅運算正確，而且解題過程中還考慮了函數的定義域，在函數的定義域范圍內解題，是對函數最起碼的“尊重”.（學生哄堂大笑）

下面，我們來看第（2）問.（學生思考3分鐘后，教師提問）

教師：如何理解第（2）小題？

學生2：這是一個解關于x的不等式f（x）≥a的問題，但這個不等式好像不太容易解.

教師：第（2）小題實則是一個探究性問題：“是否存在實數a，使得關于x的不等式f（x）≥a的解集為0，+∞？” 這句話如何去理解？

學生2：如果這樣的實數a存在，則關于x的不等式f（x）≥a的解集為0，+∞.

教師：很好.還有呢？

學生2：是不是也可以這樣理解：當xgt;0時，不等式f（x）≥a恒成立，求實數a的取值范圍.

教師：學生2的回答很好.審題時，我們要把問題（1）與（2）聯系起來看，問題（1）實際上是對函數f（x）的圖象變化過程的考察；而問題（2）則是在函數f（x）圖象變化過程的基礎上，其本質是對函數f（x）圖象變化趨勢的定量考察.

問題（2）的代數理解是不等式f（x）≥a的解集為0，+∞（或學生2所講的恒成立問題）；其幾何意義則是當x∈0，+∞時，函數y=f（x）的圖象恒在直線y=a的上方，以直線y=a為漸近線（或相切）.

接下來，教師出示了前述的教輔用書的解答，讓學生邊閱讀解答邊思考.（教師認為，這樣的解答學生不太想得到，所以先出示解答，引導學生思考）

教師：教輔用書上的解法其實就是當時命題者給出的解法.這個解法的突兀之處有三點：第一，如何想到對a≤0與agt;0進行分類討論？第二，為什么想到要取“2n”這個值？第三，對2n=1+1n使用了二項式定理進行放縮，技巧性較強.剛才學生2把這個問題理解為恒成立問題，這種想法對我們的解題是否有所啟發？

學生3：是否可以通過求函數f（x）的最小值，然后再來求a的取值范圍？

教師：這是一種思路，我們可以嘗試一下.

2.2 嘗試解答

教師：由問題（1），你能否大致畫出函數f（x）的圖象嗎？

教師：函數f（x）有最小值嗎？

學生4：函數f（x）沒有最小值，但應該有f（x）gt;0（這個結論前面教輔用書的解答已經給出證明）.

教師：這說明什么？

學生4：這說明，當a≤0時，關于x的不等式f（x）≥a的解集為0，+∞；

當a≥ln2時，f（x）≤a恒成立，不滿足題目條件.

當0lt;alt;ln2時，函數y=f（x）的圖象有穿越直線y=a的可能，也即不等式f（x）≥a的解集不可能為0，+∞.

教師：是不是想說，當0lt;alt;ln2時，函數y=f（x）的部分圖象有可能在直線y=a下方？

學生4：是的，感覺是這樣的，但是說不清楚.

教師：函數y=f（x）的部分圖象在直線y=a的下方，從代數角度看，就是存在實數x，使得不等式f（x）lt;a成立.根據剛才學生4畫的圖象，這樣的實數x，大概在什么范圍內？

學生5：從函數f（x）的圖象上觀察，滿足不等式f（x）lt;a的實數x有可能比較小，離0比較近；有可能比較大，甚至可能非常大.

教師：對，教輔用書上agt;0的解答部分正是說明了存在這樣的自變量2n（n≥2，且n為正自然數），其函數值小于a，從而不等式f（x）≥a的解集不可能為0，+∞.那么，現在的問題是，命題者的解答為什么要選自變量2n？

通過討論，我們是否已經理解了教輔用書上的解答？這也啟示我們，在數學學習的過程中，遇到困難的問題，我們不要放棄，要多思考，尤其碰到一些困難的函數問題，可以先嘗試分析一下函數的變化趨勢，畫一下函數的草圖，在分析和畫圖的過程中，解題思路或許就形成了.

接下來，我們繼續探索這個問題.

2.3 探究本質

教師：滿足不等式f（x）lt;a的實數x是否一定是x=2n的形式，且n為正自然數嗎？

答案自然是否定的.

無論是取x=2n還是x=et，這樣取值的目的，就是使得自變量x的取值可以足夠大，從而使得不等式f（x）lt;a有解.當然，找這樣的自變量x的時候，還要盡可能使得不等式f（x）lt;a容易求解.

剛才學生5說，滿足不等式f（x）lt;a的實數x有可能離0比較近，那么，能否在x=1的左側找到自變量，使其函數值小于a呢？

教師：學生6說得非常好，他不僅理解了我們的想法，而且還掌握了“取點”的本質.

上面我們從“取”的角度說明了當x→+∞或x→0+時，存在著這樣的自變量x，當agt;0時，不等式f（x）lt;a有解，此時，關于x的不等式f（x）≥a的解集不是0，+∞．這個取自變量x的過程，其實就是一個找的過程，其本質是把不容易直接求解的關于x的不等式f（x）lt;a轉化為容易解、能夠解的不等式.那么，我們自然要問：當x→+∞或x→0+時，我們有沒有辦法直接把f（x）lt;a（agt;0）轉化為一元一次或者一元二次等容易求解的不等式呢？

于是我們還可以有下面的探究（探究過程中用到了不等式lnx+1≤x）：

總結：剛才的分析，我們沒有從解不等式的角度去展開（實際上也不可能），而是在分析函數f（x）的變化過程以及變化趨勢中得到了問題的答案.這種 “不戰而屈人之兵”是解決導數難題的一種常用又有效的思維方法.

為了鞏固這種分析和解決問題的方法，我們對問題進行了變式，及時的跟蹤與評價學生的學習狀況.

2.4 拓展深化

lnx+1，若xx∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求實數k的取值范圍.

教師：這是一個恒成立問題，恒成立問題的常規“套路”是求函數f（x）的最值或者利用特殊的“點”先縮小參數的取值范圍，再來求其最值；也可以分離參變量，構造一個容易求其最值的新函數.對于這個問題，有了前面的分析，我們又會有什么樣的解題思路呢？

學生7：直接求導，判斷單調性，然后求最值，好像不行.

教師：只是好像？能不能證明？

學生7：還沒有想好怎么證明.

教師：學生7和學生8的分析都很好，都抓住了這一類恒成立問題的關鍵的分析與求解方法，可謂抓住了“牛鼻子”.但學生7和學生8的解答都不夠嚴密，前者只是從分析函數f（x）變化趨勢的角度，初步得出了k的取值范圍；后者利用了高等數學中的洛必達法則，不是高中數學知識和方法范圍內的解決方法.

其他同學有沒有想法？

教師：學生9已經掌握了這一類問題的本質：第一部分，當要說明一個不等式不成立時，只需要取其范圍內的一個自變量的值（取點）使其不成立即可；第二部分，學生9用了主元變換的思想，把參數k轉化為常數，然后證明不等式成立.

其實，問題2是一個很難的問題，但由于之前有了對2008年遼寧高考試題的透徹分析與討論，學生9在面對新的變式問題2時，不僅思路清晰，而且解法簡潔.因此，請同學們注意，在學習過程中，如何把所學的分析和思維方法內化為自己的東西，并用到具體的解題實踐中去，這關系到你的學習效率.學生9為我們樹立了榜樣.

3.教學啟示

高中數學教學離不開解題教學，解題教學是提高學生解題能力，揭示數學關鍵能力，培養學生學科核心素養，提升學生理性思維的不二選擇.

3.1 關注優質題目，避免機械刷題

在中學數學的教學和學習過程中，解題必不可少，但現在的問題是，解題教學中我們應該選擇什么樣的數學題？本案例給了我們很好的啟示.當下，數學題目諸如：“寶典”，“集錦”，“秒殺”等秘籍在媒體上極易傳播，學生也樂此不疲.這些內容不僅加重了學生的學習負擔，更是誤導了高中數學的教學方向，與高考數學反套路、反固化的內容改革方向背道而馳.

教師選擇題目，要選擇優質的題目.

優質的題目一是來源教材.在新課教學時，教師自己要對教材上的題目進行研究，把教材上的練習題、習題與教材內容構建起有機的聯系，幫助學生在學習的一開始就構筑起高中數學合理、規范、科學的知識體系.二是來源歷年的高考真題.在復習教學和解題訓練時，教師要有意識地從歷年的大量的高考真題中挑選出高質量、有針對性的題目進行教學設計，輔助學生訓練，減輕學生的多余負擔.

3.2 立足必備知識，培育關鍵能力

《普通高中數學課程標準》（2017年版，2020年修訂版）強調高中數學教學要把精力放在講深講透高中數學課程中的重點內容上.數學必備知識是學科關鍵能力與核心素養的基礎支撐，其中每一個重點知識和方法的產生都具有其思想的連續性和過程的探究性、創造性，都值得在教學中加以本質化呈現.

本案例中的必備知識，就是利用導數這一工具分析函數的單調性與變化趨勢（定性與定量相結合），但又不能超越初等數學的解題范疇.因此，在進行相關主題的解題教學時，教師應高屋建瓴，要有導數與極限等高等數學的基本觀點，但在課堂上又不能“顯山露水”.因此，要通過教學設計，引導學生對高中數學的基礎知識、基本技能、基本方法的深刻理解，增強學生對必備知識的深層次認識，更好地引導學生感悟數學的本質：知其然，更知其所以然.學生只有在深刻理解必備知識的基礎上，才能做到對必備知識的融會貫通和靈活運用；也只有在教師的引導下，學生學有所思、思有所疑、疑有所問、問有所悟，在潛移默化的學習過程中才能夠逐步形成高中數學學科的關鍵能力.

3.3 探究問題本質，提升核心素養

在教與學的過程中，教師要科學把握學生對基本知識、基本方法的學習與思維能力的提升、學科核心素養的養成之間的關系.

解題教學的目的應當是以必備知識為載體，引導學生更好地掌握知識、理解方法、形成關鍵能力、培養學科核心素養.避免大量補充拓展知識或高等數學中的所謂“二級結論”的現象；避免教學中“只見樹木，不見森林”的現象，避免以做代講、以做代學、以傳授解題套路代替深入講授知識的教學方式.