真題中找靈感 探究中尋創新

命題活動是一項具有創新意義的活動，不僅能幫助教師對《高中數學課程標準》的深入理解，還可以促進教師更好的把握、理解教材及高考命題精神.本文介紹筆者參加的一次高中說題大賽時命制的一道試題，就其過程及思考，與同行交流探討.

1.題目立意分析

已知直線l：y=kx+m交雙曲線C：x2－y2=1于M，N兩點，P（x0，y0）（y0≠0）是C上異于M，N的一點，且滿足PM⊥PN.（1）證明：kx0+y0=0；（2）若△PMN為等腰三角形.（i）證明：2mx20y0+1=0；

（ii）求△PMN面積的最小值.

該題題干簡潔，設問清晰，以兩問三小問的形式呈現，三小問之間考查的角度各不相同，又層層遞進.試題以雙曲線為背景，考查直線與圓錐曲線的位置關系、定值與多元目標函數的最值問題，綜合性強，方法多樣，有利于創新人才的培養.

2.命題來源路徑

2.1 回歸經典找靈感

命題之初，根據比賽的要求選擇從解析幾何的角度命制一道壓軸題.高考真題和教材是命題的一個重要的源泉.因此首先在歷年的高考真題中選擇素材，注意到2020年新高考山東卷是以解析幾何試題為壓軸的，因此，從這道題展開探究，尋找命題的靈感.

因此，命題的靈感就來源于此，選擇以等軸雙曲線為背景，在相同的條件下，從定值的角度考查.在學生熟悉的模型的基礎上命題，考查學生是否掌握了基礎知識的同時又與真題有所區別和創新.

2.2 深度探究尋創新

有了上述模型，如果僅僅考查斜率為定值問題，那么試題的思維量和難度都不足以作為壓軸題，注意到2024年九省聯考試卷的解析幾何題，考查了平面幾何背景下的最值問題，因此，思考在上述模型下能否尋找到最值問題.若給定點A，那么△AMN的面積是可以求解的，但是，通過觀察可知，△AMN的面積不存在最值，因此，在此基礎上對問題的條件加強，讓|AN|=|AM|，那么對于給定的A點，△AMN就確定下來了，由此提出問題3：等腰直角三角形三個點均在雙曲線上，當直角頂點在雙曲線上變化時，該三角形的面積是否存在最值？經探究該三角形面積存在最小值，因此得到了試題的初稿：

（1）當P（2，1）時，證明：直線MN的斜率為定值；

（2）若|PM|=|PN|，求△PMN面積的最小值.

考慮到第（1）問的解決，對于第（2）問的解決沒有幫助，同時在解決第（2）問的過程中，還需要將第（1）問一般化的過程求解一遍，因此將第（1）問改為一般化的證明，考查了定值問題同時又可以為第（2）問的解決進行鋪墊.同時注意到近幾年的新高考試卷重視符號的表達與運算，在第（1）問考查一般化的定值問題也是符合新高考試卷命題趨勢的.在第（2）問中，要借助第（1）問的結論解決問題，還需要得到直線MN的截距與P點坐標（x0，y0）之間的關系，故給了第（i）小問的鋪墊.這樣三個小問之間，在考查定值、符號表達與運算的同時，前面兩個小問的解決也為第（ii）問的解決提供了一種基本方法的鋪墊，因此確定了終稿的設問.

3.解法探究

一道好的數學題，不僅要做到形式簡潔，同時還要內涵豐富，解決方法多樣，能夠考查學生不同思維層次和能力.本題在探究的過程中，根據對條件轉化的不同得到的方法也豐富多樣.下面給出其中的幾種思路與方法：

思路一：（1）采用設而不求，聯立直線l與曲線C，利用韋達定理，得到M，N兩點橫坐標之和與之積.將垂直用向量轉化，代入，利用主元思想，因式分解得到結論.（2）（i）在（1）的基礎上得到MN中點Q坐標，利用△PMN為等腰直角三角形，得到PQ⊥MN，轉化為kkPQ=－1，得到m與x0，y0關系.（2）（ii）在前面的基礎上，將直線l的方程用x0，y0表示，易得△PMN邊MN上的高d，則△PMN的面積為d2，進而求含有x0，y0兩個變量函數的最值即可.

入可整理得（x20+y20+1）k2+2mx0k+2my0+1－x20－y20=0.因為x20－y20=1，化簡得 （kx0+m－y0）（kx0+y0）=0.若kx0+m－y0=0，則直線l：y=k（x－x0）+y0經過點P，不合題意.所以kx0+y0=0.

思路二：（1）設直線PM的斜率為k1，聯立直線PM與C，解得M點坐標，同理得到N點坐標，進而將MN的斜率用x0與y0表示.（2）（i）在（1）的基礎上求出MN的中點Q，利用PQ與MN垂直得到m與x0，y0的關系.（2）（ii）在（1）的基礎上可以求得PM，PN的長度，利用|PM|=|PN|得到k1與x0，y0的

不同的解法反映了學生思維層次的不同，不同方法的選擇讓學生經歷不同的解題“風景”，花費不同的時間.解法1和解法2為努力的學生鋪設了走向成功的通道.解法3-5為優秀的學生搭建了表演才華的舞臺.

4.變式拓展

變式1 已知直線l：y=kx+m交雙曲線C：x2－y2=1于M，N兩點，P（x0，y0）（y0≠0）是C上異于M，N的一點，若PM⊥PN，|PM|=|PN|，求P到直線l距離的最小值.

變式2 已知直線l：y=kx+m交拋物線C：y2=x于M，N兩點，P（x0，y0）（y0≠0）是C上異于M，N的一點，若PM⊥PN，|PM|=|PN|，求△PMN面積的最小值.

變式3 已知直線l：y=kx+m交雙曲線C：x2－y2=1于M，N兩點，P（x0，y0）（y0≠0）是C上異于M，N的一點，若△PMN為等邊三角形，求△PMN面積的最小值.

限于篇幅變式1與變式2的解答不再贅述.不論是變換條件還是設問，在解題的過程中都應該牢牢抓住條件和問題特征，選擇最優解法.對于變式3，通過以上五種解法的探討，可以發現直線的參數方程是處理此類條件的有力工具.

5.結語

高考真題是命題專家集體智慧的結晶.深度探究高考真題，能夠幫助教師領會新高考改革的精神，把握日常教學的方向，厘清命題思路，探索試題本源，提升命題水平.命題實踐是促進教師對高考數學命題改革的理解的重要途徑，在實踐的過程中體會命題背后的深意以及命題對教學的引導作用.