阿波羅尼斯球在立體幾何中的應(yīng)用初探

阿波羅尼斯圓雖然只是以習(xí)題的形式在高中教材出現(xiàn)，卻是各地質(zhì)檢和高考題的命題熱點．在平時的月考聯(lián)考中，作為數(shù)學(xué)文化試題直考查阿波羅尼斯圓，有時需要利用題干中隱含條件，合理轉(zhuǎn)化，常常結(jié)合平面幾何、立體幾何知識聯(lián)系在一起，多角度進(jìn)行考察．

一、利用阿波羅尼斯圓求錐體體積最值

例1 如圖1在棱長為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中點，點P是平面四邊形DCC1D1內(nèi)的動點，且滿足∠APD=∠MPC，則三棱錐B－PDC體積的最大值是（ ）.

分析：由根據(jù)∠APD=∠MPC得RtΔAPD∽RtΔMPC，所以PD：PC=AD：MC=2：1.根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可知點P的運動軌跡是一個圓.又因為VB－PDC=VP－BDC. 故當(dāng)點P到平面BDC的距離最大時，VP－BDC最大.

評析：根據(jù)∠APD=∠MPC，得RtΔAPD∽RtΔMPC.再根據(jù)相似比得出PD=2PC這一幾何條件，最后利用阿波羅尼斯圓的定義解決問題.

變式1 在棱長為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M是BC的中點，點P是平面四邊形DCC1D1內(nèi)的動點，且滿足∠APD=∠MPC，求動點P的軌跡長度.

二、阿波羅尼斯圓在空間上推廣為“阿波羅尼斯球”

例2 在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為棱DD1上一點，N為平面AC1M內(nèi)一點，若D1M=2MD，且滿足AN=2ND，則動點N的軌跡長度為多少.

分析：根據(jù)“阿波羅尼斯球”的定義可知點N的軌跡是一個球.因為點N為平面AC1M內(nèi)一點，所以動點N的軌跡是平面與球相交產(chǎn)生的圓.最后利用球的半徑R求出圓的半徑r即可.

解析：如圖3，以D為原點，DC為x軸，DA為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則D0，0，0，A0，3，0，C13，0，3，M0，1，0.設(shè)

分析：利用條件，判斷出B，N重合，得到點P落

變式3 在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是正方體的表面AA1DD1（包括邊界）上的動點，若E是CD的中點，且滿足∠APB=∠EPD，求三棱錐P－ACD體積的最大值？

《中國高考評價體系》提出了“一核四層四翼”的評價體系，其中四層指“核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”是素質(zhì)教育目標(biāo)在高考中的體現(xiàn).關(guān)于阿波羅尼斯圓在“考什么”的課本上未明確提出，雖然課本習(xí)題中存在過求曲線方程的題目，但因為阿波羅尼斯圓考慮到平面上動點到定點的距離問題，是較難的知識點，所以必須加以深入研究學(xué)習(xí)，才能提升我們自己的知識視野，提高自身的專業(yè)素養(yǎng).