核心素養下高中數學解題策略探討

摘要：向量運算對象的多樣性與運動發展的特殊性，使其成為促進學生運算素養發展的重要載體.本文立足數學學科核心素養的向量解題教學，首先，需呈現問題，確定運算對象；其次，經過多法破解，深入理解運算整體算理；最后，經過解題反思，形成與自己相符的運算算法.

關鍵詞：核心素養；高中數學；向量；解題策略

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中明確指出，立足數學學科核心素養開展的教學活動，需提出適合的數學問題，引導學生進行思考和交流，以促進學生數學學科素養的形成與發展.鑒于此，本文主要以高中數學的向量解題為例，對其實施深入剖析，引導學生多角度、全方位地解釋向量題中隱含的信息，并加以提取，通過知識的靈活轉換，進行信息翻譯，對解題思路的形成基礎以及解題方法的形成全過程展開分析，引導學生進行周密思考，實施正確判斷與高效解題，從而使學生形成敏捷、條理性思維，并促進其核心素養的發展.

1向量是發展學生核心素養的重要載體

1.1向量運算的對象多樣

向量是促進代數、幾何各個領域實現溝通的重要橋梁，既具備數的屬性，又具備形的特性；既具備幾何運算，又具備代數運算.由此可知，向量運算的對象是多種多樣的，如向量的混合積、向量積、向量的加減法、數量積等，能夠是實數和向量的運算，類似于數乘運算；同時，還能是有向線段的運算，類似于三角形法則、平行四邊形法則等；也能是點和點的運算，如坐標計算；還可以是符號運算，如通過其他的向量來表示另一個向量等等，可以說，向量的運算包含了高中數學中所有的運算對象，這對學生明確運算的對象是有著顯著象征意義的.

1.2向量運算的獨特性

大部分情況下，進行向量運算都要遵守常規的代數計算法則，類似于分配律、交換律、結合律等，其也有自己獨有的運算法則，如向量具備的“自由移動”的特征，這就使任何的向量都能平移至相同起點或平移至有助于解決問題的狀態，從而使向量能夠應用于任何的幾何位置關系.向量中的“數量積”的計算，可以使兩個“向量”的乘積變為“數量”，以此使計算的結果出現“質的變化”.有些代數計算法則中，如消去律、結合律，在數量積的運算中就不成立，而數量積的運算過程，也不再成立，數量積也不存有逆運算.這雖然和“常理”是有所相悖的，但經過數量積的探究，都能促進學生的核心素養發展.

1.3向量運算的方法靈活

向量運算過程能夠從“形”進行感知，通過直觀感知來獲取運算結果；又或者是從“數”入手，數的運算又包含了“基底運算”以及“坐標運算”.向量運算的方法靈活性造成了解題法的多元化.

2核心素養下高中數學解題策略探討——以向量解題為例

2.1立足算理，培養邏輯推理運算素養

2.1.1問題呈現

設e1、e2是單位向量，非零向量b=xe1＋ye2，其中，x、y∈R，如果e1、e2的夾角是π6，那么，｜x｜｜b｜的最大值為.

2.1.2多法破解

解法1：直接運算.

b2=（xe1＋ye2）2=x2＋y2＋3xy.

因此，｜x｜｜b｜=｜x｜x2＋y2＋3xy=11＋yx2＋3yx.

現令yx=t，則有｜x｜｜b｜=1t＋322＋14≤2，因此，｜x｜｜b｜的最大值是2.

解法2：三角換元.

由于b2=（xe1＋ye2）2=x2＋y2＋3xy，可得到

1=｜x｜｜b｜2＋｜y｜｜b｜2＋3｜x｜｜b｜·｜y｜｜b｜，現令｜x｜｜b｜=m，｜y｜｜b｜=n，那么就有1=m2＋n2＋3mn，即1=14m2＋32m＋n2.令m2=｜cosα｜，32m＋n=｜sinα｜，由此可知，m的最大值是2，｜x｜｜b｜的最大值是2.

解法3：坐標法.

設e1=（1，0），e2=32，12，則有b=x＋32y，12y，由此可得

｜x｜｜b｜=｜x｜x＋32y2＋14y2=｜x｜x2＋y2＋3xy.令yx=t，則有｜x｜｜b｜=1t＋322＋14≤2，因此，｜x｜｜b｜的最大值是2.

解法4：平行四邊形法.

假設x≠0，依據b=xe1＋ye2，可得到bx=e1＋yxe2，即bx=e1＋yxe2.運用平行四邊形的法則可畫出圖1，依據圖1 可得bxmin=12，此時｜x｜｜b｜=2，即｜x｜｜b｜的最大值是2.

2.1.3解題反思

解題反思的全過程既有利于學生鞏固知識，熟練掌握解題方法，貫通與分化全部思想與策略，又有利于完善學生自身的算法結構.完成解題并不代表著解題活動都已結束，學習的重中之重就是回顧整個解題過程，數學運算實現程序化以及算法化也是經過該過程所達成的.本題的解題反思更多是由其涉及的問題之間的關系、知識與思想的方法、運算推理全過程、解題程序、數學活動結果等各個方面實施，以獲取某類的題目或者運算的常規算法.

2.2立足動態最值問題，培養直觀想象運算素養

2.2.1問題呈現

給定兩個長都是1的平面向量OA、OB，兩個向量之間的夾角是23π，如圖2所示，點C在將O作為圓心的圓弧AB上運動，如果OC=xOA＋yOB，且x、y∈R，那么，x＋y的最大值是.

2.2.2多法破解

解法1：直角坐標法.

如圖3所示，將點O作為坐標的原點，且將直線OA作為x軸構建直角坐標系，則有A（1，0），B-12，32.設∠AOC=α0≤α≤23π，而點C坐標為C（cosα，sinα）.依據OC=xOA＋yOB，可得出x-12y=cosα，32y=sinα，求解可得x=33·sinα＋cosα，y=233sinα，由此可得x＋y=3·sinα＋cosα=2×sinα＋π6，且0≤α≤23π，因此，當α=π3的時候，x＋y獲得最大值，最大值是2.

解法2：不等式法.

對OC=xOA＋yOB的等式兩邊同時進行平方，可得到OC2=x2OA2＋y2OB2＋2xy｜OA｜｜OB｜·

cos23π，也就是x2＋y2-xy=1，即（x＋y）2=3xy＋1.依據向量加法中的平行四邊形法則可知xgt;0，ygt;0，因此，（x＋y）2≤3x＋y22＋1，求解可得x＋y≤2，當且僅當x=y=1時，等號成立，由此可知，x＋y的最大值是2.

解法3：三角換元法.

對OC=xOA＋yOB的等式兩邊同時進行平方，可得到OC2=x2OA2＋y2OB2＋2xy｜OA|｜OB｜·

cos23π，也就是x2＋y2-xy=1，即x-12y2＋32y2=1，假設x－12y=cosα，32y=sinα，與圖3結合可知，0≤α≤23π，則存有x=33sinα＋cosα，y=233sinα，由此可得x＋y=3sinα＋cosα=2×sinα＋π6，因此，當α=π3的時候，x＋y獲得最大值，最大值是2.

解法4：判別式法.

對OC=xOA＋yOB的等式兩邊同時進行平方，可得到OC2=x2OA2＋y2OB2＋2xy｜OA｜｜OB｜·

cos23π，也就是x2＋y2-xy=1，假設t=x＋y，則有y=t-x，將其代入x2＋y2-xy=1中，經整理后，可得3x2-3tx＋t2-1=0.依據題意可得，與x有關的方程存有實根，其判別式為Δ=12-3t2≥0，求解得出-2≤t≤2.當t=2時，也就是x＋y=2，且有x2＋y2-xy=1式子等號成立，此時，存有x=y=1，因此，x＋y的最大值是2.

解法5：平面向量法.

如圖4所示，經過點C作CD∥OA且與OB相交于點D，則有∠ODC=π3，假設∠DCO=α0lt;αlt;23π，且有∠DOC=2π3-α.

在△ODC中，依據正弦定理知ODsinα=CDsin23π-α=OCsinπ3，所以OD=sinαsinπ3，CD=sin2π3-αsinπ3.

由于OC=OD＋DC=｜OD｜·OB＋｜DC｜·OA=sinαsinπ3OB＋sin2π3-αsinπ3OA.又有OC=xOA＋yOB，依據平面向量的基本定理可得x=sin2π3-αsinπ3，y=sinαsinπ3，由此可知x＋y=sin2π3-αsinπ3＋sinαsinπ3=2sinα＋π6，因此，當α=π3的時候，x＋y取最大值，最大值是2.需注意，當點C和A或者B重合的時候，x＋y=1.

2.2.3解題反思

平面向量具備代數與幾何兩種特性，因此，在對向量最值有關的問題進行求解時，可從“數”和“形”兩個角度入手.立足“數”的角度，通過直角坐標法、不等式法、三角換元法、判別式法進行運算與轉化處理；立足“形”的角度，可與向量具備的幾何特征有效結合加以解決.

3結語

核心素養下的高中數學向量解題教學中，教師可通過一題多解的方式，深化學生對相關向量知識及題型的理解與掌握，充分發揮數學向量題具備的功能與價值，并指導學生學會從多個角度思考，以實現學生自身解題能力提高的同時，對其數學思維進行培養，從而使學生的數學學科核心素養得到有效發展.