凸顯內容結構化 建構抽象模型

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調了課程內容結構化的重要性。2022版新課標所提出的數學核心素養中，就包括數學模型意識和數學抽象能力。整體單元教學通過將學習內容和方式結構化，深挖知識的內在聯系，從而幫助學生建立起抽象的數學模型，進一步提高他們的思考能力。本文從“整體進入，感知模型”“緊扣關聯，建構模型”“多樣化練習，鞏固模型”三個層次展開，就如何幫助學生建構抽象的數學模型教學深入研究。

關鍵詞：內容結構化" 單元整體" 抽象模型

《義務教育數學課程標準（2022年）》提出，教學時要注重“教學內容的結構化”，即在授課過程中要重視整體分析教學內容，幫助學生建立能夠體現數學學科本質、對未來學習有幫助的結構化數學知識體系。數學模型意識、數學抽象能力是學生必備的數學核心素養。采用主題、單元、項目等形式組織教學，整體規劃一個單元的學習內容和活動，適當調整原有小步驟和碎片化的教學結構，注重整合設計，關注聯系和發展。教學內容結構化、學習方式結構化，將知識關聯起來，有利于幫助學生建構起抽象的數學模型，促進學生思維能力的提升。

一、整體進入，準確把握知識起點，感知模型

準備教案不僅需要考慮課本內容，還需要考慮到學生的需求。唯有精確把握學生的學習基礎和掌握知識點的能力，才能使授課方式符合實際教育需求。整體進入是單元整體教學設計所倡導的一種教學策略，它能準確把握好教學起點，將新舊知識關聯起來，找準課堂生長點，防止知識割裂、碎片化。整體進入不僅有利于學生思維能力的提升、學習能力的培養，而且有利于模型意識的建立。

例如在“長方形和正方形的面積”教學時，我設計了這樣的復習導入。

〔教學片斷1〕

師：請同學們認真看屏幕，邊思考邊復習。

（出示一個點）問：這是什么？

生：一個點。

師：現在老師再增加一個點，并將這兩個點用一條直線連起來，請問這是什么圖形？

生：一條線段。

師：請你先估一估這條線段有多長？

（答案略）

師：如果再增加三條同樣長的線段，將四條線段首尾連接起來，變成了什么圖形？它的面積有多大呢？

生：正方形，它的面積是1平方厘米。

師：是的，同學們的記性真好！這是上節課我們學習的內容。除了1平方厘米，我們還學習了1平方分米、1平方米，同學們能比劃一下它們的大小嗎？

（學生先自行比劃，后課件呈現1平方分米、1平方米的大小。）

師：（出示學校籃球場的圖片）如果想知道我們學校的籃球場有多大，選哪種面積單位進行測量比較合適呢？

生：選平方米。

教師：很好，應該選擇平方米來進行測量。然而，如果使用1平方米，這樣一個接著一個地擺放和測量會很麻煩，并不實際。我們能否找到更有效的方法來處理這個問題？在這堂課上我們將一起探討“如何計算長方形和正方形的面積”。

（揭示課題：長方形與正方形的面積計算）我們有信心，只要你們認真學習，就能夠迅速掌握并解答這一難題。

這樣的復習導入，不僅引導學生復習了舊知，為新知的學習作了鋪墊，而且很巧妙地將點、線、面關聯起來，使學生的空間觀念從零維的點過渡到一維的線，再過渡到二維的面，學生對形知識有了初步的整體感知。學生的空間觀念逐漸培養起來，思維能力的提升也是顯而易見的，同時為建立長方形和正方形的面積公式這一模型意識作了鋪墊。

又如在教學“同分母分數的加減法”時，我設計了這樣的復習引入。

〔教學片斷2〕

算一算，想一想。（課件出示）

3+1=3000元+1000元=0.03+0.01=

3-1=3000米-1000米=0.3-0.1=

師：請同學們算一算，并說一說有什么發現。

師：例如第一行算式，我們只需計算幾加幾？

生：3+1。

師：為什么算式不一樣，但都只需計算3+1呢？

生：3000元+1000元，表示的是3個千加1個千，0.03+0.01，表示的是3個0.01加1個0.01。

師：是的，也就是說它們的計數單位是相同的。那第二行算式呢？只需計算幾減幾？

（答案略）

小結揭示：相同單位的數才能相加、減。

這樣的復習引入，將整數、小數的加減計算放在同一道題，讓學生通過計算、觀察思考，得出整數、小數加減法的計算方法一致性的根源所在：它們的計數單位相同，只有單位相同的數才能相加、減。同時也為同分母分數的加、減計算方法作鋪墊。

二、緊扣關聯，精準突破知識難點，建構模型

一節課上得成功與否，其中的一個標準就是，教學是否突破知識難點，學生是否弄懂了知識的本質。教師需要專注于知識核心，而豐富的實踐活動也應該著重強調知識的核心。再以“長方形和正方形的面積”教學為例，這課的教學難點是長方形面積公式的由來，即為什么用“長×寬”就可以求出長方形的面積，使學生的思維從一維的長度抽象過渡到二維的面。為了突破這一教學難點，設計了以下探究過程。

〔教學片斷3〕

（一）活動一：擺一擺，提出猜想

1.展示一個尺寸為5厘米×3厘米的長方形。

師：請同學們先估一估這個長方形有多大，再用1平方厘米的正方形擺一擺。

要求：

（1）量一量：測量出長方形的面積。

（2）數一數：一共用了多少個面積為1平方厘米的小正方形？

（3）探討一下：如何計算長方形的面積？

讓學生先獨立操作，后組內進行交流方法。

師：誰來分享一下，你是怎樣測量長方形的面積的？

生1：我用面積是1平方厘米的小正方形鋪滿長方形后，發現總共需要了15個，因此長方形的面積是15平方厘米。

[ ]

生2：我按著1平方厘米的小正方形先順著長邊鋪，然后再順著寬邊鋪，每行鋪5個，總共鋪了3行，總共鋪了15個小正方形，所以長方形的面積是15平方厘米。

[ ]

生3：我沒有鋪，直接用5×3=15。

師：前面兩個同學的鋪法，大家能看明白嗎？

生：能。（師巡視發現大部分同學都采用了鋪滿）

2.對比兩種鋪法，讓學生體會第二種鋪法的簡潔性。

對于第三種方式為何能夠通過5×3來計算出長方形的面積，這是否存在巧合？長方形的面積又與其長度和寬度有何關聯呢？

（二）活動二：動手實驗，驗證猜想

1.活動要求

（1）任取幾個長、寬都是整厘米數的長方形，用面積為1平方厘米的正方形擺一擺。

（2）一人操作，一人填表。

（3）留意每行的數量，想想可以放置多少行。思考：長度、寬度和面積之間存在何種聯系？

[長方形 每行個數（長/厘米） 行數

（寬/厘米） 小正方形的個數/個 面積/平方厘米 1號 2號 3號 4號 5號 ]

2.匯報交流，發現規律

教師引領學生按照順序展示自己的各種擺放方式，根據學生的展示，在黑板上寫下并完成表格。

第一組：4 × 3 ＝ 12

第二組：5 × 2 " " ＝ 10

第三組：6 × 4 ＝ 24

↓ ↓ ↓

（長度的厘米數）（寬度的厘米數）（長和寬度厘米數的相加）

每行擺的個數 × 行數 ＝ 小正方形的個數

問題：仔細觀察表格，你們發現了什么呢？長方形的面積與什么有關呢？

（三）活動三：數形結合，抽象概括

隨著課件的出示，教師進行口述：圖1是全鋪滿，通過數一數或算一算能得出一共鋪了40個面積為1cm2的小正方形。圖2只鋪一行和一列，根據乘法的意義，計算出一共鋪了40個面積為1cm2的小正方形。圖3將小正方形去掉，只留下小圓點，兩個圓點之間的距離是1cm，也就是長8cm，寬5cm。這個長方形的大小和圖1、圖2長方形的大小是一樣的，也是40cm2。圖4完全將小正方形和圓點全去掉了，需要我們先測量它的長和寬，再計算面積。

師生歸納得出：雖然擺的方法不一樣，但我們都是為了知道什么？（單位面積的個數）知道了單位面積的個數，也就知道了面積。通過以上這種結合了數學和圖形的形象演示，我們可以得出一個結論：長方形的面積等于長乘以寬所得的數值，單位為平方厘米。因此，長方形的面積計算公式為：面積＝長×寬。

以三類材料作為探索的基礎——全面覆蓋、單排或單一縱線布局及使用長度來衡量；這使得我們可以鼓勵學生們分享他們的觀點，并在交流觀點的過程中深入理解尺寸是矩陣大小變化的決定因素。根據學生們的思考過程及其表述方式，我們將四角的小型立方體單位總數的概念聯系至矩陣的一側即“L”，而行的多少則代表著另一邊的“W”。這種連接有助于建立數字世界中的形狀間的相互作用機制，使我們在豐富多樣的素材對比下能夠從具體的視覺感知轉變成為符合理性的推斷模式。同時，教師也要引導學生們對問題提出質疑，進而延伸到如何利用一把標桿去精確地測定矩陣的具體大小的問題上，這是把實際度量轉化為理論上的度的轉換點所在之處。最后，教師要強調的是學生們在感受的過程中所體驗到的關于矩陣大小時它的兩條軸線的相對關系的深刻認知，這樣就為我們構建出了有關矩陣面值的基本原理提供了充分的感覺基礎信息，之后便可以將其提煉成一種數學語言的形式表現出來了。

三、多樣化練習，鞏固模型

課堂練習是檢驗教學質量和學習效果的方式之一，豐富多樣的練習不僅能有效調動學生的學習興趣，凸顯練習的效果，而且還能有效地鞏固新授中的數學模型，幫助學生將數學模型印刻于腦海中。

比如在教授“計算長方形與正方形的面積”時，我為學生們準備了強化訓練題目。

計算下面圖形的面積（單位：cm2）。

[邊長] [邊長][D][4][2][A][3][3][B][長][寬][C][E][b][a][a][F][a]

這種教學策略的實施不僅包含數字運算、文本表述及符號表示的長寬關系式的學習過程，而且也使學生得以通過實踐活動來加深對長方形面積公式的理解并掌握它的字母表達式。同時，還能夠使學生們在實際操作過程中逐步形成關于長方形面積公式這個主題的相關知識體系結構化記憶方式（即以數學語言形式），從而為其未來進一步深入研究奠定基礎。